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1、3.2 等比数列的前等比数列的前n项和项和 贵池中学金华芬贵池中学金华芬1/9/2023小明小明:在一个月中每天在一个月中每天比前一天多给你比前一天多给你1万元万元小林小林:我第一天还我第一天还1 1分分钱钱,以后每天还的钱是以后每天还的钱是前一天的前一天的2 2倍倍一、问题探究引入一、问题探究引入小林小林:哈哈哈哈!这么多钱这么多钱我可赚大了我可赚大了,我要是定我要是定了了2 2个月个月,3,3个月那该多个月那该多好好!第第1天天支出1分钱收入1万元第第2天天支出2分钱收入2万元第第3天天支出4分钱收入3万元第第10天天总支出10.23元总收入55万元第第20天天总支出1.048575万元总
2、收入210万元小林：小林：设30天后,小林得到的钱数为L30(万元),小明得到的钱数为M30(分),则根据合同能列出式子L30=1+2+3+.+30=(1+30)302=301+30(30-1)/2=465(万元)M30=1+2+22+.+229 思路一思路一 M30=1+2+22+.+229 M30=1+2(1+2+22+228)M30=1+2(M30-229)M30-2M30=1-230 M30=230-1思路二思路二 M30=1+2+22+.+229 2M30=2+22+23+.+229+230-得 M30=230-1M M30 30=2=23030-1-1 =1073741823(=1
3、073741823(分分)=1073.741823()=1073.741823(万元万元)小明小明:这是我做的最成这是我做的最成功的一笔生意功的一笔生意!设等比数列an的前n项和 Sn=a1+a2+a3+an 即说明：说明：这种求和方法称为这种求和方法称为错位相减法错位相减法二、推进新课二、推进新课Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+.+a1qn-1+a1qn 两式相减有(1 q)Sn=a1 a1 q n 当当q=1时，时，思考:(1-q)可以直接除过去吗?(1 q)Sn=a1 a1 q n 当当q1时时，qa1(1-qn)Sn-=1=
4、a1-anq1-q等比数列前等比数列前n项和求和公式项和求和公式 na1 (q=1)=a a1 1-a-an nq q1-q1-q1nSa1(1-qn)q=-(q1)等比数列前等比数列前n项和公式的其他推导方法项和公式的其他推导方法探究一探究一:由等比数列定义由等比数列定义,有有:再由合比定理得再由合比定理得:合作探究合作探究即即:从而有从而有(1 q)Sn=a1 a1 q n 合作探究合作探究探究二探究二:从基本问题出发从基本问题出发 公式公式Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an =a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1q
5、n-2)=a1+q Sn-1=a1+q(Sn an)从而有从而有(1 q)Sn=a1 a1 q n 三、例题剖析三、例题剖析:例1.(1)已知等比数列an中,a1=2,q=3,求S3(2)求等比数列1,1/2,1/4,1/8,的前10项和 巩固练习巩固练习1：求下列等比数列an前n项和(1)a1=1,q=3,n=5(2)a1=6,q=2,an=192(3)a1=1,q=,n=5巩固练习巩固练习2：P P3131练习练习1-21-2例例2.五洲电扇厂去年实现利税五洲电扇厂去年实现利税300万元万元,计划计划在以后在以后5年中每年比上年利税增长年中每年比上年利税增长10,问从问从今年起第今年起第5
6、年的利税是多少年的利税是多少?这这5年的总利税是年的总利税是多少多少?(结果精确到万元结果精确到万元)分析提问分析提问:根据题意根据题意,从中发现怎样的等从中发现怎样的等比关系比关系?今年起第今年起第5年的利税为等比数列年的利税为等比数列的第几项的第几项?这这5年的总利税是哪几项和年的总利税是哪几项和?四、课堂小结：1 1、等比数列的前、等比数列的前n n项和公式项和公式的推导的推导 第一种方法称之为错位相减法 第二种依赖的是定义特征及等比性质进行推导,第三种则是借助和式的代数特征进行恒等变形而得,2 2、等比数列的前、等比数列的前n n项和公式的应用项和公式的应用由 Sn.an,q,a1 ,n 知三而可求二.另外应注意公式有两个形式在应用中应恰当选用对于含有字母的等比数列应注意考虑其公比是否为1。五、布置作业五、布置作业 课本P34 A组7、8、9题 谢谢大家！