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1、-1-数学专题数学专题 第六讲：二次根式第六讲：二次根式【基础知识回顾】一、二次根式式子（）叫做二次根式a提醒：提醒：次根式次根式必须注意必须注意 a_oa_o 这一条件，其结果也是一个非数即：这一条件，其结果也是一个非数即：_o_oaa二次根式二次根式（a ao）中，）中，a a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式a二、二次根式的性质：（）2=（a0）a=2a =（a0,b0）=abab(a0,b0)提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较 2 2和 3的大小，可逆用（）32a2=a(a0)将根号外的整数移到根
2、号内再比较被开方数的大小三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式 2、被开方数不含 的因数或因式四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同 2、二次根式的乘除：乘除法则：.=（a0,b0）除法法则：=（a0，b0）abab 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算 提醒：提醒：1 1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：=32 2 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘
3、法公式的运用、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3 3、二次根式运算的结果一定要化成、二次根式运算的结果一定要化成 重点考点例析重点考点例析 考点一：二次根式有意义的条件考点一：二次根式有意义的条件例例 1 1 如果代数式有意义，则 x 的取值范围是（）43xAx3 Bx3 Cx3 Dx3思路分析：思路分析：根据二次根式的意义得出 x-30，根据分式得出 x-30，即可得出 x-30，求出即可 （ao）（ao）-2-解：解：要使代数式有意义，43x必须 x-30，解得：x3故选 C点评：点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式中BAA0，二次根式
4、中 a0a对应训练对应训练1使代数式有意义的 x 的取值范围是（）21xxAx0 Bx Cx0 且 x D一切实数1212解：由题意得：2x-10，x0，解得：x0，且 x，故选：C12 考点二：二次根式的性质考点二：二次根式的性质例例 2 2 实数 a、b 在轴上的位置如图所示，且|a|b|，则化简的结果为（2|aab）A2a+b B-2a+b Cb D2a-b思路分析：思路分析：现根据数轴可知 a0，b0，而|a|b|，那么可知 a+b0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可解：解：根据数轴可知，a0，b0，原式=-a-（a+b）=-a+a+b=b故选 C点评：点评：二次根式
5、的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性对应训练对应训练2实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 2()aba解：由数轴可知：b0a，|b|a|，2()aba=|a+b|+a=-a-b+a=-b，故答案为：-b考点三：二次根式的混合运算考点三：二次根式的混合运算-3-例例 3 3 211112(31)3()22221思路分析：思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可解：解：原式=42 321322=232132=3二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，将
6、各式进行化简是解题关键对应训练对应训练3计算：148312242解：1483122424 3362 646考点四：与二次根式有关的求值问题考点四：与二次根式有关的求值问题例例 4 4 先化简，再求值：，其中 x=2221121()1(1)(1)x xxxxxxA12思路分析：思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可解：解：原式=，2(1)1(1)4xxx xxA当 x=时，x+10，12可知，2(1)1xx故原式=；1(1)1111(1)44242x xx xxxA点评：点评：考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当 x=时得出12，此题难度
7、不大2(1)1xx对应训练对应训练4计算之值为何？（）2221146450-4-A0 B25 C50 D80分析：根据平方差公式求出 1142-642=（114+64）（114-64）=17850，再提出 50 得出50（178-50）=50128，分解后开出即可解：2221146450=2(11464)(11464)50=178 5050=50(17850)=50 128=258，222 582=80，故选 D考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算【聚焦中考聚焦中考】1下列运算正确的是（）BA B Cx6x3=x2 D（x3）2=x5
8、2(5)5 21()1642.计算：014823计算：70(3)123【备考真题过关备考真题过关】一、选择题一、选择题1要使式子有意义，则 x 的取值范围是（D）2xAx0 Bx-2 Cx2 Dx22计算=（A）102A B5 C D5521023.计算：=（）3 22-5-4已知，则有（）3()(2 21)3m A5m6 B4m5 C-5m-4 D-6m-5解：3()(2 21)3m 23 21323 73，2 728，252836，5286即 5m6，故选 A5下列计算正确的是（D）Ax3+x3=x6 Bm2m3=m6 C D3 2231477 26下列等式一定成立的是（B）A B C D
9、945531593 2(9)97使式子有意义的 x 的取值范围是（）A x1B1x2Cx2D 1x2解：根据题意，得，解得，1x2；故选 B8 在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A BCD解：=ab，二次根式的有理化因式是：故选：C-6-主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键9下列计算错误的是（）ABCD分析：根据二次根式的乘法对 A、B 进行判断；根据二次根式的除法对 C 进行判断；根据二次根式的性质对 D 进行判断解：A、=，所以 A 选项的计算正确；B、与不是同类二次根式，不能合并，所以 B 选项的计算错误；C、=2，所以 C 选项的计算正确；D、=2，所
10、以 D 选项的计算正确故选 B10下列计算正确的是（）ABCD分析：根据同类二次根式才能合并可对 A 进行判断；根据二次根式的乘法对 B 进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对 C 进行判断；根据二次根式的除法对D 进行判断解：A、与不能合并，所以 A 选项不正确；B、=，所以 B 选项不正确；C、=2=，所以 C 选项正确；D、=2=2，所以 D 选项不正确故选 C11下列计算或化简正确的是（）Aa2+a3=a5BC D分析：A、根据合并同类项的法则计算；B、化简成最简二次根式即可；C、计算的是算术平方根，不是平方根；D、利用分式的性质计算解：A、a2+a3=a2+a3，此选项
11、错误；B、+3=+，此选项错误；C、=3，此选项错误；D、=，此选项正确故选 D考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关键是灵活掌握有关运算法则，并注意区分算术平方根、平方根12下列计算正确的是（）A BCD分析：根据二次根式的乘除法则，及二次根式的化简结合选项即可得出答案解：A、=1，故本选项正确；B、1，故本选项错误；C、=，故本选项错误；-7-D、=2，故本选项错误；故选 A二、填空题二、填空题13当 x=-4 时，的值是 63x3 214若是整数，则正整数 n 的最小值为 520n解：20n=225n整数 n 的最小值为 5故答案是：515若二次根式有意义，
12、则 x 的取值范围是 x-11x16（当 x 时，二次根式有意义01x17已知，若 b=2-a，则 b 的取值范围是 (3)0a a232b解：，(3)0a a，0,30aa解得 a0 且 a，30a，3，30a ，2322a即232b故答案为：232b18计算的结果是 21205g19计算的结果是 22221-8-解：原式=(22)22 2221222故答案为：。2120.计算：3223 221计算 124183622使式子有意义的最小整数 m是 分析：根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解解：根据题意得，m20，解得 m2，所以最小整数 m 是 2故答案为：2三、解答题三、解答题23计算：（-1）101+（-3）0+-11()22(12)解：原式=-1+1+2-（）=3-21224计算：+|-4|-93-1-20120312解：+|-4|-93-1-20120312=+4-9-13 1213=6+4-3-1=625计算：分析：先去括号得到原式=+，再根据二次根式的性质和乘法法则得到原式=2+然后合并即可解：原式=+=2+=226计算：+（）1（+1）（1）分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数公式化简，第三项利用平方差公式化简，合并后即可得到结果解：+（）1（+1）（1）=2+4（51）=2+44-9-=2