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1、数值分析3不动点迭代法不动点迭代法不动点迭代的收敛性不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度迭代序列的收敛速度收敛加速的方法收敛加速的方法构造有效的迭代格式构造有效的迭代格式选取合适的迭代初值选取合适的迭代初值对迭代格式进行收敛性分析对迭代格式进行收敛性分析一种圆周率计算方案一种圆周率计算方案:初值初值:x0=1(n=1,2,3,)迭代格式迭代格式:2/16将将一一个个计计算算过过程程反反复复进进行行称称为为迭迭代代,迭迭代代法法是一类常见常用的计算技术是一类常见常用的计算技术当当M=45o时时,求求解解开开普普列列方方程程:E=M+e sinEe=0.10.2,迭代公式迭代公式:Ej+1=M+e
2、 sinEj (取取E0=M)e迭代次数迭代次数kE0.170.861264884472710.1280.877711621593350.1480.894591666439040.1690.911905667403480.1890.929652331065200.290.947828223065453/16例例2.2 2.2 方方程程 x3+4x2 10=0 在在 1,2 上上有有一个根一个根,将方程变换成另一形式将方程变换成另一形式(1)(n=0,1,2,)(2)(n=0,1,2,)4/16fi=inline(0.5*sqrt(10-x3);x0=1.5;er=1;k=0;while er0
3、.00001 x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;endfi=inline(sqrt(10/(4+x);x0=1.5;er=1;k=0;while er0.00001 x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;endk=16x0=1.3652k=6x0=1.36525/16x2 x1 x0y=xf(x)=0迭代迭代格式格式:(n=0,1,2,)迭代迭代函数函数若若存在存在 x*,使得使得 ,则称则称x*为不动点为不动点6/16引理引理2.1 如果如果 ,满足条件满足条件:(1);(2)则则 在在 a,b 有唯一的不动点有唯一的不动点 x*证
4、证 若若 或或 ,显然显然 有不动点有不动点设设 ,则有则有 ,记记 则有则有所以所以,存在存在x*,使得使得即即 ,x*即为不动点即为不动点.7/16定理定理2.4 如果如果 ,满足条件满足条件:(1);(2)则对任意的则对任意的 x0 a,b,迭代格式迭代格式 产生的序列产生的序列 xn 收敛到不动点收敛到不动点 x*,且有且有证证8/16(0L0,r0 使得使得则称则称数列数列xn r 阶收敛阶收敛.特别特别:(1)收敛阶收敛阶r=1时时,称为线性收敛称为线性收敛;(2)收敛阶收敛阶r1时时,称为超收敛称为超收敛;(3)收敛阶收敛阶r=2 时时,称为平方收敛称为平方收敛序列的收敛阶数越高
5、序列的收敛阶数越高,收敛速度越快收敛速度越快10/16例例2.3 方程方程 x3+10 x-20=0,取取 x0=1.5,证明迭代法证明迭代法是线性收敛是线性收敛证证:令令 f(x)=x3+10 x 20,绘出绘出 y=f(x)图形可知图形可知方程的根方程的根 x*1.5,令令求导数求导数,得得11/16利用利用Lagrange中值定理中值定理,有有其中其中,介于介于xn和和x*之间之间.所以所以由此可知由此可知,这一序列的收敛阶数为这一序列的收敛阶数为1,即迭代法即迭代法是线性收敛是线性收敛.显然显然,在在x*附近附近12/16定理定理2.6 设设x*是是 的不动点的不动点,且且而而 则则
6、p阶收敛阶收敛由由Taylor公式公式其中其中,介于介于xn和和x*之间之间.所以所以故迭代法故迭代法p阶收敛阶收敛.13/161阶阶收敛的数列收敛的数列xn的加速收敛算法的加速收敛算法s1=1;s2=s1-1/3;s3=s2+1/5;y0=s3;k=3;n=5;f=1;eor=1;while eor0.00005 y=s3-(s2-s3)2/(s3-2*s2+s1);eor=abs(y-y0);y0=y;k=k+1;s1=s2;s2=s3;f=-f;n=n+2;s3=s3+f/n;ends=4*y例例 数列数列 收敛于收敛于 但速度极慢但速度极慢S=3.14151898559528k=1714/16数列收敛加速原理数列收敛加速原理对于线性收敛数列对于线性收敛数列,有有于是于是整理化简整理化简得得加速收加速收敛序列敛序列15/16迭代法迭代法 的的steffensen加速收敛加速收敛校正校正再校正再校正改进改进取取初始值初始值 x0,对对n=0,1,2,计算计算16/16