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1、高职数学建模应用案例天然肠衣搭配问题模型研究胡婷 程华 陈波（湖北交通职业技术学院，湖北 武汉 430079）摘要：本文建立了天然肠衣搭配问题的整数规划模型，首先由题意知某种规格对应肠衣的原料如果出现剩余，则可以降级使用，因此要对肠衣进行分级考虑。我们将天然肠衣原料按长度分为三级，从第三级开始，若肠衣有剩余，则将剩余的第三级肠衣原料降级到第二级使用，依此类推。最后使得到的捆扎好的成品达到最大化。再根据题目中公司对搭配方案的其他要求，将此模型改进。用LINGO求解得到：从第三级肠衣开始计算，三级天然肠衣的最大捆数分别为131捆、47捆、14捆，综合得到天然肠衣的最大总捆数为192捆，此时有15根
2、一级肠衣剩余。最后我们将此模型进行了一般化与推广。关键词：天然肠衣搭配问题；LINGO；整数规划Higher professional application of mathematical modeling caseNatural casing tie-in problem model researchHu ting, Cheng hua, Chen bo( Hubei Communications Technical College, Hubei Wuhan 430079 )Abstract: This paper has established an integer programmin
3、g model which about natural casing tie-in problem, first of all, by subject know that if a specification of the corresponding casing raw material appear surplus, it can be downgraded ,so we should consider to divide casing classification. According to the length,We will divide natural casing raw mat
4、erials into three levels, and from the third level start, if there are casing surplus,the surplus of the third levels casing raw material relegation to the second level to use, by analogy. Finally have to maximize the strapping good products. According to the questions in the scheme of collocation o
5、f other requirements, the model has improved.With the LINGO solving get: from the third levels casing began to calculation, the three levels natural casings maximum number is 131 bundles, 47 bundles, 14 bundles, comprehensively get the biggest total bundle of natural casing for 192 bales, right now
6、hasthe first level casing surplus for 15 root .Finally ,this model was generalization and promotion by us. 基金项目：本文受到湖北省教育厅2010年高等学校省级教学研究项目高职数学建模的定位、职业效能与课程改革研究（项目编号2010383）与湖北交通职业技术学院2011年院级科研项目高职高等数学课程改革研究以湖北交通职业技术学院电类专业为例资助。作者简介: 胡婷、程华、陈波，2011年全国大学生数学建模竞赛湖北省一等奖获奖学生。1. 问题重述1.1 问题背景天然肠衣制作加工是我国的一个传统
7、产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段(原料)，进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品(捆)。1.2 相关约定原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。1.3 问题提出题目中给出了公司对搭配方案的要求，以及成品规格表和原料描述表，我们要建立一个数学模型使其同时达到如下五个要求：(1)对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2)对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3)为提高原料使用率，总长度允许有 0.5米的误
8、差，总根数允许比标准少1根；(4)某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。(5)为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。 同时用建立的模型对题中成品规格表和原料描述表给出的实际数据进行求解，给出捆扎搭配方案。2.模型假设1.假设肠衣原料完好无损，无劣质、破烂问题；2.假设加工过程中的切割、打捆没有造成肠衣长度的折损；3.假设原料测量数据基本准确无误；4.假设所有肠衣质量不影响降级使用。3.符号说明:表示肠衣的档次（当肠衣长度为3-3.4米是，当肠衣长度为3.5-3.9米是，依此类推）（）;：表示肠衣的级数(肠衣长度为3-6.5米是，当肠衣长度为7-13.5米是，依此类推);: 表示每档肠衣
9、使用的总根数();: 表示每级肠衣的捆数();: 表示每档肠衣长度();: 表示每档肠衣最多可使用的根数()4.模型的建立与求解此问题可看成一个整数规划问题。根据题意，将天然肠衣按长度分为三级：第一级 3-6.5 米，第二级 7-13.5 米，第三级 14-26 米。设每级的肠衣捆数分别为 、。根据题目条件“对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好”，我们可以列出目标函数如下：要考虑降级问题，则可先从第三级开始考虑。 设为每档肠衣使用的总根数，见表1.表1 每档使用肠衣的根数（根）长度3-3.43.5-3.94-4.4根数长度4.5-4.95-5.45.5-5.9根数长度6-6.46.5-6
10、.97-7.4根数长度7.5-7.98-8.48.5-8.9跟数长度9-9.49.5-9.910-10.4根数长度10.5-10.911-11.411.5-11.9根数长度12-12.412.5-12.913-13.4根数长度13.5-13.914-14.414.5-14.9根数长度15-15.415.5-15.916-16.4根数长度16.5-16.917-17.417.5-17.9根数长度18-18.418.5-18.919-19.4根数长度19.5-19.920-20.420.5-20.9根数长度21-21.421.5-21.922-22.4根数长度22.5-22.923-23.423.
11、5-23.9根数长度24-24.424.5-24.925-25.4根数长度25.5-25.9根数又由题意知道第三级每捆成品规格14-26米5根，且总长度允许有 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根,则第三档所有肠衣的总根数满足： 设肠衣长度为，见表 2.表2 每档肠衣长度长度根数435939长度根数412728长度根数342124长度 根数242025长度根数212321长度根数183123长度根数225918长度根数253529长度根数304228长度根数424549长度根数506452长度根数634935长度根数271612长度根数206长度根数000长度根数1第三档所有肠衣的总长度满足
12、： 可简化为：由原料描述表可以得出如下限制条件：设每档肠衣原料的最多可使用的根数为，见表3.表3 每档肠衣原料的根数（根）长度3-3.43.5-3.94-4.4根数长度4.5-4.95-5.45.5-5.9根数长度6-6.46.5-6.97-7.4根数长度7.5-7.98-8.48.5-8.9跟数长度9-9.49.5-9.910-10.4根数长度10.5-10.911-11.411.5-11.9根数长度12-12.412.5-12.913-13.4根数长度13.5-13.914-14.414.5-14.9根数长度15-15.415.5-15.916-16.4根数长度16.5-16.917-17
13、.417.5-17.9根数长度18-18.418.5-18.919-19.4根数长度19.5-19.920-20.420.5-20.9根数长度21-21.421.5-21.922-22.4根数长度22.5-22.923-23.423.5-23.9根数长度24-24.424.5-24.925-25.4根数长度25.5-25.9根数 于是我们可以建立如下模型：用LINGO求解（程序见附件1）得到第三级的总捆数为131捆，各档肠衣使用情况如下表4所示.表4 第三级各档肠衣使用情况长度14-14.414.5-14.915-15.4根数352930长度15.5-15.916-16.416.5-16.9根
14、数422842长度17-17.417.5-17.918-18.4根数454950长度18.5-18.919-19.419.5-19.9根数645263长度20-20.420.5-20.921-21.4根数493527长度21.5-21.922-22.422.5-22.9根数1312长度23-23.423.5-23.924-24.4根数000长度24.5-24.925-25.425.4-25.9根数000对照题中所给原料描述表，可知第三级里还有肠衣有剩余肠衣如表5：表5 第三级各档肠衣剩余情况长度14-14.421.5-21.9剩余根数22长度24-24.422-22.5剩余根数116长度25.
15、5-25.9剩余根数1由于某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以喝长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；我们可以将以上剩余的肠衣降级到第二级肠衣使用。同理，我们考虑第二级肠衣的使用情况： 第二档所有肠衣的总根数满足：第二档所有肠衣的总长度满足：由原料描述表可以得出如下限制条件： 于是可建立如下模型：用LINGO求解（程序见附件2）得到第二级的总捆数为47，各档肠衣使用情况如下表6.表6 第二级各档肠衣使用情况长度7-7.47.5-7.98-8.4根数242420长度8.5-8.99-8.49.5-9.9根数252123长度10-10.41
16、0.5-10.911-11.4根数211830长度11.5-11.912-12.412.5-12.9根数232259长度13-13.413.5-13.914-14.4根数17252长度21.5-21.922-22.423.5-23.9根数3116长度25.5-25.9根数1对照题中所给原料描述表，可知第二级还有剩余肠衣情况如下表7：长度11-11.413-13.4剩余根数11同理可将这些剩余的肠衣降级到第一级肠衣使用。最后考虑第一级肠衣的使用情况：第一档所有肠衣的总根数满足：上式可简化为：第一档所有肠衣的总长度满足：上式可简化为：由原料描述表可以得出如下限制条件：归纳为如下模型：用LINGO求
17、解（程序见附件3）得到第一级的捆数为14，各档肠衣使用情况如下表8.表8 第一级各档肠衣使用情况长度3-3.43.5-3.9根数4359长度4-4.44.5-4.9根数2941长度5-5.45.5-5.9根数2728长度6-6.46.5-6.9根数3418长度18-18.423.5-23.9根数00对照题中所给原料描述表，可知第一级还有剩余肠衣情况如表9：表9 第一档肠衣剩余情况长度4-4.46.5-6.9剩余根数103长度11-11.413-13.4剩余根数11综上所述，得到总目标函数即肠衣总捆数为：经计算得到这三级肠衣的总捆数为192捆。因为模型不具有一般性，于是我们将模型进行了一般化，如
18、下所示：其中，为每级的捆数，为每级中每捆的总长度，总长度允许有的误差，总根数允许比标准少根。5. 模型的评价与推广5.1 模型的评价5.1.1 模型的优点 此模型的优点在于用比较简单的数学知识，直观的计算出了满足捆数最多的配置方案，同时兼顾了最短长度最长的成品尽可能的多这一要求。此模型用 Lingo 软件计算迅捷，能够在 30 分钟内得到较优的配置方案，在具体生产中有可操作性。5.1.2 模型的缺点 此模型将总捆数最大作为最佳方案的衡量标准，而没能太多的考虑“最短长度最长的成品越多”这一衡量标准，只是在解决此问题的思路上优先考虑了最短长度最长的肠衣尽可能的多捆扎少降级。另外此模型没能求得捆数方案的解析解也是其缺点之一。5.2 模型的推广 此模型具有一定的推广意义，例如也可用于其他材料的分配问题，如钢管下料问题等。参考文献1 刘承平.数学建模方法M.北京：高等教育出版社，2002: 1-92 刘承平.数学建模方法M.北京：高等教育出版社，2002: 583 南文胜，谢涛，秦少武.大学应用数学M.上海：同济大学出版社，2008:188-192