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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2015-2016 学年吉林省长春外国语学校高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x24，xR，B=x|4，x Z，则 AB（）A（0，2）B0，2 C0，1，2 D0，2 2已知 i 是虚数单位，则=（）AB C 3i D 3+i 3已知向量=（3，4），=（sin ，cos），若，则 tan 的值为（）AB C D4已知函数y=sin4xcos4x 是一个（）A周期为 的奇函数B周期为 的偶函数C周期为的奇函数 D周期为的偶函数5
2、函数 f（x）=2x+4x3 的零点所在区间是（）A（，）B （，0）C（0，）D（，）6下列命题中正确的个数是（）命题“任意x（0，+），2x1”的否定是“任意x?（0，+），2x1；命题“若cosx=cosy，则 x=y”的逆否命题是真命题；若命题p 为真，命题q 为真，则命题p 且 q 为真；命题“若x=3，则 x22x3=0”的否命题是“若x3，则 x2 2x30”A1 个B 2 个C 3 个D4 个7已知变量x，y 满足：，则 z=（）2x+y的最大值为（）AB 2 C2 D4 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学8已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛
3、物线y2=4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（）AB C D9若两个正实数x，y 满足+=1，且 x+2ym2+2m恒成立，则实数 m的取值范围是（）A（，2）4，+）B（，4）2，+）C（2，4）D（4，2）10函数 y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）ABCD11已知直线x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B两点，且|=|，其中 O为原点，则实数 a 的值为（）A2 B 2 C 2 或 2 D或12记，其中 e 为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）Aabc Babc Cb ca Dbac 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13双曲线=1
4、的离心率为14己知正方形ABCD 的边长为1，点 E是 AB边上的动点则的值为15已知点 P（x，y）满足，过点 P的直线与圆x2+y2=50 相交于 A，B两点，则|AB|的最小值为小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学16已知数列 an满足 a1=60，an+1an=2n，（nN*），则的最小值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70 分）17如图 ABC中，已知点 D在 BC边上，满足?=0sin BAC=，AB=3，BD=（）求AD的长；（）求cosC18已知数列 an是公差大于零的等差数列，数列 bn为等比数列，且 a1=1，b1=2，b2a2=
5、1，a3+b3=13（）求数列 an和bn的通项公式（）设cn=anbn，求数列 cn 前 n 项和 Tn19已知直线l：y=kx+1，圆 C：（x1）2+（y+1）2=12（1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆 C总有两个交点；（2）求直线l 被圆 C截得的最短弦长20将函数f（x）=sin（x+）（0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx 的图象（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）当 x0，3 时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围21已知函数f（x）=x2+2alnx（1）若函数f（x）
6、的图象在（2，f（2）处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数g（x）=+f（x）在 1，2 上是减函数，求实数a 的取值范围22设 A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+=1（ab0）的两点，=（，），=（，），且?=0，椭圆离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点（1）求椭圆方程；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）若存在斜率为k 的直线 AB过椭圆的焦点F（0，c）（c 为半焦距），求 k 的值；（3）试问 AOB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高
7、中+努力=大学2015-2016 学年吉林省长春外国语学校高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x24，xR，B=x|4，x Z，则 AB（）A（0，2）B0，2 C0，1，2 D0，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出 A与 B中不等式的解集确定出A与 B，找出 A与 B的交集即可【解答】解：由 A中不等式解得：2x2，即A=2，2，由 B中不等式解得：0 x16，xZ，即 B=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，
8、则 AB=0，1，2，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知 i 是虚数单位，则=（）AB C 3i D 3+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】分子分母同乘分母的共轭复数1i 即可求解【解答】解：故选 A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算是分子分母同乘分母的共轭复数3已知向量=（3，4），=（sin ，cos），若，则 tan 的值为（）AB C D【考点】平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系【专题】三角函数的求值；平面向量及应用【分析】由平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，即可求出tan 的值【解答
9、】解：向量=（3，4），=（sin ，cos），3cos=4sin，则 tan =故选 C 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及平面向量与共线向量，熟练掌握基本关系是解本题的关键4已知函数y=sin4xcos4x 是一个（）A周期为 的奇函数B周期为 的偶函数C周期为的奇函数 D周期为的偶函数【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】利用平方差公式及二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简可得y=cos2x，利用周期公式及余弦函数的图象和性质即可得
10、解【解答】解：y=sin4xcos4x=（sin2xcos2x）（sin2x+cos2x）=sin2x cos2x=cos2x，T=，利用余弦函数的图象和性质可得此函数为偶函数故选：B【点评】本题主要考查了平方差公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，周期公式及余弦函数的图象和性质等知识的综合应用，属于基本知识的考查5函数 f（x）=2x+4x3 的零点所在区间是（）A（，）B （，0）C（0，）D（，）【考点】二分法求方程的近似解【专题】函数的性质及应用【分析】据函数零点的判定定理，判断出f（）与 f（）的符号相反，即可求得结论【解答】解：函数f（x）=2x+4x3 的图象是连续的，且在定
11、义域R上为增函数，又f（）=20，f（）=0，故函数 f（x）=2x+4x3 的零点所在区间是（，），故选：A【点评】本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题6下列命题中正确的个数是（）命题“任意x（0，+），2x1”的否定是“任意x?（0，+），2x1；命题“若cosx=cosy，则 x=y”的逆否命题是真命题；若命题p 为真，命题q 为真，则命题p 且 q 为真；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学命题“若x=3，则 x22x3=0”的否命题是“若x3，则 x2 2x30”A1 个B 2 个C 3 个D4 个【考点】命题的真假判断与应用
12、【专题】整体思想；定义法；简易逻辑【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断根据逆否命题的等价性进行判断根据复合命题真假之间的关系进行判断根据否命题的定义进行判断【解答】解：命题“任意x（0，+），2x1”的否定是“存在x（0，+），2x1；故错误，命题“若cosx=cosy，则 x=y”的为假命题，则逆否命题也是假命题；故错误，若命题p 为真，命题 q 为真，则命题q 为假命题，则命题p 且 q 为假命题；故错误，命题“若x=3，则 x22x3=0”的否命题是“若x3，则 x2 2x30”故正确，故命题中正确的个数为1 个，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，
13、四种命题的关系以及复合命题真假之间关系，比较基础7已知变量x，y 满足：，则 z=（）2x+y的最大值为（）AB 2 C2 D4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）设 m=2x+y得 y=2x+m，平移直线y=2x+m，由图象可知当直线y=2x+m经过点 A时，直线y=2x+m的截距最大，此时 m最大由，解得，即 A（1，2），代入目标函数m=2x+y得 z=21+2=4即目标函数z=（）2x+y的最大值为z=（）4=4故选：
14、D小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本思想8已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（）AB C D【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程【解答】解：抛物线y2=4x 的焦点为（1，0），c=1，由离心率可得 a=2，b2=a2c2=3，故椭圆的标准方程为+=1，故选 A【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及求椭圆的标准方程的方法9若两个正
15、实数x，y 满足+=1，且 x+2ym2+2m恒成立，则实数 m的取值范围是（）A（，2）4，+）B（，4）2，+）C（2，4）D（4，2）【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意和基本不等式可得x+2y 的最小值，再由恒成立可得m的不等式，解不等式可得 m范围【解答】解：正实数x，y 满足+=1，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学x+2y=（x+2y）（+）=4+4+2=8，当且仅当=即 x=4 且 y=2 时 x+2y 取最小值8，x+2y m2+2m恒成立，8 m2+2m，解关于 m的不等式可得4m 2 故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉
16、及恒成立问题和不等式的解法，属中档题10函数 y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】根据函数的零点，单调性及极限思想结合选项使用排除法得出答案【解答】解：令 y=（x+2）ln|x|=0得 x=2 或 x=1 或 x=1，该函数由三个零点，排除 B；当 x 2时，x+20，|x|2，ln|x|ln2 0，当 x 2 时，y=（x+2）ln|x|0，排除 C，D故选 A【点评】本题考查了函数图象的判断，常从单调性、奇偶性、特殊点、定义域等几个方面进行判断11已知直线x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B两点
17、，且|=|，其中 O为原点，则实数 a 的值为（）A2 B 2 C 2 或 2 D或【考点】直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用【专题】计算题【分析】条件“|=|”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=|2，?=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法【解答】解：由|=|得|2=|2，?=0，三角形 AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=2，故选C小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】若非零向量，满足|=|，则模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积
18、向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁12记，其中 e 为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）Aabc Babc Cb ca Dbac【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用对数函数性质求解【解答】解：=+1，=，=，e2.71828，ln2 1，b ac故选：D【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13双曲线=1 的离心率为【考点】
19、双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线解析式得出a 与 b的值，再利用双曲线的简单性质求出c 的值，即可求出离心率 e【解答】解：由双曲线解析式得：a=2，b=2，c=2，则双曲线的离心率e=，故答案为：【点评】此题考查了双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键14己知正方形ABCD 的边长为1，点 E是 AB边上的动点则的值为1 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可【解答】解：因为=1故答案为：1【点评】本题考查平
20、面向量数量积的应用，考查计算能力15已知点 P（x，y）满足，过点 P的直线与圆x2+y2=50 相交于 A，B两点，则|AB|的最小值为2【考点】简单线性规划；直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆；不等式【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内到原点距离最远的点，然后结合弦心距、圆的半径及弦长间的关系得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（2，5）由图可知，可行域内的点中，A1到原点的距离最大，为，|AB|的最小值为2故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了直线与圆位置关系的应用，是中档题小学+初中+高中
21、+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学16已知数列 an满足 a1=60，an+1an=2n，（nN*），则的最小值为【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】利用累加法求出an=n2n+60，从而=n+1，由此能求出的最小值【解答】解：数列 an 满足 a1=60，an+1 an=2n，（n N*），an=a1+（a2 a1）+（a3a2）+（anan1）=60+2+4+2（n1）=60+2=n2n+60，=n+1，由 n=，nN*，得 n=8 时，取最小值：8+=故答案为：【点评】本题考查数列的前n 项和与项数n 的比值的最小值的求法，是基础题，解题时
22、要认真审题，注意累加法和基本不等式的合理运用三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70 分）17如图 ABC中，已知点 D在 BC边上，满足?=0sin BAC=，AB=3，BD=（）求AD的长；（）求cosC【考点】余弦定理的应用；正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cosBAD的值，在 ABD 中，由余弦定理求AD的长；（）在 ABD中，由正弦定理，求出sin ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC【解答】解：（）?=0，AD AC，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学sin BAC=，（2 分）在A
23、BD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD22AB?ADcos BAD，即 AD28AD+15=0，解之得 AD=5或 AD=3（6 分）由于 AB AD，AD=3.（7 分）（）在 ABD 中，由正弦定理可知，又由，可知，=，ADB=DAC+C，DAC=，（12 分）【点评】本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力18已知数列 an是公差大于零的等差数列，数列 bn为等比数列，且 a1=1，b1=2，b2a2=1，a3+b3=13（）求数列 an和bn的通项公式（）设cn=anbn，求数列 cn 前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列
24、【分析】（）设数列 an 的公差为d（d0），数列 bn 的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（）把数列 an和bn的通项公式代入cn=anbn，然后直接利用错位相减法求数列cn前 n项和 Tn【解答】解：（）设数列an 的公差为 d（d0），数列 bn的公比为q，由已知得：，解得：，d 0，d=2，q=2，即；（）cn=anbn=（2n1）2n，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学，得：=22324 2n+1+（2n1）2n+1=6+（2n3）2n+1【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，
25、是中档题19已知直线l：y=kx+1，圆 C：（x1）2+（y+1）2=12（1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆 C总有两个交点；（2）求直线l 被圆 C截得的最短弦长【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】（1）联立直线l 与圆 C方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式恒大于 0，得到不论k 为何实数，直线l 和圆 C总有两个交点；（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），表示出直线l 被圆 C截得的弦长，设 t=，讨论出 t 的最大值，即可确定出弦长的最小值【解答】解：（1）由，消去 y 得到（k2+1）x2（24k）x7=0，=（24k
26、）2+28k2+280，不论 k 为何实数，直线l 和圆 C总有两个交点；（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则直线 l 被圆 C截得的弦长|AB|=|x1x2|=2=2，令 t=，则有 tk24k+（t 3）=0，当 t=0 时，k=；当 t 0 时，由 kR，得到=16 4t（t 3）0，解得：1t 4，且t 0，则 t=的最大值为4，此时|AB|最小值为2，则直线 l 被圆 C截得的最短弦长为2【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线与圆的交点，两点间的距离公式，根的判别式，以及一元二次方程的性质，是一道综合性较强的试题小学+初中+高中+努力=大学小
27、学+初中+高中+努力=大学20将函数f（x）=sin（x+）（0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx 的图象（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）当 x0，3 时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象【专题】综合题；函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论（2）由正弦函数的单调性即可求出（3）当 x0，3，令 t=x+，由题意可得g（t）=sint 的图象和直线y=m有
28、唯一的交点，结合图象可得m的范围【解答】解：（1）由题意可得，把 y=sinx的图象向左平移个单位长度得到y=sin（x+）的图象；再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，可得y=sin（x+）的图象，故 f（x）=sin（x+）=sin（x+x）x+），求得=，=，即 f（x）=sin（x+）（2）由（1）知 f（x）=sin（x+），所以+2kx+2k，kZ，即+4k x+4k，kZ，故函数 f（x）的单调增区间为+4k，+4k ，kZ（3）当 x0，3 时，x+，sin（x+）1，1 令 t=x+，方程 f（x）=m有唯一实数根，即函数f（x）=g（t）=sint 的图
29、象和直线y=m有唯一的交点结合图象可得，当0.5 m 0.5 时，g（t）=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点，故 m的范围为：0.5 m 0.5，或 m=1，或 m=1 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题21已知函数f（x）=x2+2alnx（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2）处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数g（x）=+f（x）在 1，2 上是减函数
30、，求实数a 的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，由导数的几何意义得f（2）=1，解得即可；（2）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意x0；（3）根据函数的单调性与导数的关系可得g（x）0 在1，2 上恒成立，即+2x+0在1，2 上恒成立即ax2在 1，2 上恒成立 利用导数求出函数h（x）=x2在1，2 上的最小值，即可得出结论【解答】解：（1）函数 f（x）=x2+2alnx 的导数为f（x）=2x+，由已知 f（2）=1，即 4+a
31、=1，解得 a=3（2）f（x）=x26lnx 的导数为f（x）=2x，x0由 f（x）0，可得 x，f（x）0，可得 0 x，即有 f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+）；（3）由 g（x）=+x2+2alnx，得 g（x）=+2x+，由已知函数g（x）为 1，2 上的单调减函数，则 g（x）0 在1，2 上恒成立，即+2x+0 在1，2 上恒成立即 ax2在 1，2 上恒成立小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令 h（x）=x2，在 1，2 上 h（x）=2x0，所以 h（x）在 1，2 为减函数 h（x）min=h（2）=，所以 a【点评】本题主要考查导数的几何
32、意义，利用导数研究函数的单调性、最值等知识，属于中档题22设 A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+=1（ab0）的两点，=（，），=（，），且?=0，椭圆离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点（1）求椭圆方程；（2）若存在斜率为k 的直线 AB过椭圆的焦点F（0，c）（c 为半焦距），求 k 的值；（3）试问 AOB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】综合题【分析】（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得（2）设 AB方程为 y=kx+，与椭圆方程联立，利用韦达定理及?=0，即可求得k 的值；（3）当 A
33、为顶点时，B必为顶点，则 AOB 的面积是1；当 A，B不为顶点时，设AB方程为y=kx+m与椭圆方程联立，利用韦达定理及?=0，可得 2m2k2=4，从而可得结论【解答】解：（1）椭圆离心率e=，短轴长为2，解得 a=2，b=1 所求椭圆方程为；（2）设 AB方程为 y=kx+，与椭圆方程联立，消元可得（k2+4）x2+2kx1=0，由已知=（，），=（，），且?=0，+=0（k）=0 k=（3）当 A为顶点时，B为顶点，则 AOB 的面积是1；当 A，B不为顶点时，设AB方程为 y=kx+m 与椭圆方程联立，消元可得（k2+4）x2+2kmx+m24=0 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学，?=0，（kx2+m）=0 2m2k2=4 AOB的面积是|m|x1x2|=三角形的面积为定值1【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题