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1、辽宁大学学报自然科学版第 39 卷第 2 期2012 年JOURNAL OF LIAONING UNIVERSITYNatural Sciences EditionVol 39No 22012一类具有垂直传染的 SIR 传染病模型周期解的存在性闫兰戈1*，米晓丽2(1 山西省晋中师范高等专科学校 数学系，山西 榆次 030600;2 山西师范大学 数学与计算机科学学院，山西 临汾 041004)摘要:讨论了一类具有垂直传染的 SIR 传染病模型 利用重合度理论中的延拓定理研究了一类具有垂直传染的 SIR 传染病模型的非平凡周期解的存在性关键词:传染病模型;周期解;垂直传染;重合度中图分类号:O
2、175 13文献标识码:A文章编号:1000-5846(2012)02-0149-04*作者简介:闫兰戈(1981 )，男，山西平遥人，山西省晋中师范高等专科学校数学教师收稿日期:2012 03 11对于具有种群动力的非自治流行病模型的研究，目前人们主要关心种群规模及染病者的生存和绝灭阈值的研究，对于周期解的存在性以及其稳定性的研究相对较少 近年来，不少学者开始利用非线性分析中的重合度等理论来研究种群生态模型周期解的存在性问题 在文献 1 中，作者利用这种方法研究了具有种群动力的 SIR 流行病模型，获得了一类模型正周期存在的充分条件 本文在其模型的基础上，考虑了垂直传染，并假设移出者单指恢复
3、者的数量不包括死亡者的数量的情况下，也同样获得了正周期解存在的充分条件1模型的建立先把人群分成三类，即易感者，染病者，被接种免疫的群体，他们的人数分别记为 S(t)，I(t)，R(t)要求所有的参数和函数变量都非负 现在我们考虑如下的 SIR 模型:S=(t)SI+bS+pbI dS，I=(t)SI+qbI dI I I，R=I dR(1)这里 b，b，d，d，q，p，均为正常数，其中b 和 b 分别表示非染病者 S，R 和染病者 I 出生率系数;d 和 d 表示相应的死亡率系数;表示因病死亡率，表示染病者的恢复率，q 是垂直传染的概率(p+q=1)，(t)表示疾病发生率的系数;因为一些疾病的
4、传播与季节有密切的关系，所以我们设(t)0 为周期为珚 的周期函数，并且假设移出者 R 终身免疫在这里(1)式的第 3 个微分方程与前两个微分方程无关，因此我们只需要考虑系统S=(t)SI+bS+pbI dS，I=(t)SI+qbI dI I I(2)为以后讨论方便，我们记:=1珚珚0(t)dt，fL=mint 0，珚 f(t)，fM=maxt 0，珚 f(t)2周期解的存在性我们首先介绍重合度理论中的相关理论知识设 X，Z 为赋范向量空间，令 L:DomL XZ 是一个线性映射，且 N:XZ 是一个连续映射若 dimkerL=cosdimlmL +并且 lmL 在 Z 上是闭的，则我们称映射
5、 L 为指标是零的 Fredholm映射 如果 L 是指标为零的 Fredholm 的映射并且存在连续投影映射 P:XX 和 Q:ZZ 使得:lmP=KerL，lmL=KerQ=lm(I Q)，那么，L|DomLkerp(I P)XlmL 是可逆的，设其逆映射为 Kp 如果 是 Z 中的一个有界开集，QN()是有界的和 Kp(I Q)N:X 是紧的，则 v 在 是 L 紧的，由于 lmQ 与 KerL 同构，存在同构映射 J:lmQKerL 引理 12 设 是一个有界开集，N:XZ是连续算子，并设在 上是 L 紧的 L:DomL ZZ 是一个指标为零的 Fredholm 算子 并满足如下条件:
6、a 对任意的(0，1)，方程 Lx=Nx 的解满足 x ;b 对任意的 x KerL ，QNx 0;c Brouwer 度 deg JQN，KerL，0 0则方程 Lx=Nx 在 DomL 内至少存在一个解定理 1若系统(2)的系数满足:(H1):qb+d+0，(H2):L qb(m*1)1 0，(H3):d b+0，(H4):M pb(M*1)1 0，(H5):b d 0其 中M*1=d+qb+L，m*1=d+qb+M，则系统(2)至少有一个正的珚周期解证明:令 S(t)=expu1(t)，I(t)=expu2(t)(3)则系统(2)等价于u1(t)=(t)expu2(t)+b+pbexp(
7、u2(t)u1(t)d，u2(t)=(t)expu1(t)+qb d (4)显然，若系统(4)有一个珚 周期解(u*1(t)，u*2(t)T，那么(S*(t)，I*(t)T=(exp u*1(t)，exp u*2(t)T是系统(2)的正周期解令 X=Z=(u1(t)，u2(t)T C(R，R2)，ui(t+珚)=ui(t)i=1，2和|(u1(t)，u2(t)|=maxt 0，珚|u1(t)|+maxt 0，珚|u2(t)|这里|表示欧几里德范数，X 是 Banach空间 令L:DomLX，L(u1(t)，u2(t)T=(珔u1(t)，珔u2(t)T，DomL=(u1(t)，u2(t)T C1
8、(R，R2)和 N:XXNu1u()2=(t)expu2(t)+b+pbexp(u2(t)u1(t)d(t)expu1(t)+qb d ()定义算子 P 和 Q:Pu=Qu=(1珚珚0u1(t)dt，1珚珚0u2(t)dt)T，(u X)显然，KerL=u X:u=h R2=R2lmL=(u1(t)，u2(t)T X:珚0ui(t)dt=0，i=1，2在 X 中是闭的，dimKerL=CodimlmL=2 所以 L 是指数为零的 Fredholm 算子Lp的广义逆 Kp:lmLDomLKerP，Kp(u)=t0u(s)ds 1珚珚0t0u(s)dsdt所以Kp(I Q)Nu1u()2=t0(t
9、)expu2(t)+b+pbexp(u2(t)u1(t)d)dtt0(t)expu1(t)+qb d )dt1珚珚0t0(t)expu2(t)+b+pbexp(u2(t)u1(t)d)dt1珚珚0t0(t)expu1(t)+qb d )dt051辽宁大学学报自然科学版2012 年(t珚12)珚0(t)expu2(t)+b+pbexp(u2(t)u1(t)d)dt珚0(t)expu1(t)+qb d )dtQNu1u()2=1珚珚0(t)expu2(t)+b+pbexp(u2(t)u1(t)d)dt1珚珚0(t)expu1(t)+qb d )dt由 Lebegue 收敛定理，显然 QN 和 Kp
10、(I Q)N 是连续的 假设 为 X 中的一个有界开集，那么我们可以得到 QN()是有界的，然后我们再利用 Arzela Ascoli 定理容易证明 Kp(I Q)N()是相对紧的，于是可以得到 N 在 中是L 紧的所对应的算子方程为 Lu=Nu，(0，1)，即珔u1(t)=(t)expu2(t)+b+pbexp(u2(t)u1(t)d，珔u2(t)=(t)expu1(t)+qb d (5)设(u1(t)，u2(t)T X 为系统(5)对应于某个 (0，1)时的一个解，选择 ti，ti 0，珚，使得 ui(ti)=maxt 0，珚 ui(t)，i=1，2ui(ti)=mint 0，珚 ui(t
11、)，i=1，2则有 (t)expu2(t2)+b+pbexp(u2(t2)u1(t1)d=0(6)(t)expu1(t1)+qb d =0(7)(t)expu2(t2)+b+pbexp(u2(t2)u1(t1)d=0(8)(t)expu1(t1)+qb d =0(9)由(7)得:expu1(t1)=qb+d+(t)qb+d+L=M*1由(9)得:expu1(t1)=qb+d+(t)qb+d+M=m*1由(6)得:expu2(t2)=b d(t)pbexp u1(t1)b dL pb(m*1)1=M*2由(8)得:expu2(t2)=b d(t)pbexp u1(t1)b dM pb(M*1)1
12、=m*2即expu1(t)M*1，expu2(t)M*2，expu1(t)m*1，expu2(t)m*2，由此得到:maxt 0，珚|u1(t)|maxt 0，珚|lnM*1|，|lnm*1|=H1maxt 0，珚|u2(t)|maxt 0，珚|lnM*2|，|lnm*2|=H2显然 H1，H2不依赖于 代数方程组 v1v2+bv1+pbv2 dv1=0v1+qb d =0(10)有唯一正解 v=(v*1，v*2)令 H=H1+H2+H3，H3充分大，使得2i=1|lnv*i|H3 令 =u(t)=(u1(t)，u2(t)T X:|u|H则 满足引理 1 中条件(a)，当 u KerL=R2时
13、，u 是一个常向量，且|u|=B 于是QNu=expu2+b+pbexp(u2 u1)dexpu1+qb d ()0因为 lmQ=KerL，可取 J 为恒同映射，故直接计算知deg JQN，kerL，0=(d v*2+b)v*1(pb v*1)v*2v*1()0=sign(v*1 pb)v*1v*2=1 0，所以，由引理151第 2 期闫兰戈，等:一类具有垂直传染的 SIR 传染病模型周期解的存在性1，方程 Lu=Nu 在 DomL 中至少存在一个解，那么系统(4)在 DomL中至少存在一个珚正周期解，又由变换(3)可得，系统(2)至少存在一个珚 正周期解 证毕参 考 文 献:1 胡新利，王凯
14、明，金上海 一类 SIR 流行病模型的周期解的全局传在性J 纺织高校基础科学学报，2004，17(3):194 197 2 马知恩，周义仓，王稳地，等 传染病动力学数学建模与研究 M 北京:科学出版社，2001:105 110 3 谭德君 具有生育脉冲的合作系统的正周期解的存在性 J 生物数学学报，2004，19(4):414 420 4 靳祯 在脉冲作用下的生态和流行病模型的研究 D 西安交通大学博士论文，2001:78 93The Existence of Periodic Soultions for SIR EpidemicModel Vertical TransmissionYAN L
15、an-ge，MI Xiao-li(1 School of Mathematics，Shanxi Jinzhong Teachers College，Jinzhong 037009，China;2 School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Normal University，Linfen 041004，China)Abstract:A set of easily verifiable sufficient conditions are derived for the existence of periodic solutionswith strictly positive components for a SIR epidemic model by using the method of coincidence degree Numeri-cal simulation is done to show the resultKey words:epidemic model;periodic soultion;coincidence degree;vertical transmission(责任编辑郑绥乾)251辽宁大学学报自然科学版2012 年