《泛函分析5.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《泛函分析5.pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、Th2.2 Let H,K be Hilbert spaces,u:H K is a bounded sesquilinear form with bound C0.Then 存在唯一A (H,K)s.t.u(h,k)=Ah,k h H,k K;存在唯一 B(K,H)s.t.u(h,k)=h,B k h H,k K.A C,B C.推论：设 H,K 是 Hilbert 空间，A (H,K).则存在唯一 B(K,H)s.t.Ah,k=h,B k h H,k K，且A B.证明：令u(h,k)=Ah,k,h H,k K A线性连续 u关于h线性，关于k共轭线性，|Ah,k|Ahk B (K,H)s
2、.t.Ah,k=h,B k h H,k K 且 B A Ah=Ah,Ah=h,B(Ah)hB(Ah)hBAhh H Ah hBh H A B Def.2.4.设 H,K 是 Hilbert 空间，A (H,K).The adjoint of A,denoted by A:Ah,k=h,Ak h H,k K.注：Hilbert space adjoint of an operator T (H,K)is not equal to the Banach space adjoint.Def.Let X and Y be Banach spaces,T (X,Y).The Banach space a
3、djoint of T,denoted by T,is the bounded linear operator from Yto X defined by T:Y X g g T Theorem 2.6(1)设 H,K 是 Hilbert 空间，A,B (H,K),则(A+B)=A+B.(2)设H,H,H是 Hilbert 空间，A (H,H),B (H,H),则 (BA)=AB.(3)设 H,K 是 Hilbert 空间，A (H,K),则A(A)=A.(4)设 H,K 是 Hilbert 空间，A:H K是线性同胚（线性双射，A,A连续），则 A 也是线性同胚，(A)=(A).证明：(1)
4、A+B (H,K)(A+B)(A+B)h,k=Ah+Bh,k=Ah,k+Bh,k=h,Ak+h,Bk=h,Ak+h,Bk=h,（A B）kh H,k K(4)A (H,K),A(K,H)A(K,H),(A)(H,K)A单：反证法假设k k,Ak=Ak h H,Ah,k=h,Ak=h,Ak=Ah,k h H,Ah,k k=0 A 是满 K,k k=0 k k=0 矛盾。A满：h H,A(A)h=AAh=Ih=Ih=h Th.2.5 设 H,K 是 Hilbert 空间,A:H K 是同构映射，则AA.Def.2.11 设 H 是 Hilbert 空间，A (H).1)A=A self adjoi
5、nt;2)AA=AA normal;3)a unitary operator (P20).Th.2.12 设 H 是 Hilbert 空间，A (H).则 A=A iff Ah,h ,h H.证明：Ah,h=h,Ah=h,Ah 只需证明Ah,g=Ah,gh,g H:A(h+g),h+g=Ah+Ag,h+g=Ah,h+|Ag,g+Ag,h+Ah,g,Ag,h+Ah,g ,Ag,h+Ah,g=Ag,h+Ah,g=Ag,h+Ah,g=g,Ah+h,Ag=Ah,g+Ag,h,ie,Ag,h+Ah,g=Ah,g+Ag,h,Th.2.13 设 H 是 Hilbert 空间，A (H).则 A=A A=su
6、p,|Ah,h|.推论：(Th.2.14)设 H 是 Hilbert 空间,A (H),A=A.当 Ah,h0，h H 时，有 A=0.推论：(Th.2.15)设 H 是 Hilbert 空间，A (H).当 Ah,h0，h H 时，有 A=0.Th.2.16 设 H 是 Hilbert 空间，A (H).则 AA=AA iff Ah=Ah,h H 证明：Ah=Ah,Ah=h,(AA)h Ah=Ah,Ah=h,(AA)h Ah=Ah h,(AA AA)h=0 (AA AA)h,h=0 AA=AA.(AA AA)=(AA AA)Th.2.19 设 H,K 是 Hilbert 空间，A (H,K).则 Ker A=(ran A);Ker A=(ran A).