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1、最速降线的验证实验最速降线的验证实验 一个在点O(0,0)静止的质点在重力作用下，该沿什么轨迹曲线C无摩擦地从点O(0,0)滑到点B(1,1),才能使所花时间T短？O(0,0)A(x,y)B(1,1)xyC 图1 质点沿曲线C下降问题描述问题描述 耗用时间的计算用曲线积分试比较几种不同的曲线（1）C为直线（2）C为圆弧（3）C为抛物线（4）C为摆线（1）C为直线 过点O 与点B 的直线方程为x=y (0y1)耗用时间为:（2）C为圆弧 其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径且r1。因为圆心必在直线段OB的垂直平分线上，故推得a+b=1,进而得：过点O与点B的圆弧方程为此时T是r的函数 1.522
2、.530.5850.58750.590.59250.5950.5975r=1.33136时，耗时最少：T2=0.58512（3）C为抛物线 过点O与点B的抛物线方程为x=ay2+(1-a)y，(0y 1)其中，参数a:0a1.0.20.40.60.810.590.610.620.630.64此时T是a的函数 a=0.913034时，耗时最少：T3=0.583778(4)C为摆线 过点O与点B的摆线参数方程为耗时：T4=0.583203 结 果 比 较曲 线 耗 时直线圆弧抛物线 摆线 T1=0.638877 T2=0.585120 T3=0.583778 T4=0.583203 可见，确实是摆线耗时最短，但抛物线也几乎相同.