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1、期末考试复习要点期末考试复习要点（1）直线与平面方程）直线与平面方程,空间曲线的切线，空间曲面的空间曲线的切线，空间曲面的切平面切平面（2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值（3）二三重积分的计算（直角坐标与极坐标）二三重积分的计算（直角坐标与极坐标）（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关）第一、二类曲线积分，积分与路径无关第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。（5）数项级数收敛性判别
2、，绝对收敛与条件收敛）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛幂级数的收敛域、求级数求和函数。幂级数的收敛域、求级数求和函数。（6）一阶与二阶微分方程的解）一阶与二阶微分方程的解（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面空间曲面的切平面（1）设）设则则（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：要点：I：曲面在某点处的切平面曲面在某点处的切平面（1）设曲面方程为）设曲面方程为第一步：计算第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程第
3、三步：分别写出切平面和法线的方程（2）设曲面方程为）设曲面方程为第一步：取第一步：取第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程线的方程要点要点II：空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程第一步：确定点第一步：确定点第二步：计算第二步：计算第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程平面的方程（2）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意
4、知取取所求直线的方程所求直线的方程3、典型例题、典型例题例例2：设直线：设直线 L 和平面和平面 的方程分别为的方程分别为则必则必有（有（）解：解：C例例3：求曲面：求曲面上上同时垂直于平面同时垂直于平面与与平面平面解：取解：取的的切平面方程。切平面方程。设设切点为切点为例例:(1)已知曲线已知曲线在点在点P处的切线平行于处的切线平行于平面平面，求，求P点的坐标点的坐标（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值条件极值（1）多元函数在某点的定义域、极限
5、和连续多元函数在某点的定义域、极限和连续要点：要点：I：求二元函数在某点的极限求二元函数在某点的极限1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则2、利用有界函数与无穷小乘积的性质、利用有界函数与无穷小乘积的性质3、利用变量对换化为一元函数极限、利用变量对换化为一元函数极限4、利用夹逼准则与两个重要极限、利用夹逼准则与两个重要极限例：求下列函数的极限：例：求下列函数的极限：解：解：求极限求极限解：解：求极限求极限（1）多元函数的定义域、极限、连续多元函数的定义域、极限、连续要点：要点：I：求二元函数在某点的极限求二元函数在某点的极限（二）多元函数
6、的定义域、极限和连续；方向导数二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值条件极值（1）多元函数的定义域、在某点的极限、连续多元函数的定义域、在某点的极限、连续要点：要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数用定义求二元函数在某点的偏导数（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值条件极值典型例题典型例题例例1：设：设求求解：解：典型例题典型例题例例2：设：
7、设求求解：解：典型例题典型例题例例3：设：设求求解：解：二元函数的连续性二元函数的连续性要点：要点：III：多元函数的连续性：多元函数的连续性(2)(2)讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性例：例：讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分隐函数的求导、多元函数的微分要点：要点：I、方向导数、方向导数II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；二元抽象函数的二阶偏导数的计算；II
8、I：隐函数的偏导数的计算；隐函数的偏导数的计算；例例1：设：设答案：答案：IV：多元函数全微分的计算；多元函数全微分的计算；例例:(1)函数函数 在点在点 处沿哪个方向处沿哪个方向 的方向导数最大？并求方向导数的最大值的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例例1：设：设例例3：设设求求(2)求函数求函数在点在点处沿到点处沿到点的方向的方向上的方向导数上的方向导数例例3：设设求求解：解：zxyuxyu例例4：设：设答案：答案：要点：要点：I、方向导数、方向导数II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III：隐函数的偏导数的计算；隐函数的偏导数的计算；IV：多元函数全
9、微分的计算；多元函数全微分的计算；（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分隐函数的求导、多元函数的微分例例3：设：设是由是由方程方程解：两边取全微分解：两边取全微分所所确定的二元函数，求确定的二元函数，求整理并解得整理并解得例例3：设：设是由是由方程方程解：两边取全微分解：两边取全微分所所确定的二元函数，求确定的二元函数，求整理并解得整理并解得拉格朗日拉格朗日乘数法：乘数法：（1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 1 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。问题问题 1：求函数求函数
10、 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。中往往可根据问题本身的性质来判断。（3）条件极值。条件极值。例例1：在椭球面在椭球面上，求距离平面上，求距离平面的的最近点和最远点。最近点和最远点。解：设解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点为椭球面上任意一点则该点到则该点到平面的距离为平面的距离为问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。由于由于 d 中含有绝对值
11、，为便于计算，考虑将中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题问题 1 转化为下面的等价问题转化为下面的等价问题问题问题2：在条件在条件下，求函数下，求函数的的最大最小值。最大最小值。问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。（1）作）作拉格朗日拉格朗日函数函数（2）联解方程组）联解方程组（1）作）作拉格朗日拉格朗日函数函数（2）联解方程组）联解方程组求得两个驻点：求得两个驻点：对应的距离为对应的距离为例例1：在椭球面在椭球面上，求距离平面上，求距离平面的的最近点和最远点。最近点和最远点。解：解：问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的
12、最大最小值。的最大最小值。求得两个驻点：求得两个驻点：对应的距离为对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以离和最远距离均存在。所以最近距离为最近距离为最远距离为最远距离为三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容重点内容（1）二重积分在直角坐标下的计算；）二重积分在直角坐标下的计算；答案：答案：例例1：计算二重积分计算二重积分答案：答案：三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容重点内容（2）二重积分中二次积分的交换次序；）二重
13、积分中二次积分的交换次序；答案答案:例例2：试证：试证：解解积分区域分为两块积分区域分为两块例例2：试证：试证：证明：画出积分区域证明：画出积分区域 D 由图由图可知可知 D 又可以写成又可以写成X 型区域型区域（3）利用极坐标计算二重积分；）利用极坐标计算二重积分；再根据再根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。化为累次积分。例例3:计算计算由由直线直线 y=x 及曲线及曲线所所围平面区域。围平面区域。（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二在二重积分的计算过程中，要注意对称性。重积分
14、的计算过程中，要注意对称性。例例5：计算：计算其中其中 D 由直线由直线 y=x,y=1,及及x=1 所围平面区域所围平面区域（5）三重积分在直角坐标系中）三重积分在直角坐标系中“先二后一先二后一”的计算方法；的计算方法；例例6：提示：提示：再对再对用用“先二后一先二后一”的方法计算，的方法计算，并用并用对称性给出另外两项的结果。对称性给出另外两项的结果。例例7：提示：利用对称性、被积函数奇偶性及提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一先二后一”法法（6）利用柱面坐标计算三重积分）利用柱面坐标计算三重积分四、四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、第一、
15、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式）基本公式格林公式格林公式高斯公式高斯公式主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分（3）基本应用：）基本应用：1.格林公式和高斯公式的两类典型应用题：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2.平面曲线积分平面曲线积分“封口法封口法”和和“挖洞法挖洞法”。与与路径无关路径无关在单在单连通区域连通区域 G 内内（4）基本计算
16、技巧）基本计算技巧1.利用对称性；利用对称性；2.利用曲线或曲面方程化简被积函数；利用曲线或曲面方程化简被积函数；3.利用关系式利用关系式将对将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4.利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。化平面曲线积分。例例1：设椭球面设椭球面 的表面积为的表面积为a，则，则20a提示：利用曲面方程及对称性提示：利用曲面方程及对称性例例2：设设则则提示：利用曲线方提示：利用曲线方程及对称性程及对称性0例例3：提示：利用高斯公式及提示：利用高斯公式及椭球体的体积。椭球体的体积
17、。例例4：设设 f(x)在在(0,+)上有连续的导数，上有连续的导数，L 是由点是由点提示：利用积分与路径无关，并取新路径：提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A(1,2)到点到点 B(2,8)的直线段，计算的直线段，计算（30）例例5：计算计算 由抛物面由抛物面与与圆柱面圆柱面及及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标例例6：计算：计算再由坐标原点沿再由坐标原点沿 x 轴到轴到 B(2,0)。解：解：其中，其中，L 为由点为由点 A(1,1)沿沿曲线曲线到到坐标原点，坐标原点，分析：应
18、用格林公式分析：应用格林公式补充：补充：五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、幂级数的收敛域，幂级数求和函数。幂级数的收敛域，幂级数求和函数。（1）数项级数收敛性判别）数项级数收敛性判别1.正项级数正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件收敛的必要条件几何级数、几何级数、P 级数和调和级数级数和调和级数2.交错级数：交错级数：莱布尼茨莱布尼茨定理定理3.任意项级数：任意项级数：绝对收敛和条件收敛。绝对收敛和条件收敛。任意项级数任意项级数收敛性判断的一般步骤：收敛性判断的一般步骤：（1）检验）
19、检验（3）用正项级数审敛法检验）用正项级数审敛法检验是否收敛？是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若）若发散，发散，但是用比值或根值法判断的但是用比值或根值法判断的则则原级数也发散。原级数也发散。是否成立？是否成立？若否，则原级数发散若否，则原级数发散若是或若是或难难求，则进行下一步；求，则进行下一步；若是，若是，否则，进行下一步；否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。）
20、用性质或其它方法。（2）幂级数的收敛半径和收敛域）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数求幂级数（1）利用极限）利用极限（2）判定幂级数在端点）判定幂级数在端点确定收敛半径确定收敛半径 R 及收敛区间及收敛区间 处的收敛性，处的收敛性，收敛域的一般步骤：收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明说明（1）幂级数中不能出现幂级数中不能出现“缺项缺项”。（2）对幂级数）对幂级数要先做要先做变换变换（3）求幂级数的和函数）求幂级数的和函数求幂级数求幂级数（1）利用极限）利用极限（2）判定幂级数在端点）判定幂级数在端点确定收敛半径确定收敛半径 R 及收敛区
21、间及收敛区间 处的收敛性，处的收敛性，收敛域的一般步骤：收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明说明（1）幂级数中不能出现幂级数中不能出现“缺项缺项”。（2）对幂级数）对幂级数要先做要先做变换变换性质性质3：幂级数幂级数逐项积分后所得级数逐项积分后所得级数的和函数的和函数 s(x)在收敛域在收敛域 I 上可上可积，积，并有逐项积分公式并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。其收敛半径与原级数相同。（3）求幂级数的和函数）求幂级数的和函数性质性质4：幂级数幂级数逐项求导后所得级数逐项求导后所得级数的和函数的和函数 s(x)在收敛区间在收敛区间
22、内可导，内可导，并有逐项求导公式并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。其收敛半径与原级数相同。说明：求和函数一定要先求收敛域。说明：求和函数一定要先求收敛域。典型例题典型例题例例1：若幂级数：若幂级数在在 x=-2 处收敛，处收敛，则此幂级数在则此幂级数在 x=5 处（处（）（A）一定发散。（一定发散。（B）一定条件收敛。一定条件收敛。（C）一定绝对收敛。（一定绝对收敛。（D）收敛性不能确定。收敛性不能确定。C例例2：若幂级数：若幂级数的收敛半径是的收敛半径是16，则幂级数则幂级数的收敛半径是的收敛半径是（）4例例3：已知：已知的收敛半径为的收敛半径为 3，则，则的收敛区间为（的收敛区间为（）例例4：级数：级数当（当（）（A）p 1 时条件收敛，时条件收敛，（B）0 p 1 时时绝对收敛，绝对收敛，（C）0 p 1 时时条件收敛，条件收敛，（D）0 p 1 时时发散。发散。C例例5：求下列幂级数的和函数：求下列幂级数的和函数答案：答案：答案：答案：例例5：求下列幂级数的和函数：求下列幂级数的和函数容易求得容易求得答案：答案：