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1、第第4章章 数字控制系统建模与分析数字控制系统建模与分析 本章主要阐述如下几个问题：本章主要阐述如下几个问题：建立数控系统的离散化数学模型，即带零阶保持器的连续建立数控系统的离散化数学模型，即带零阶保持器的连续对象离散化；对象离散化；改进的改进的Z变换及其应用，变换及其应用，建立具有迟后特性的连续对象的建立具有迟后特性的连续对象的离散化模型及求取系统采样点之间的响应离散化模型及求取系统采样点之间的响应；系统性能分析，包括时、频、系统性能分析，包括时、频、Z域几方面的动、静态特性域几方面的动、静态特性分析；分析；扰动对系统的影响。扰动对系统的影响。4.1 引言引言数字数字控制器控制器D(z)保持
2、器保持器Gh0(s)连续连续对象对象G(s)r(t)y(t)Gd(z)数字控制系统离散化数字控制系统离散化4.2 改进的改进的Z变换变换（广义（广义Z变换或扩展变换或扩展Z变换）变换）4.2.1 定义定义在信号在信号f(t)超前或滞后不是超前或滞后不是T 的整数倍情况的整数倍情况下的下的Z变换。与普通变换。与普通Z变换并无本质区别。变换并无本质区别。例例4-2-1tf(t)4.2.2 求系统采样点之间的响应求系统采样点之间的响应 问题：问题：已知已知G(z,)，若给出输入信号若给出输入信号u(t)，求系统输出求系统输出y(t)采样点之间的响应。采样点之间的响应。步骤：步骤：1 求求Y(z,)=
3、G(z,)U(z)；2 求求y(kT+T)=Z-1Y(z,)，当，当T从从0T时，可求得系统输时，可求得系统输出在采样点之间任意时刻的值。出在采样点之间任意时刻的值。4.3 带零阶保持器的连续对象的带零阶保持器的连续对象的 Z传递函数传递函数 为了用为了用Z传函描述离散系统，需要首先将系统的连续部分传函描述离散系统，需要首先将系统的连续部分离散化。本节研究带零阶保持器的连续对象的离散化。本节研究带零阶保持器的连续对象的Z传递函数，分传递函数，分解析法和试验法两种。解析法和试验法两种。4.3.1 解析法解析法 由于保持器与对象之间无采样开关，所以可视为串联由于保持器与对象之间无采样开关，所以可视
4、为串联在一起的一个连续对象。求其在一起的一个连续对象。求其Z传递函数：传递函数：几点说明：几点说明：4.3.2 试验法试验法阶跃响应法阶跃响应法 试验法，即依据对象的输入输出数据建模，这是系统辨试验法，即依据对象的输入输出数据建模，这是系统辨识问题。由识问题。由3.3 脉冲响应与卷积和脉冲响应与卷积和 可知可知:所以可采用阶跃响应试验法为离散系统建模。所以可采用阶跃响应试验法为离散系统建模。h(4)h(3)h(2)h(1)0 T 2T 3T 4T ty(t)辨识步骤：辨识步骤：1.在带零保的对象前施加在带零保的对象前施加1*(t)，得到阶跃响应得到阶跃响应y(t)；2.取取y(t)在采样点上的
5、值在采样点上的值y(k)；3.由离散卷积和定理求由离散卷积和定理求h(k)=y(k)-y(k-1)；4.得到带零保的对象的得到带零保的对象的Z传递函数：传递函数：5.将上式无穷级数表示的形式转变为分子分母多项式表示，将上式无穷级数表示的形式转变为分子分母多项式表示，这一过程为近似过程这一过程为近似过程4.4 数字控制系统闭环数字控制系统闭环Z传递函数传递函数G1(s)G2(s)G3(s)G1 G2 G3(z)G1(s)G2(s)G1(z)G2(z)4.4.1 串并联连续环节的串并联连续环节的Z传递函数传递函数G1(s)G2(s)G3(s)G1(z)G2(z)G3(z)4.4.2 闭环闭环Z传递
6、函数（单位反馈）传递函数（单位反馈）数字数字控制器控制器D(z)保持器保持器Gh0(s)连续连续对象对象G(s)r(t)y(t)Gd(z)几种闭环系统的几种闭环系统的Z Z传递函数：传递函数：例例4-4-1 求系统求系统H(z)及单位阶跃响应，及单位阶跃响应，T=1s,K=1。ZOH4.5 连续状态方程的离散化连续状态方程的离散化此过程实际上就是将表征连续对象内部状态的一阶微分方此过程实际上就是将表征连续对象内部状态的一阶微分方程组转换为一阶差分方程组的过程。程组转换为一阶差分方程组的过程。ZOHZOH4.6 零极点分布与系统的动态响应零极点分布与系统的动态响应4.6.1 S平面到平面到Z平面
7、的映射平面的映射 S平面上的多点对应平面上的多点对应Z平面上的一点，平面上的一点，S平面主频段内的平面主频段内的点，即点，即 ，可与，可与Z平面上的点一一对应。平面上的点一一对应。+1jS平面平面Z平面平面ReImIm+1jS平面平面Z平面平面ReIm注意：注意：S平面上的多点对应平面上的多点对应Z平面上的一点。平面上的一点。S平面主频段内平面主频段内的点，的点，可与，可与Z平面上的点一一对应。平面上的点一一对应。4.6.2 零极点分布与系统的动态响应零极点分布与系统的动态响应1 一阶系统（一阶系统（first-order system）一阶连续系统一阶连续系统离散化离散化一阶离散一阶离散环节
8、环节越小，收敛越快。越小，收敛越快。r号衰减的收敛序列。号衰减的收敛序列。是交替变是交替变）（rh(k)0,16 的等幅序列；的等幅序列；是交替变号是交替变号）（khr)(,14-=是等幅序列；是等幅序列；）（khr)(,13=的发散序列；的发散序列；是交替变号是交替变号）（khr)(,12-图图4-6-2 一阶系统脉冲响应一阶系统脉冲响应Z平面平面2 二阶系统（二阶系统（second-order system）研究其单位阶跃响应的暂态过程研究其单位阶跃响应的暂态过程应无振荡。应无振荡。等的两实极点，暂态响等的两实极点，暂态响时，过阻尼状态，不相时，过阻尼状态，不相）（16 振荡；振荡；重实极
9、点，暂态响应无重实极点，暂态响应无时，临界阻尼状态，两时，临界阻尼状态，两）（15=极点，衰减的周期响应；极点，衰减的周期响应；欠阻尼状态，一对共轭欠阻尼状态，一对共轭）（,0 14 纯虚数极点，周期响应；纯虚数极点，周期响应；时，无阻尼状态，一对时，无阻尼状态，一对）（03=时，暂态响应振荡发散；时，暂态响应振荡发散；）（012 -，因为极点实部大于，因为极点实部大于时，暂态响应单调发散时，暂态响应单调发散）（0；11-ty(t)10t 二阶系统的二阶系统的S、Z传递函数可有多种形式，这里只讨论传递函数可有多种形式，这里只讨论一种进行离散化。一种进行离散化。的动态响应：的动态响应：分析离散脉
10、冲响应分析离散脉冲响应q qkrkhkcos)(=4.7 稳态误差分析稳态误差分析（steady-state error）在连续或离散控制系统中，都采用典型信号（阶跃、在连续或离散控制系统中，都采用典型信号（阶跃、速度、加速度等）作用下，系统响应的稳态误差作为其控速度、加速度等）作用下，系统响应的稳态误差作为其控制精度的评价。制精度的评价。4.7.1 稳态误差表达式稳态误差表达式分析例：分析例：I型系统分析型系统分析给定给定输入输入阶跃输入阶跃输入速度输入速度输入t 加速度加速度 R(s)R(z)稳态稳态误差误差连续连续系统系统离散离散系统系统连续连续系统系统离散离散系统系统连续连续系统系统离
11、散离散系统系统0型型型型0型型00r(t)y(t)e*(t)ZOH4.8 系统频率响应特性系统频率响应特性 系统输入正弦信号系统输入正弦信号 r(t)=sint，系统对系统对 r*(t)之稳态响应之稳态响应定义为频率响应。当频率在某一频域变化时，其稳态响应即定义为频率响应。当频率在某一频域变化时，其稳态响应即为系统频率响应特性，如低通特性。为系统频率响应特性，如低通特性。4.8.1 频率响应频率响应4.8.2 归一化处理归一化处理4.8.3 频率特性的几何解释频率特性的几何解释4.8.4 频率特性的性质频率特性的性质4.9 稳定性（稳定性（stability）分析分析 控制系统必须具有稳定性，
12、也即表征其自身特性的自控制系统必须具有稳定性，也即表征其自身特性的自由运动是收敛的。本节介绍几种稳定性判据（由运动是收敛的。本节介绍几种稳定性判据（criterion）。）。4.9.1 Z域分析域分析1 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 为了简化运算，各行乘以一个正系数不改变结论。为了简化运算，各行乘以一个正系数不改变结论。1.第一列所有系数均不为零时，有正实部根的数目等于第第一列所有系数均不为零时，有正实部根的数目等于第一列系数符号改变的次数。系统极点全部稳定的充要条件一列系数符号改变的次数。系统极点全部稳定的充要条件是特征方程的各项系数全部为正，且劳斯表的第一列都具是特征方程的各项系数全部为正，且
13、劳斯表的第一列都具有正号。有正号。2.某行第一列的系数为零，其余项中有不为零的项以某行第一列的系数为零，其余项中有不为零的项以 代代替零，判断第一列符号变化。替零，判断第一列符号变化。3.某行所有各项系数均为零，说明有大小相等符号相反的某行所有各项系数均为零，说明有大小相等符号相反的实极点和（或）共轭虚数极点（可由辅助方程求得）。以实极点和（或）共轭虚数极点（可由辅助方程求得）。以辅助方程（上一不为零的行）求导的各项系数代替零行系辅助方程（上一不为零的行）求导的各项系数代替零行系数，再判断第一列符号变化。数，再判断第一列符号变化。例例 分析系统稳定性分析系统稳定性 T=1s。r(t)y(t)e
14、*(t)ZOH2 舒尔舒尔-科恩科恩Schour-Cohn判据判据 与判别连续系统的劳斯与判别连续系统的劳斯-霍尔维茨判据类似，通过计算系霍尔维茨判据类似，通过计算系统特征方程的系数行列式，判断是否有根位于统特征方程的系数行列式，判断是否有根位于Z Z平面单位圆外。平面单位圆外。4.9.2 频域分析频域分析-Nyquist判据判据图图4-9-5 乃氏轨迹乃氏轨迹 4.9.3 时域分析时域分析4.10 二阶系统分析例二阶系统分析例闭环闭环Z传递函数求取；传递函数求取；稳定性分析；稳定性分析；T对系统动态稳定性影响；对系统动态稳定性影响；K对系统动态特性影响；对系统动态特性影响；稳态误差分析；稳态
15、误差分析；状态空间法分析。状态空间法分析。4.11 扰动对系统的影响扰动对系统的影响作用于系统的扰动可分为负载扰动、参数变化和量测误差。作用于系统的扰动可分为负载扰动、参数变化和量测误差。闭环反馈控制是抑制扰动的主要且有效的手段，此外前馈、闭环反馈控制是抑制扰动的主要且有效的手段，此外前馈、局部反馈、预报等方法也可以减少扰动对系统的影响。局部反馈、预报等方法也可以减少扰动对系统的影响。系统部件的温度特性或老化等原因，均可能引起系统参系统部件的温度特性或老化等原因，均可能引起系统参数的相应变化。数的相应变化。4.11.1 系统对参数变化的灵敏度系统对参数变化的灵敏度G(z)4.11.2 干扰对系统的影响干扰对系统的影响干扰可分随机信号干扰或典型信号干扰。可将输入设为干扰可分随机信号干扰或典型信号干扰。可将输入设为零，将干扰视为输入进行研究；零，将干扰视为输入进行研究；当增大系统开环增益时，可减小系统由干扰引起的输出，当增大系统开环增益时，可减小系统由干扰引起的输出，也即减低系统对干扰的敏感程度；也即减低系统对干扰的敏感程度；对干扰对系统的影响也可进行动态与稳态分析。对干扰对系统的影响也可进行动态与稳态分析。D(z)G(s)y(t)v(t)r(t)ZOH+思考与练习思考与练习