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1、3.4 一一维谐振子振子1、何谓谐振子？、何谓谐振子？在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附稳定平衡位置附近作小振动近作小振动这类常见问题的普遍概括。在量子力学中，一维量子谐振子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在微观粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化场量子化的基础。V(x)x0局部放大局部放大x0抛物线型抛物线型数学基础：数学基础：当粒子在势场的平衡位置 x=x0 处附近作小振动时，势场 V(x)作泰勒展开，物理分析：物理分析：在平衡位置处，即 x=x
2、0 处，受力为零，即 V(x0)=0。现设平衡位置 x0=0，并选取能量尺度的原点使 V(0)=0；除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。略去高阶小量，则（抛物线型）（抛物线型）“弹簧弹簧”谐振子近似：谐振子近似：实际对象：实际对象：原子核内核子（质子或中子）的简谐振动 原子和分子的简谐振动 固体晶格上原子的简谐振动 一个多自由度系统在其平衡态附近的小涨落小振动 固体中原子在其格点上做微小振动2、薛定谔方程的化简薛定谔方程的化简 理想线性谐振子的势能函数其中是谐振子的固有圆频率。x0只存在束缚态只存在束缚态在方程中做如下的无量纲化变换：则方程变成：方程的渐进行为渐进行为：当时
3、，薛定谔方程变为：时近似解：时近似解：但是 应该舍去，因为当，应取有限值所以再进行变换：可得关于 H()的方程：3、Hermitian多项式多项式级数法求解级数法求解 H()的方程，结果发现：只要H()是“真”无穷级数，那么在 x的时候H()就 e，仍然使()发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。设要求H()是 的 n 次多项式，那么就必须让 =2n+1 n=0,1,2,3 这样，我们首先得到了能量本征值：现在 H()的方程成为：而不难验证下面的函数正满足这个方程:称为 n 次 Hermitian 多项式前五个Hermitian多项
4、式是:4、线性谐振子的能级和波函数、线性谐振子的能级和波函数 1）线性谐振子的能级和波函数对应波函数：Nn 是归一化常数能级：2）讨论(1)能级是等间隔的(2)零点能(3)能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称 即,n(-x)=(-1)n n(x)(4)n(x)有 n 个节点。5、几率分布、几率分布:1）在经典力学中，在到+d 之间的区域内找到质点的几率()d 与质点在此区域内逗留的时间 dt 成比例:T 是振动周期。因此有即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，=a sin(t+),在 点的速度为所以几率密度与 成比例。5、几率分布、几率分布:2）在量子力学中，在到+d 之间的区域内找到微观振子的几率(x)dx 为以基态为例，几率分布为是一个高斯型分布。特征长度：