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1、高数第一章第八节函数的连续性与间断点本讲稿第一页，共三十二页2【引言引言】自然界中的许多现象，如气温的变化、自然界中的许多现象，如气温的变化、河水的流动、动植物的生长等等都是河水的流动、动植物的生长等等都是连续地变化着的；这种现象在数学上连续地变化着的；这种现象在数学上的反映，就是函数的连续性的反映，就是函数的连续性.本讲稿第二页，共三十二页3一、函数的连续性1.【增量增量】【增量的几何解释增量的几何解释】本讲稿第三页，共三十二页42.【连续的定义连续的定义】【概念描述概念描述】【定义定义1 1】连续的本质连续的本质本讲稿第四页，共三十二页5【定义定义2】【注注】f(x)在在x0 0处连续的三
2、个条件处连续的三个条件（三条缺一不可三条缺一不可）则称函数则称函数 y=f(x)在点在点x0处连续处连续.本讲稿第五页，共三十二页6【注解注解】条件条件 条件条件在本质上是一样的，只是形式上的不同在本质上是一样的，只是形式上的不同条件条件式清楚地反映了连续概念的实质，式清楚地反映了连续概念的实质，即即自变量产生微小变化时，函数自变量产生微小变化时，函数的变化也很微小的变化也很微小.但在证明具体函数的连续性以及作理论分析时，但在证明具体函数的连续性以及作理论分析时，常应用条件常应用条件式（因为条件式（因为条件要具体计算要具体计算y,往往很麻烦）往往很麻烦）本讲稿第六页，共三十二页7【补例补例1】
3、【证证】由定义由定义2知知f(x)在在x0的邻域内显然有定义的邻域内显然有定义本讲稿第七页，共三十二页83.【单侧连续单侧连续】【左连续左连续】【右连续右连续】【定理定理】本讲稿第八页，共三十二页9【补例补例2】【解解】右连续但不左连续，右连续但不左连续，本讲稿第九页，共三十二页104.【连续函数与连续区间连续函数与连续区间】在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连续函数连续函数,或者说或者说函数在该区间上连续函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.【几何表现几何表现】闭区间闭区间a,b上
4、的连续上的连续函数的集合函数的集合本讲稿第十页，共三十二页11【相关结论相关结论】5中已证多项式中已证多项式 f(x)有有 在定义域内连续在定义域内连续.3 例例5 已证明已证明本讲稿第十一页，共三十二页12【例例3】【证证】【相关结论相关结论】本讲稿第十二页，共三十二页13二、函数的间断点【描述描述】如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数数 f(x)在点在点 x0 处处不连续不连续（或（或间断间断），并称点），并称点 x0 为为 f(x)的的不连续点不连续点（或（或间断点间断点）.函数函数 f(x)在点在点x0处处连续连续必须满足的三个条件必须
5、满足的三个条件本讲稿第十三页，共三十二页141.【间断点定义间断点定义】设函数设函数 f(x)在点在点x0的的某去心邻域内某去心邻域内有定义。在有定义。在此前提此前提下下，如果函数，如果函数 f(x)有下列三种情形有下列三种情形之一之一：在在 x=x0 没有定义；没有定义；虽在虽在 x=x0 有定义，但有定义，但 不存在；不存在；虽在虽在 x=x0 有定义，且有定义，且 存在，但存在，但则函数则函数 f(x)在点在点 x0 处处不连续不连续（或（或间断间断），并称点），并称点 x0 为为 f(x)的的不连续点不连续点（或（或间断点间断点）.本讲稿第十四页，共三十二页15【特别强调特别强调】连续
6、点要求在连续点要求在x0的的某邻域内某邻域内有定义；有定义；间断点要求在间断点要求在x0的的某去心邻域内某去心邻域内有定义；有定义；失去这个前提，则不能研究点失去这个前提，则不能研究点x0的连续性的连续性.例如例如定义域是一些离散的点的集合，在这些点的某空定义域是一些离散的点的集合，在这些点的某空心邻域心邻域 f(x)无定义无定义,则这些点既则这些点既不是不是f(x)的的连续连续点点，也，也不是不是它的它的间断点间断点连续点连续点x0与间断点与间断点x0的共性是：的共性是：均要求在均要求在x0的某去的某去心邻域内有定义（心邻域内有定义（【思考思考】为什么？为什么？），），在这个前提在这个前提下
7、才有下才有“f(x)的不连续点就是它的间断点的不连续点就是它的间断点”成立成立.本讲稿第十五页，共三十二页16跳跃间断点跳跃间断点【补例补例4】【解解】2.【函数间断点的几种常见类型函数间断点的几种常见类型】(1).【第一类间断点第一类间断点】(左右极限都存在的点左右极限都存在的点).).1本讲稿第十六页，共三十二页17可去间断点可去间断点【补例补例5】本讲稿第十七页，共三十二页18【解解】【说明说明】可去间断点只要可去间断点只要改变改变（原来有定义时）（原来有定义时）或者或者补补充充（原来无定义时）（原来无定义时）间断点处函数的间断点处函数的定义定义,则可使其变则可使其变为连续点，故称其为为
8、连续点，故称其为可去间断点可去间断点.本讲稿第十八页，共三十二页19如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.【特点特点】可去型可去型 ：左右极限存在且左右极限存在且相等相等.跳跃型跳跃型：左右极限存在但左右极限存在但不相等不相等.本讲稿第十九页，共三十二页20(2)【第二类间断点第二类间断点】【补例补例6】【解解】【特点特点】这种情况称为这种情况称为无穷间断点无穷间断点本讲稿第二十页，共三十二页21【例例7】【解解】这种情况称为这种情况称为振荡间断点振荡间断点.【特点特点】振荡而不存在，但均不为振荡而不存在，但均不为，称之，称之.本讲稿
9、第二十一页，共三十二页22狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间断点且都是第二类间断点.仅在仅在x=0 处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.特别地特别地【注意注意】不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.本讲稿第二十二页，共三十二页23在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处处连但其绝对值处处连续续.【观察练习观察练习】立即说出下列间断点类型立即说出下列间断点类型:本讲稿第二十三页，共三十二页24又如:无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点可去间断点可去间断点本讲稿第二十
10、四页，共三十二页25【补例补例8】【解解】本讲稿第二十五页，共三十二页26【典型补充例题典型补充例题】备用机动题备用机动题【补充补充1】【解解】的间断点为的间断点为则则的间断点为的间断点为因为因为所以所以是是 的第一类间断点（跳跃型）的第一类间断点（跳跃型）本讲稿第二十六页，共三十二页27【补充补充2】【解解】则则是是 的第一类（可去）间断点的第一类（可去）间断点.本讲稿第二十七页，共三十二页28右连续右连续三、小结左连续左连续在点在点连续的等价形式连续的等价形式第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型其它其它本讲稿第二十八页，共三十二页29可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx本讲稿第二十九页，共三十二页30【思考题思考题】本讲稿第三十页，共三十二页31【思考题解答思考题解答】且且本讲稿第三十一页，共三十二页32但反之不成立但反之不成立.例例但但本讲稿第三十二页，共三十二页