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1、第一章 波粒二象性本讲稿第一页，共三十八页前前 言言 量子概念是量子概念是1900 年普朗克首先提出的，经过爱因斯坦年普朗克首先提出的，经过爱因斯坦,德德布罗意布罗意,薛定谔薛定谔.等努力，于等努力，于20世纪世纪30年代，建立了年代，建立了量子力学量子力学，这是关于微观世界的理论，和这是关于微观世界的理论，和相对论相对论一起一起,已成为已成为现代物理学现代物理学的理论基础。的理论基础。十九世纪末，十九世纪末，经典物理经典物理(力学、电学、光学、热力学和统力学、电学、光学、热力学和统计物理计物理)已相当成熟，对物理现象本质的认识似乎已经完成。已相当成熟，对物理现象本质的认识似乎已经完成。但在喜
2、悦的气氛中，当研究的触角进入了但在喜悦的气氛中，当研究的触角进入了“微观粒微观粒子子”尺度时，一系列实验发现（如后边将提到的黑体辐尺度时，一系列实验发现（如后边将提到的黑体辐射、光电效应等实验）都是无法用经典物理学解释的。射、光电效应等实验）都是无法用经典物理学解释的。这迫使人们跳出传统的物理学框架，去寻找新的解决途这迫使人们跳出传统的物理学框架，去寻找新的解决途径，从而导致了量子理论的诞生。径，从而导致了量子理论的诞生。本讲稿第二页，共三十八页第一章第一章 波粒二象性（波粒二象性（6学时）学时）(Wave-Particle Duality)1.1光的波粒二象性光的波粒二象性1.2 粒子的波动
3、性粒子的波动性1.3 概率波与概率幅概率波与概率幅1.4 不确定关系不确定关系本讲稿第三页，共三十八页1.1光的波粒二象性光的波粒二象性（Light wave-particle duality）一、经典物理学的困难一、经典物理学的困难由经典理论导出的维恩公式和瑞利由经典理论导出的维恩公式和瑞利金斯公金斯公式均不能完全解释黑体辐射的实验结果。式均不能完全解释黑体辐射的实验结果。(一一)、黑体辐射、黑体辐射经典热力学经典热力学和麦氏分布和麦氏分布维恩公式维恩公式经典电磁学经典电磁学和能量均分和能量均分瑞利瑞利-金斯公式金斯公式0 1 2 35 4 3 2 1(1014 Hz)M(10-9 W/m2
4、Hz)黑体模型黑体模型 实验曲线实验曲线绝对黑体辐射出射度绝对黑体辐射出射度 曲线曲线本讲稿第四页，共三十八页1、光电效应：光电效应：光照到金属表面时，光照到金属表面时，电子从金属表面逸出的现象。电子从金属表面逸出的现象。光电效应的实验装置如图：光电效应的实验装置如图：(二二)、光电效应、光电效应2、光电效应的、光电效应的实验规律实验规律(1)、光电流与入射光强度的关系光电流与入射光强度的关系饱和光电流饱和光电流im和入射光强度和入射光强度I成正比。成正比。-UcUI1I20I2I1(2)、光电子的初动能和入射光频光电子的初动能和入射光频 率之间的关系率之间的关系截止电压截止电压:使光电流为零
5、的反向电压使光电流为零的反向电压VGGDKA光电管光电管阴极阴极石英窗石英窗阳极阳极本讲稿第五页，共三十八页0.01.02.04.06.08.010.0Cs Na Ca截止电压与入射光频率的关系截止电压与入射光频率的关系U0：对不同金属不同，对同一：对不同金属不同，对同一 金属为常量金属为常量：与材料无关的普通恒量：与材料无关的普通恒量即：光电子逸出时的最大初动能随入射光的频率增大而线即：光电子逸出时的最大初动能随入射光的频率增大而线性增大，与入射光的强度无关。性增大，与入射光的强度无关。本讲稿第六页，共三十八页(3)、光电效应的红限频率光电效应的红限频率红限频率红限频率当光照射某金属时，无论
6、光强度如何，如果入射光频当光照射某金属时，无论光强度如何，如果入射光频率小于该金属的红限频率率小于该金属的红限频率 ，就不会产生光电效应。，就不会产生光电效应。(4)、光电效应和时间的关系光电效应和时间的关系只要入射光的频率大于被照金属的红限频率，不管光的强只要入射光的频率大于被照金属的红限频率，不管光的强度如何，都会立即产生光电子，时间不超过度如何，都会立即产生光电子，时间不超过10-9s。用光的用光的经典电磁理论无法解释光电效应：经典电磁理论无法解释光电效应：1)光波的强度与频率无关，电子吸收的能量也与频率光波的强度与频率无关，电子吸收的能量也与频率无关，更不存在截止频率！无关，更不存在截
7、止频率！2)2)光波的能量分布在波面上，阴极电子积累能量克光波的能量分布在波面上，阴极电子积累能量克 服逸服逸出功需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生！出功需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生！讨论讨论本讲稿第七页，共三十八页康普顿（康普顿（1923）研究）研究X X射线在石墨上的散射射线在石墨上的散射 实实验验规规律律:在在散散射射的的X射射线线中中，除除有有波波长长与与入入射射射射线线相同的成分外，相同的成分外，还有波还有波长较长的成分。波长的长较长的成分。波长的偏移只与散射角偏移只与散射角 有关。有关。叫电子叫电子Compton波长波长(三三)康普顿散射康普顿散射讨论：讨论：波长改变的散
8、射叫波长改变的散射叫康普顿散射。康普顿散射。按经典理论按经典理论X X射线散射射线散射向周围辐射同频率的电磁波向周围辐射同频率的电磁波,而康普顿散射中波长而康普顿散射中波长较长的成分较长的成分经典物理无法解释经典物理无法解释。X射线射线0 0(0 0)探测器探测器石墨石墨本讲稿第八页，共三十八页（四）（四）氢原子光谱氢原子光谱 氢原子光谱氢原子光谱:位置稳定的位置稳定的分立的线状光谱分立的线状光谱经典物理经典物理困难困难：根据经典电动力学，电子环绕核的运动是加速根据经典电动力学，电子环绕核的运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射能量，电子轨道半径越来越小，运动，因而不断以辐射方式发射能量，电子
9、轨道半径越来越小，直到掉到原子核上直到掉到原子核上,必然产生连续光谱。必然产生连续光谱。综上所述，黑体辐射、光电效应、康普顿散射、原子的光综上所述，黑体辐射、光电效应、康普顿散射、原子的光谱线系等物理现象揭露了经典物理学的局限性，突现了经典谱线系等物理现象揭露了经典物理学的局限性，突现了经典物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规律打下基础。律打下基础。经典物理经典物理量子力学量子力学革命性革命性变革！变革！现代物理学现代物理学相对论相对论红红蓝蓝紫紫6562.84861.34340.5本讲稿第九页，共三十八页二、普朗克量子化假设
10、，能量子二、普朗克量子化假设，能量子普朗克能量量子化假设：普朗克能量量子化假设：普朗克常数：普朗克常数：普朗克黑体辐射公式：普朗克黑体辐射公式：普朗克公式普朗克公式 与实验符合与实验符合对频率为对频率为 的谐振子，最小能量的谐振子，最小能量叫能量子叫能量子。辐射物体中具有带电的谐振子（原辐射物体中具有带电的谐振子（原子、分子的振动）它们和经典物理中所说的不同，这些谐子、分子的振动）它们和经典物理中所说的不同，这些谐振子和周围的电磁场交换能量，只能处于某些特殊的状态，振子和周围的电磁场交换能量，只能处于某些特殊的状态，相应的能量是某一最小能量的整数倍，即相应的能量是某一最小能量的整数倍，即振子的
11、能量是不振子的能量是不连续的，连续的，即即维恩公式维恩公式瑞利瑞利-金斯公式金斯公式0 1 2 35 4 3 2 1(1014 Hz)M(10-9 W/m2Hz)实验曲线实验曲线本讲稿第十页，共三十八页2、光子理论对光电效应的解释：、光子理论对光电效应的解释：光照射金属表面，一个光子能量可立即被金属中的自由电子吸收。光照射金属表面，一个光子能量可立即被金属中的自由电子吸收。当入射光的频率足够高，每个光量子的能量当入射光的频率足够高，每个光量子的能量h 足够大时，电子足够大时，电子才可能克服逸出功才可能克服逸出功A逸出金属表面。逸出金属表面。三、爱因斯坦光子理论三、爱因斯坦光子理论,光子光子1、
12、爱爱因因斯斯坦坦假假定定：光光不不仅仅在在发发射射和和吸吸收收时时具具有有粒粒子子性性，在在空空间间传传播播时时也也具具有有粒粒子子性性，即即一一束束光光是是一一粒粒一一粒粒以以光光速速c运运动动的的粒粒子子流流，这这些些粒粒子子称称为为光光量量子子，简简称称光光子子。每每一一光光子的能量是：子的能量是：爱因斯坦光电效应方程：爱因斯坦光电效应方程：A：逸出功：逸出功红限频率红限频率:普朗克常数：普朗克常数：当当 A/h时时,不发生光电效应不发生光电效应本讲稿第十一页，共三十八页根据光子理论，一个光子的能量为：根据光子理论，一个光子的能量为：根据相对论的质能关系：根据相对论的质能关系：光子的质量
13、：光子的质量：光子的静止质量：光子的静止质量：光子的动量：光子的动量：3、光的波粒二象性、光的波粒二象性光既具有波动性，也具有粒子性。光既具有波动性，也具有粒子性。二者通过普朗克常数相联系。二者通过普朗克常数相联系。光的光的波动性：波动性：用光波的用光波的波长波长和频率和频率描述描述光的光的粒子性粒子性：用光子的用光子的质量、质量、能量和动量能量和动量描述，描述，本讲稿第十二页，共三十八页(1)模型：模型：“X射线光子与静止的射线光子与静止的自由自由 电子的弹性碰撞电子的弹性碰撞”，与能量，与能量 很大的入射很大的入射X光子相比，石墨原子光子相比，石墨原子中结合较弱的电子近似为中结合较弱的电子
14、近似为“静止静止”的的“自由自由”电子。电子。四、康普顿散射验证光的量子性四、康普顿散射验证光的量子性 由光的量子论由光的量子论 =h 和质能关系和质能关系:2=p2c2+m02c42341原始原始 =450 =900 =13500.700.75()强强度度及光子的及光子的“静止质量静止质量”m0=0，得光子的动量得光子的动量:1、康普顿的解释康普顿的解释:本讲稿第十三页，共三十八页(2)(2)X射线光子与射线光子与“静止静止”的的“自由电子自由电子”弹性碰撞弹性碰撞 过程中过程中能量与动量守恒能量与动量守恒可求得波长偏移可求得波长偏移 e本讲稿第十四页，共三十八页 1）首次实验证实爱因斯坦提
15、出的）首次实验证实爱因斯坦提出的“光量子具有光量子具有 动量动量”的假设的假设。2、康普顿散射实验的意义、康普顿散射实验的意义 2 2）支持了）支持了“光量子光量子”概念，证实了概念，证实了普朗克假设普朗克假设 =h。3）证实了）证实了在微观的单个碰撞事件中，动量和能在微观的单个碰撞事件中，动量和能 量守恒定律仍然是成立的。量守恒定律仍然是成立的。本讲稿第十五页，共三十八页1.定态假设定态假设:原子系统只能取一系原子系统只能取一系列不连续的稳定态，相应的能量列不连续的稳定态，相应的能量取不连续的值取不连续的值频率公式频率公式玻尔的基本假设玻尔的基本假设 玻尔理论（玻尔理论（1913）是在）是在
16、经典理论经典理论基础上加一些新的量子基础上加一些新的量子假设，虽然很好地解释了氢原子线状光谱，但还远未能反假设，虽然很好地解释了氢原子线状光谱，但还远未能反映微观世界的本质。映微观世界的本质。因此更突现了认识微观粒子运动规律因此更突现了认识微观粒子运动规律的迫切性。的迫切性。20世纪世纪30年代，建立了年代，建立了量子力学。量子力学。五、玻尔量子假设解释氢原子线状光谱五、玻尔量子假设解释氢原子线状光谱 2.频率规则频率规则:原子从一个稳定态原子从一个稳定态 跃迁到另一个稳定态跃迁到另一个稳定态,同时发射同时发射(或吸收或吸收)单色光。单色光。本讲稿第十六页，共三十八页例例1：当波长为：当波长为
17、3000Ao的光照射在某金属表面时，的光照射在某金属表面时，光电子的能量范围从光电子的能量范围从0到到4.010-19J。在作上述光电效应实验时遏止电压为在作上述光电效应实验时遏止电压为|U c|=V；此金属的红限频率此金属的红限频率vo=Hz。（普朗克常量（普朗克常量h=6.6310-34Js;基本电荷基本电荷e=1.6010-19C）2.54.01014光电效应方程光电效应方程红限频率红限频率:本讲稿第十七页，共三十八页例例2：钾的红限波长钾的红限波长 ，求钾的逸出功求钾的逸出功,在波长在波长 的紫外光照射下的紫外光照射下,钾的截止电势差为多少钾的截止电势差为多少?解解 1)2)本讲稿第十
18、八页，共三十八页一、德布罗意假设一、德布罗意假设实物粒子具有波动性，与粒子相联系的实物粒子具有波动性，与粒子相联系的波称为波称为德布罗意波。德布罗意波。1924年年,法国青年物理学家法国青年物理学家德布罗意德布罗意 (de Broglie)提出提出,既然光具有粒子性既然光具有粒子性,是否实物是否实物粒子如电子也应当具有波动性？粒子如电子也应当具有波动性？德布罗意德布罗意获得获得19291929年年诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖1.2 粒子的波动性粒子的波动性（Particle wave）L.V.de Broglie(法法1892-1986)实物粒子实物粒子德布罗意波德布罗意波本讲稿第十九页，共三
19、十八页1.戴维孙戴维孙革末实验革末实验(1927年）年）UKDGB电电流流计计热阴极热阴极I集集电电器器晶体晶体二、实验验证二、实验验证IU 电子束在晶体表电子束在晶体表面上散射的实验面上散射的实验,观观察到和察到和X射线衍射射线衍射相似的电子衍射现相似的电子衍射现象。象。使一束电子投射使一束电子投射到镍晶体特选晶面到镍晶体特选晶面上，探测器测量沿上，探测器测量沿不同方向散射的电不同方向散射的电子束的强度。子束的强度。本讲稿第二十页，共三十八页散射电子束具有波动性，像散射电子束具有波动性，像X射线一样，射线一样，电子束极大的方向满足布喇格方程电子束极大的方向满足布喇格方程根据德布罗意公式根据德
20、布罗意公式代入布喇格公式代入布喇格公式改变改变k值求出值求出U值，与实验比较，值，与实验比较，发现与发现与I取极大值时的取极大值时的U相符，相符，证明电子像射线一样具有波动性，证明电子像射线一样具有波动性，并证明了德布罗意公式的正确性。并证明了德布罗意公式的正确性。IU本讲稿第二十一页，共三十八页 2.同年，英国的汤姆逊用多晶体做电子衍射实验同年，英国的汤姆逊用多晶体做电子衍射实验,也得到了电子衍射照片。也得到了电子衍射照片。十年后，戴维逊、汤姆逊因电子衍射实验的成果共获十年后，戴维逊、汤姆逊因电子衍射实验的成果共获1937年度诺贝尔物理奖。年度诺贝尔物理奖。本讲稿第二十二页，共三十八页3.1
21、961年，约恩逊进行了电子的单缝、双缝和多缝衍射实验，年，约恩逊进行了电子的单缝、双缝和多缝衍射实验，得出了衍射条纹的照片。得出了衍射条纹的照片。4.随后，用衍射实验证实了中子、质子、原子和分子等随后，用衍射实验证实了中子、质子、原子和分子等微观都具有波动性，德布罗意公式对这些粒子同样正微观都具有波动性，德布罗意公式对这些粒子同样正确性。确性。本讲稿第二十三页，共三十八页例题例题1：m=0.01kg，v=300m/s的子弹，的子弹，求求。讨论讨论：h极其微小极其微小,宏观物体的波长小得实验难以量宏观物体的波长小得实验难以量,“宏观物体只表现出粒子性宏观物体只表现出粒子性”例题例题2:计算被电场
22、加速运动电子的计算被电场加速运动电子的德布罗意德布罗意波长。波长。设：加速电压为设：加速电压为电子静止质量电子静止质量 me=9.1 10-31 kg当当Vc 时时当当本讲稿第二十四页，共三十八页光子流光子流S振动在弹性媒质中的传播振动在弹性媒质中的传播光波：光波：德布罗意波：德布罗意波：光通过单缝形成明暗相间的衍射条纹光通过单缝形成明暗相间的衍射条纹说明：说明：波动说波动说：光通过狭缝后衍射和干涉的：光通过狭缝后衍射和干涉的总效果，条纹明暗不同，表示光强不总效果，条纹明暗不同，表示光强不同。同。光子说光子说：每个光子具有一定的能：每个光子具有一定的能量，光强的大小表示光子数目的量，光强的大小
23、表示光子数目的多少。光强分布的曲线可以看成多少。光强分布的曲线可以看成光子堆积曲线。光子堆积曲线。机械波：机械波：电磁波电磁波概率波概率波 1.3 概率波与概率幅概率波与概率幅 (Probability wave and amplitude of probability wave)本讲稿第二十五页，共三十八页1.1.玻恩假定玻恩假定波函数波函数 是一种概率波是一种概率波,本身无物理意义，但本身无物理意义，但波波函数模的平方函数模的平方 代表时刻代表时刻 t，在空，在空间间 点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。率密度。因此波函数因此波函数
24、y y 又叫概率幅。又叫概率幅。2.2.用电子双缝衍射实验说明概率波的含义用电子双缝衍射实验说明概率波的含义单电子单电子:通过双缝通过双缝,一开始一开始,亮点的分布完全无规亮点的分布完全无规则则,随着入射电子数的增加随着入射电子数的增加,亮点的分布逐渐呈现亮点的分布逐渐呈现双缝干涉的明暗条纹。明纹就是到达那里的电子双缝干涉的明暗条纹。明纹就是到达那里的电子多多,暗纹就是到达那里的电子少暗纹就是到达那里的电子少,或者说或者说,电子到达明电子到达明纹处的概率大纹处的概率大,到达暗纹处的概率小到达暗纹处的概率小。入射强电子流入射强电子流:底片上很快出现衍射图样。底片上很快出现衍射图样。实验现象：实验
25、现象：本讲稿第二十六页，共三十八页(1)(1)入射强电子流入射强电子流(2)(2)入射弱电子流入射弱电子流 概率波的干涉结果概率波的干涉结果 :底片上很快出现衍射图样，底片上很快出现衍射图样，许多电子在同一个实验中的统计结果许多电子在同一个实验中的统计结果.:开始时点子无规分布，随着电开始时点子无规分布，随着电 子增多，逐渐形成衍射图样子增多，逐渐形成衍射图样，一个电子重一个电子重 复许多次相同实验表现出的统计结果复许多次相同实验表现出的统计结果3.结论：结论：本讲稿第二十七页，共三十八页 一、不确定关系一、不确定关系经典力学：经典力学：任意时刻质点在轨道上有确定的位置和速度，任意时刻质点在轨
26、道上有确定的位置和速度，表示为表示为:1.4 1.4 不确定关系不确定关系(Uncertainty principle)量子力学量子力学：粒子的空间位置用概率波描述，任一时刻粒：粒子的空间位置用概率波描述，任一时刻粒子不能同时具有确定的位置和动量。在某一方向，粒子子不能同时具有确定的位置和动量。在某一方向，粒子位置的不确定量和该方向上动量的不确定量有一个简单位置的不确定量和该方向上动量的不确定量有一个简单的关系，被称为的关系，被称为不确定关系不确定关系。本讲稿第二十八页，共三十八页1)位置的不确定程度位置的不确定程度 电子在单缝处的位置电子在单缝处的位置 不确定量为不确定量为三、不确定关系的实
27、验研究三、不确定关系的实验研究I2 2）单缝处电子的动量的不确定程度）单缝处电子的动量的不确定程度U忽略次级极大，认为电子都落在中忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内，则：央亮纹内，则：x方向上的动量不确定量为：方向上的动量不确定量为：本讲稿第二十九页，共三十八页或：或：定义：定义：h普朗克常量普朗克常量考虑到衍射条纹的次级极大考虑到衍射条纹的次级极大,可得可得代入代入(2)式有式有本讲稿第三十页，共三十八页 海森伯（海森伯（W.Heisenberg）1927年由量子年由量子力学给出更严格的结论，力学给出更严格的结论，位位置和动量的不确定关系：置和动量的不确定关系：海森堡海森堡获获1932年
28、诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖更一般的结论：更一般的结论：本讲稿第三十一页，共三十八页四四.能量与时间的不确定性关系能量与时间的不确定性关系粒子可能发生的位移粒子可能发生的位移能级自然宽度和寿命能级自然宽度和寿命本讲稿第三十二页，共三十八页超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。3.不确定关系对不确定关系对宏观物体宏观物体不显现作用。如不显现作用。如m=1g的物体，的物体，不超过不超过10-6m（这是可以做到的），（这是可以做到的），讨论讨论1.不不确确定定关关系系说说明明：微微观观粒粒子子在在某某个个方方向向上上的的坐坐标标和和 动动量量不不能能同
29、同时时准准确确地地确确定定，其其中中一一个个不不确确定定量量越越小小，另一个不确定量越大，若另一个不确定量越大，若 为零，为零，则无穷大。则无穷大。本讲稿第三十三页，共三十八页例例1原子（线度原子（线度 10 10-10-10 m）中电子运动不存在）中电子运动不存在“轨道轨道”。设电子的动能设电子的动能 E=10 eV，平均速度平均速度速度的不确定度速度的不确定度 V与与V 同数量级同数量级 经典轨道概念不再适用经典轨道概念不再适用!取而代之是取而代之是“电子云电子云”分布。分布。五五.用不确定性关系作数量级估算用不确定性关系作数量级估算 10 6(m/s)解：解：+MrnmV本讲稿第三十四页
30、，共三十八页例例2.氢原子基态电子速度氢原子基态电子速度 原子大小原子大小 求求 解解:速度完全不确定速度完全不确定例例4.原子处于某激发态的时间为原子处于某激发态的时间为 该激发态能级宽度为多少该激发态能级宽度为多少?解解:本讲稿第三十五页，共三十八页二、光电效应，爱因斯坦光子理论二、光电效应，爱因斯坦光子理论1、光子的能量：、光子的能量：2、光子的动量：、光子的动量：3 3、爱因斯坦光电效应方程、爱因斯坦光电效应方程第一章第一章 波粒二象性小结波粒二象性小结 (Summary and revision)谐振子能量为：谐振子能量为：一、普朗克量子假设：一、普朗克量子假设：爱爱因因斯斯坦坦认认
31、为为：光光不不仅仅在在发发射射和和吸吸收收时时具具有有粒粒子子性性，在在空空间间传传播播时时也也具具有有粒粒子子性性，即即一一束束光光是是一一粒粒粒粒以以光光速速c运运动动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子光子。本讲稿第三十六页，共三十八页4 4、光电效应的红限频率、光电效应的红限频率光的光的粒子性：粒子性：用光子的用光子的质量、质量、能量和动量能量和动量描述，描述，三、光的波粒二象性三、光的波粒二象性光既具有波动性，也具有粒子性。光既具有波动性，也具有粒子性。二者通过普朗克常数相联系。二者通过普朗克常数相联系。光的光的波动性：波动性：用光波的用光波的波长
32、波长和频率和频率描述，描述，四、粒子的波动性四、粒子的波动性德布罗意假设德布罗意假设：实物粒子的波长实物粒子的波长与粒子相联系的波称为与粒子相联系的波称为概率波概率波,或或德布罗意波德布罗意波本讲稿第三十七页，共三十八页五、概率波与概率幅五、概率波与概率幅六、不确定关系六、不确定关系位置动量不确定关系：位置动量不确定关系：能量时间不确定关系：能量时间不确定关系：德布罗意波德布罗意波是是概率波概率波,本身无物理意义，但波函数模本身无物理意义，但波函数模的平方的平方 代表时刻代表时刻 t，在空间，在空间 点处点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。因此波函数因此波函数 y y 又叫概率幅。又叫概率幅。本讲稿第三十八页，共三十八页