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1、6.2 迭代法的基本理论华长生制作2在用直接法解线性方程组时要对系数矩阵不断变换如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大并且大量占用计算机资源因此对线性方程组要求找寻更经济、适用的数值解法-(1)华长生制作3对于大型线形代数方程组，常用迭代解法。它是从某些初始向量出对于大型线形代数方程组，常用迭代解法。它是从某些初始向量出发，用设计好的步骤逐次算出近似解向量，从而得到向量序发，用设计好的步骤逐次算出近似解向量，从而得到向量序 列列 。一般的计算公式是一般的计算公式是称之为称之为多步迭代法多步迭代法若只与有关，且是线性的，即若只与有关，且是线性的，即其中其中 ，称为，称为单步线性迭代法单步线性迭代
2、法，称为称为迭代距阵迭代距阵。若。若 和和 都与都与k 无关，即无关，即 称为称为单步定常线性迭代法单步定常线性迭代法。本章主要讨论具有这种形式的各种迭代方法。本章主要讨论具有这种形式的各种迭代方法。华长生制作4如果能将线性方程组(1)变换为-(2)(1)式和(2)式同解时,我们称(1)(2)等价对线性方程组(2),采用以下步骤:依此类推华长生制作5-(3)这种方式就称为迭代法,以上过程称为迭代过程迭代法产生一个序列如果其极限存在,即则称迭代法收敛,否则称为发散华长生制作6 从从(1)式出发，可以由不同的途径得到各种不同的等价方程组式出发，可以由不同的途径得到各种不同的等价方程组（2），从而得
3、到不同的迭代法（），从而得到不同的迭代法（3）。例如，设）。例如，设A可以分解为可以分解为 ，其中，其中M非奇异，则非奇异，则Ax=b等价于等价于令令 就可以得到（就可以得到（2）的形式。不同的分解方式）的形式。不同的分解方式 ，可的不同的，可的不同的 B 和和 f。华长生制作7迭代法的收敛性设解线性方程组的迭代格式-(10)-(11)将(10)与(11)相减,得华长生制作8则因此迭代法收敛的充要条件可转变为定理1.迭代格式(10)收敛的充要条件为-(12)华长生制作9由上节知即因此定理2.迭代格式(10)收敛的充要条件为-(13)定理3 对任意矩阵 有其中 是任一矩阵范数。华长生制作10定理
4、定理4 设有简单迭代法对任一种矩阵范数 ，只要迭代矩阵B满足 ，则该简单迭代法关于任意初始向量 收敛。由于范数 容易计算，故实用中用 作为收敛的充分条件较为方便。华长生制作11定理5.证明:华长生制作12所以运用运用即可得（即可得（5.2.3），定理得证。），定理得证。即可得证第二式。华长生制作13 定理说明，若定理说明，若 但不接近但不接近 1，则当相邻两次迭代向量，则当相邻两次迭代向量 和和 很接近时，很接近时，与精确解很靠近。因此，在实际计算中，用与精确解很靠近。因此，在实际计算中，用 作为迭代终止条件是合理的。作为迭代终止条件是合理的。可见对给定的精度要求，可以得到需要迭代的次数，并且
5、，可见对给定的精度要求，可以得到需要迭代的次数，并且，越小，序列越小，序列 收敛越快。由于收敛越快。由于 依赖于所选依赖于所选择的范数，而且择的范数，而且 ，我们以，我们以 给出收敛速度的概念。给出收敛速度的概念。定义定义 称称 为迭代法的为迭代法的渐进收敛速度渐进收敛速度。由此定义可以看出，由此定义可以看出，越小，越小，就越大。就越大。华长生制作14高斯高斯-赛德尔迭代法及其收敛性赛德尔迭代法及其收敛性设有简单迭代将迭代矩阵 分解为 其中华长生制作15则将其修改为称之为由简单迭代法导出的高斯-赛德尔迭代法，简称高斯-赛德尔迭代法。其分量形式为华长生制作16高斯-赛德尔迭代法的特点是：计算第i个分量 时，前边的i-1个分量用的是最新算出来的 而不是旧值 ，这样可能提高收敛速度。另外，该方法可以转化为简单迭代法的形式，故可以使用简单迭代法收敛性的各种判别方法。华长生制作17定理定理 设简单迭代法的迭代矩阵满足 则相应的高斯-赛德尔迭代法关于任意初始向量收敛。可见，简单迭代法 与相应的高斯-赛德尔迭代法同时关于任意初始向量收敛。