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1、第八章第八章联立方程模型联立方程模型以前各章我们侧重讨论的是单个方程的回归模型，都是含一个因变量Y，一个或多个解释变量X。在这些模型里强调的是在给定X条件下去估计或预测Y。因果关系很清楚，从X到Y。但是在许多实际问题中，这种单信道单方向的关系是没有意义的。例如，如果Y由X决定，而同时也有若干X的分量由Y决定。这时就有了双信道，或联立关系。这就使得谁是因变量谁是自变量变得暖昧起来。遇到这种情况，最好还是把它们都放到一块，就有了多于一个的方程，并且变量就分为内生变量，外生变量，或前定变量。这些方程互相制约，互相补充，人们不大可能从中单独解出某一个或几个方程。如果实在要置别的方程于不顾而强行用普通最
2、小二乘方法去估计出参数，那么这些参数估计不仅可能是有偏的，而且可能不是相合估计，就是说，随着样本容量的增大，参数估计并不收敛到真实参数值。我们看如下的假设的方程组：（8.0.1）iiiiXYY1111212101+=（8.0.2）iiiiXYY2121121202+=这里Y1和Y2互相依赖，是内生变量。X1是外生变量，与是随机扰动项，变量Y1与Y212也都是随机分布项。如果我们不能证明Y2与独立，Y1与独立，就应用 LSE 的话，估计12就不是相合估计。这样我们就大致勾画出了联立方程模型的特别之处和需要研究解决的问题。性急的读者可以先看算例 8.3.2，明白了方法其实很简单，再来看下面的复杂理
3、论推导。第一节第一节联立方程模型实例及联立方程模型实例及OLSOLSOLSOLS 估计的相合性问题估计的相合性问题下面我们给出一些具体的联立方程模型，最后再看普通最小二乘估计不满足相合性。一、需求一、需求供给模型、供给模型、KeynesianKeynesianKeynesianKeynesian 模型、工资价格模型、工资价格PhillipsPhillipsPhillipsPhillips 模型模型先看需求供给模型。商品价格P与售出数量Q由需求曲线与供给曲线的交点决定。假定将需求与供给曲线都简化为线性的，添加上随机项与，则需求与供给函数为：12需求函数：（8.1.1）0,1110+=PQs平衡条
4、件：（8.1.3）sdQQ=这里P为价格，、是参数。为负数表示价格越高，售出数量越少；为010111正数表示价格越高，厂商对该产品生产越多。不难看出P与Q是互相依存的变量。例如，因受其它因素(收入、财富、嗜好等)影响1110+=YC而发生改变，需求曲线发生漂移，如图 8.1.1.1 所示：图 8.1.1.1图上显示，由于的改变而导致需求曲线(D线)改变时，价格P与生产量Q都发生改变。1同样地，当改变而导致供应曲线(S线)发生改变时，P与Q也都发生改变。由于 P、Q、2、互相不独立，这就违反了经典最小二乘法的基本假定(关于解释变量X与随机误差独12立的假定)。再考虑简化的 Keynesian 模
5、型：消费函数：，01（8.1.4）+=YC10恒等式：（8.1.5）)(SICY=+=其中C消费支出Y收入I投资(假定为外生变量)S储蓄随机分布项与为参数01参数称作消费的边际嗜好(MPC)，在经济理论里，01，投资I=储蓄S。Y=C+I是国11家收入恒等式。由于的改变，消费曲线发生漂移，如图 8.1.1.2 所示。当消费与投资增加时，反过来又影响收入，促使收入增加。由于它们不独立，OLS 又不能应用。图 8.1.1.2下面看工资-价格模型。考虑货币工资与价格决定的 Phillips 模型：QPSP0D0Q0QPSQ0Q1P0P1D0D1PQSD0D1Q0Q1P0P1Y1Y2210+=YCYC
6、,I（8.1.6）1210+=PUNW&（8.1.7）23210+=MRWP&这里=货币工资改变率W&UN=失业率=价格改变率P&=资本成本改变率R&=进口原料价格改变率M&、为随机扰动12可以看到价格影响工资，工资又影响价格，因而随机解释变量与随机误差项是相关的，OLS又不能应用。二、宏观经济的二、宏观经济的ISISISIS 模型、模型、LMLMLMLM 模型与计量经济的模型与计量经济的KleinKleinKleinKlein 模型模型著名的宏观经济的 IS模型(商品均衡模型)的非随机形式如下：消费函数：，01（8.1.8）dYC10+=1税收函数：，01（8.1.9）YT10+=1投资函数
7、：（8.1.10）rI10+=定义式：（8.1.11）TYYd=政府开支：（8.1.12）GG=国家收入恒等式（8.1.13）GICY+=其中Y=国家收入C=消费支出I=计划的净投资=政府开支的给定水平GT=税收=配置收入dY=利率r如果将有关变量代入，最终代入最后一式，可得 IS方程（8.1.14）rY10+=其中（8.1.15）)1(11111000+=G（8.1.16）)1(11111=IS 方程显示了收入与利率的关系（图 8.1.1.3左）。.图 8.1.1.3如果我们打算估计各参数，比如估计消费函数，会怎么样?我们能得到或的无偏估01计吗?这是不大可能的。因为消费依赖于配置收入，后者
8、依赖于国家收入Y，Y又依赖于r、以及其它参数，因此，除非我们考虑了全部影响，否则单靠C与Yd这样一个简单关系是不G可能给出，的无偏估计的。01著名的 ISLM范例的另一半是 LM模型，即金融市场均衡模型。它综合考虑利率与收入水平，建立了金融市场清晰的关系。LM模型的非随机形式如下：货币需求函数：（8.1.17）CrbYaMd+=货币供给函数：（8.1.18）MMs=均衡条件：（8.1.19）sdMM=其中Y=收入r=利率=假定的货币供应水平，一般由政府决定MLM方程：从模型中可以解得（8.1.20）rMY210+=其中。对于给定的 LM 曲线如下图所示：bcbba=210,1,MM=图图 8.
9、1.1.48.1.1.48.1.1.48.1.1.4IS 模型与 LM 模型表示的收入Y与利率r的关系，一个是递增函数，一个是递减函数。当然平衡点应该是两条曲线的交点。下面我们看计量经济的 Klein 模型。计量经济学家建立了许多联立方程组形式的计量经济模型，Klein 模型是由宾夕法尼亚大学的 LawrenceKlein 教授建立的：消费函数：（8.1.21）ttttuPWWPC1132101)(+=投资函数：（8.1.22）ttttttuuKPPI21171654+=劳动力需求：（8.1.23）tttutWTYWTYW31111090)()(+=恒等式：（8.1.24）tttttGICTY
10、+=+Y(收入)r（利率）ISY(收入)r(利率)(MMLM=恒等式：（8.1.25）ttttPWWY+=恒等式：（8.1.26）tttIKK+=1其中C=消费支出I=投资G=政府开支P=利润W=私人工资开销W=政府工资开销K=资本股份T=税收Y=税后收入T=时刻、为随机扰动123在这个模型中，C、I、W、Y、P、K是互相依赖的，是内生变量，而Pt-1、Kt-1、Yt-1是前置变量。模型里有 6 个方程(包括 3 个恒等式)，可以确定 6 个内生变量的互相依存关系。同样地，这里应用 OLS 并不合适，即使样本容量相当大，普通 LSE 也未必收敛到真值。上面我们举了具体的联立方程模型例子。一般来
11、说，联立方程模型里应包括(1)行为方程。指经济行为，如需求，供给，投资，消费等。(2)技术方程。指客观的不以人的意志为转移的经济技术上的数量关系。(3)制度方程。指反映经济法规和经济制度的方程。(4)恒等式。指按照定义一定成立的等式，或者一种均衡条件。一般来说行为方程与技术方程含有随机扰动项。这些方程所表达的是经济变量之间的基本结构关系，所以又称结构方程。三、三、OLSOLSOLSOLS 估计不满足相合性估计不满足相合性前面已说过，普通最小二乘方法并不适宜用来估计联立方程组中的某一个单独的模型。因为这样的估计可能不相合，也就是当样本数n趋于无穷时，参数估计可能不收敛于真值。以收入确定模型(Ke
12、ynesian 模型)为例，假如我们想估计模型中的消费函数中tttYC+=10的参数，。假定(当 j0)，Cov=0。这样010)(,)(,0)(22=jttttEEE),(ttI从单个模型看，经典的假定是满足的。我们先证明与相关，以消费函数代入恒等式，得tYttttICY+=（8.1.27）ttttIYY+=10于是（8.1.28）tttIY111011111+=（8.1.29）ttIYE110111)(+=（8.1.30）tttYEY111)(=（8.1.31）011)()(),(1212=tttttttEEYEYEYCov于是知道与相关。tYt下面推证不是的无偏估计，也不是相合估计。因为
13、1)1=221)()(ttttttyyCYYYYCC)（8.1.32）+=+=21210)(tttttttyyyyY最后一步是因为，并且。这里。=0)(YYytt1/)(2=tttyyYYYytt=两边取数学期望得（8.1.33）+=211)(tttyyEE)虽然我们无法计算，但我们知道，除非它为 0，否则不会是的无偏估)/(2tttyyE1)1计。对两边取极限，由于已经求得，故1)121)()(=ttttEYEYE+=nynytttnn/limlim211)+=nynytnttn/lim/lim21（8.1.34）1212121)1/()(+=+=ytttEyyE这就说明不是的相合估计。1)
14、1第二节第二节模型识别与间接最小二乘模型识别与间接最小二乘回忆需求供给模型，假如我们有了关于Q与P的时间序列资料而没有任何其它附加信息，我们如何知道我们是在估计需求函数还是供给函数?换句话说，如果我们自己认为正在估计需求函数，我们如何保证确实如此而不是在估计别的什么?这一节将研究解决的正是这样一些有关模型识别的问题。一、模型的结构式与简化式一、模型的结构式与简化式我们先建立模型的一般形式。设对于 M个内生变量Y1，YM各有T个观察，对K个外生变量和前定变量X1，Xk也各有T个观察，模型含有M个随机误差项，也各有T个观察。Y1，YM，X1，M,1LXk，都是T元向量。反映这些内生变量，外生变量，
15、前定变量，随机误差之间的联M,1L合关系的联立方程模型可写作（8.2.1）=+=+=+0002211221122222121222212111212111112211MKMKMMMMMMMKKMMKKMMXXXYYYXXXYYYXXXYYYLLLLLLLL这里与是方程组的结构参数，需要利用观察资料去估计。结构随机扰动项被假定为平稳多元随机过程，即（8.2.2）MiEi,1 ,0)(L=（8.2.3）MiIETiii,1 ,)(2L=（8.2.4）MjijiIETijji,1,)(L=压缩地写，对于有),(1ML=（8.2.5）TMMMMMnMMIIIIIIIIIIEE=221222211122
16、111)(LOLLLLMM其中是MM的半正定对称阵。由于联立方程组中可能有某些零误差，也可能不满秩。不过在估计中，我们也经常假定非奇异。如果记（8.2.6）MTTMTMMYYYYYYY=LLLLL11111),(（8.2.7）KTTKTKKYXXXXXX=LLLL11111),(（8.2.8）MTTMTMME=LKLL11111),(（8.2.9）MMMMMMM=LLLLL11111),(（8.2.10）MKKMKMMBBBBBBB=LLLL11111),(则联立方程模型可以写为（8.2.11）MTMTKTMTEXY=+0B MKMM其中Y、X为样本矩阵，E为不可观察的随机误差矩阵，与B是待估
17、的系数矩阵，是内生变量Y的系数阵，B是外生前定变量X的系数阵。注意Y与E的阶相同，是M阶方阵，B是KM阶矩阵。如果非奇异，则由Y+XB+E=0 可得（8.2.12）011=+EXBY（8.2.13）11=EXBY如果记（8.2.14）),(111111MMKKMKMBLLLLL=（8.2.15）),(111111MMTTMTMVVBVLLLLL=则联立方程模型演变为简化形式：（8.2.16）MTMKKTMTVXY+=其中被称为简化形式参数矩阵，V被称为简化形式扰动矩阵。这个简化形式的作1=B用在于它使所有的内生变量成为所有外生或前定变量的线性函数。如果将向量按行排，联立方程模型的简化形式也可以
18、写为（8.2.17）+=111111TMMKMMKMTMTMMVVXXYYMMOM或（8.2.18）VXIY+=)(例如对 Keynesian 模型，结构方程如下：消费函数（8.2.19）10 ,110+=tttYC恒等式（8.2.20）tttICY+=C(消费)与Y(收入)是内生变量，I(投资)是外生变量。消去C以后，得简化形式（8.2.21）tttVIY+=10这里（8.2.22）1 ,11 ,1111100=ttV如果是消去Y，可以得另一种简化形式：（8.2.23）tttVIC+=32这里（8.2.24）1 ,1 ,11113102=ttV对于简化形式，已经没有变量之间的暖昧关系，于是可
19、以应用最小二乘法。这时得到的估计称为间接最小二乘(Indirect Least Squares,ILS)估计。这样的估计过程叫做 ILS。下面叙述模型的一些渐近性质。关于线性联立统计模型Y+XB+E=0,我们假定在不同方程里的误差项是平稳的和暂时不相关的。由一般的渐近理论有（8.2.25）MMTEETp=1lim这表示样本误差方差阵以概率收敛到有限总体方差阵。我们还假定正态随机向量（8.2.26）),0(1TMINeee=M相应地对于简化形式模型，有VXY+=11)(1lim1lim=EETVVTpTT（8.2.27）MM=11)(于是随机误差向量（8.2.28）),0(TINV习惯上我们还常
20、常假定X的元素由非奇异协方差阵的随机过程所产生：（8.2.29）XXTXXTp=1lim一般我们还假设X与E和V都不相关，即（8.2.30）01lim=EXTpT（8.2.31）01lim1lim1=EXTVXTpTT下面给出一个具体例子。设有联立方程模型（8.2.32）012212211=+XYY（8.2.33）023321121122=+XXYY其中Yi是内生变量的观察向量，Xi是非随机的外生变量的观察向量，随机向量、满足12（8.2.34）TIE=)(E ,0212121这里（8.2.35）=1115令，假设已知为),(321XXXX=XXTplim1（8.2.36）=100021011
21、lim1XXTpT并且参数的实值是,121=212=221=312=132=于是Y+XB+E=0 的形式写成的联立方程结构式是：（8.2.37）0),(100230),(1121),(2132121=+XXXYY相应的简化式是（8.2.38）1211321211121)(1121100230),(),(=XXXYY容易算出（8.2.39）=112111211故简化形式是（8.2.40）21321123=XXXY（8.2.41）213212243=XXXY相应的渐近结果是12122222)(1limlim+=XXTTYYTT+=121lim)1,2(1431lim)1,4,3(EETXXTTT+
22、=12 1115)1,2(143 100021011)1,4,3(=66+25=91（8.2.42）TXXpTXXpTXXpTYXpTTTT32321222limlim4lim3lim=（8.2.43）1102413=TpTpTYpTTT121112limlim2lim=（8.2.44）11152=二、从简化式到结构式的参数估计二、从简化式到结构式的参数估计联立方程模型简化式是（8.2.45）MTMKKTMYVXY+=如果取其第i个方程，i=1,M，就是（8.2.46）iiiVXY+=它的最小二乘估计是（8.2.47）iiYXXX)(1=)这个估计是相合的，因为（8.2.48）iiiiVXTX
23、XTp=+=lim)(limlim11)这里。如果X是非随机的，则还是无偏的。0lim1=iVXTpi)如果假定模型的简化式写为（8.2.49）TI)E(VV ,)(=+=VXIY则有参数的广义最小二乘估计YIXIXIIXI111)()()()()(=)（8.2.50）YXXXI)(1=这个结果等同于对每个方程分别应用 LSE。随机向量的方差是)11)()()(=XIIXIEE)（8.2.51）1)(=XXE未知的MM矩阵估计为，其元素为)（8.2.52）MjiKTVVWjiijL),1,=这里（8.2.53）iiiXYV=)在某些场合，如果可以提供关于向量的先验知识，例如某些系数为 0，参数
24、有线性组合等，i那么从综合在一起的联立方程模型产生的的估计要比分开单独方程得出的的估计更有效i一些(方差小一些)。在对简化式作出了 LSE 以后，可以返回到原来结构式的参数估计。从结构VXY+=式的简化式的变换是0=+EXBY,（8.2.54）1=B11)(=要想返回到结构式参数估计，就需要从、转换到、。马上MK)MM)MKB)MM)MK)大家就明白了，转换的结果可能不唯一。要想得到结构参数唯一的估计，需要有对B、的某些先验知识。在许多现实问题中，下列先验信息总是存在的。(1)规则化参数。(2)矩阵或B中的 0 限制，就是说，某些内生变量和外生变量前定变量不能出现在每一个方程中。(3)对每个结
25、构方程中的参数限制。(4)对联络各个结构方程的参数限制。(5)对中某些元素的限制。例如在结构方程中，我们总能使，于是规则化参数就唯一地与这个MiiiL,1 ,1=比例数相联系。第(2)种限制出现在某些结构方程关系式中，例如投资函数的加速原理表达为（8.2.55）ttttYYbaI+=)(1这里It是投资，Yt是收入。如果将方程写为（8.2.56）ttttYbYbaI+=121就意着。第三种参数限制可见于 Cobb-Douglas 生产函数，其中的弹性系数之和规定21bb=为 1。第(4)种限制可见于两个结构方程对某些变量有同样的系数。第(5)种参数限制举例说明如下。设有下面的递归联立方程：（8
26、.2.57）011111=+XY（8.2.58）021122112=+XYY这里和被规则化为-1。在系统内，和X1影响Y1，Y1与X1、一起影响Y2。如果假112212定与独立的话，这个系统里最小二乘方法是合适的。方差阵可以指定为12TTII221100OLS 显然适合于递归方程组中的第一个方程，因为X1与没有关系。OLS 也适用于第二个方1程，因为只要与不相关，Y1与就不相关。因此该递归方程组中的矩阵是上三角阵：122（8.2.59）=10112还有的限制是对角阵，有的限制的对角元素成比例等等。当这些参数限制的先验信息足够多时，就可以保证结构方程的参数唯一。下面给出具体例子，说明怎样使用间接
27、最小二乘方法以及怎样利用先验信息。下面的模型有 4 个内生变量，4 个外生变量或前定变量，有 4 个方程：（8.2.60）=+=+=+=+0 0 0 0 4444343242141444343413143433323213122221212221211414111414212111XXXXYXXYYYYXXYYXXYYY写成矩阵形式是（8.2.61）0=+EXBY这里，（8.2.62）=0000000434133232221131211=44434134242214131211000000B注意矩阵中的零元素，表示方程中该处系数为 0，就是一种参数限制的先验信息。简化式是（8.2.63）11=
28、EXBY（8.2.64）VXY+=这里（8.2.65）=44434241141312111LB如果知道了的估计，则。写仔细一点就是)=)B（8.2.66）000000-000000 4443413424221413121144434133232221131211 44434241343332312423222114131211=我们来具体验证结构方程中第一个方程的系数关系，就是，之1121411141间的关系。由上式可得它们的关系为（8.2.67）=+=+=+=+414144214211414134213211314124212211211141142112111100将参数规则化，使，则上式
29、中间两个方程为111=（8.2.68）=+=+31413421322141242122写成矩阵形式是（8.2.69）=3121412134322422 由于可以从简化式中作出的估计，于是当ij（8.2.70）0 34322422时，我们就可以解出与。将与代入系数关系式的第 1 个与第 4 个方程，我们又21412141能算出与。因此对于原结构方程的第一个方程，我们借助于系数限制，完成了从简化1114式到结构式的系数估计。我们 庆贺 对于第 一个 结构方 程的 成功，再来 检验第 二个 方程的 系数 关系，即之间的关系。从式中又有22122212,B=（8.2.71）=+=+=+=+002242
30、12412232123122222212211222121211将参数规则化，使，得122=（8.2.72）=004212413212312222122112121211现在有 4 个方程，然而只有三个未知数。如果任意挑选 3 个方程来解三个未知数，221212,又多余了一个关系。事实上看最后两个方程，对同一未知数有两个不同的解：12，。这意味着有关系式，但是实际的估313212/=414212/=42413132/=ij计式未必遵守这一点。因此我们可以得到两个不同的间接最小二乘估计，它们都是相合估计，但是未必都是有效估计。再来检查结构方程式里第三个方程的系数关系，即，的关1323334313
31、43系。由方程可得：B=（8.2.73）=+=+=+=+4343443343234213414334333323321313432433232322132113431433132312131100将规则化为-1，我们有 4 个方程，然而却还有 5 个未知数，于是还是没有唯一解。ILS 方33法对第三个方程就没有办法了，除非再能得到补充的有关系数限制的信息。最后看第 4 个方程，如果将规则化为-1，则得441414=2424=3434=4444=这是再好不过的了，OLS 方法可以直接应用。上面 4 个方程反映了 OLS 方法应用时遇到的 4 种情况。显然这样分析对于实用就太繁。三、模型识别的秩条
32、件与阶条件三、模型识别的秩条件与阶条件将联立方程模型结构方程式Y+XB+E=0 按列写出就是MiXBYiii,1 ,0L=+这里i是(M1)的未知向量，是内生变量的系数，Bi是(K1)的未知向量，是外生变量或前定变量的系数，是不可观测的随机向量。在完整的结构方程里系数关系有i（8.2.74）B=或者（8.2.75）0)(=+BIBK因为矩阵有秩K，上式表示在M+K个变量中的K个方程。因为未知数比方程组多，)(KI就需要附加信息被识别。下面我们看如何确定联立方程中的一个方程是否可以被识别。假定有线性齐次式约束加于结构参数上，加上正则化规则，就可以用来识别一个方程。识别约束可被写作（8.2.76）
33、0=iiiiiRBR这里Ri是一已知的(J(M+K)矩阵，秩为J，JM+K。如果Ri有且仅有一个非 0 元素，它是单位；那么约束被称作排斥约束，因为它意味着有一个参数必须为 0。因而相应变量将不出现在方程中。这是最常用的一种结构方程识别条件。对于第i个结构方程的识别是基于上面两个等式。等式提供M+K个参数0)(=iiKBI的K条信息，于是等式必须提供M1 条信息。再加上规则化参数条件，第i个0=iiiBR方程的(M+K)个结构参数就可以根据简化式的参数估计解算出来，于是就说第i个方程的参数可被识别。将上两式合并成（8.2.77）0=iiKRIM由于还可以加上一个规则化条件来解算结构参数，故上式
34、左边的第一个矩阵的秩须为，即1+KM（8.2.78）1+=KMRIrkiKM如果这个条件能满足，我们可以保证与所提供的信息是互相独立的。0)(=iKIM0=iiR但是这个秩条件非常不容易验证，因为矩阵的元素与结构参数的函数关系太复杂。幸而人们证明了，上式的秩条件与（8.2.79）=BMRrki其中 ,1)(这个秩条件等价。而这个秩条件很容易验证。因为矩阵有M列，第i列是，它有 0 元素，的秩为M1，它应该至少有iRiiRiRM1 行，并且Ri的秩也必须至少为M1。换句话说，第i个结构方程被识别的必要条件：先验约束（8.2.80）0=iiR等价于JM1，这里J是约束数。这个条件经常被称为阶条件。
35、阶条件对于模型识别并非充分。可以给出一个例子。当另一个方程的系数满足第i个方程的约束条件，即，（8.2.81）0=jiRji时，这个结果意味着有两列为 0，所以它的秩等于M-2，于是阶条件成立，但秩条件却不iR成立。当所有被排除在第i个方程以外的变量也被排除在第j个方程之外时，这种情况是会发生的。我们可以总结一下模型识别问题。（1）如果，第i个方程不能被识别。当时，当然也就1)(MRrki1)(MRrki是，第i个方程一定不能被识别。在这种情况下，我们不能从简化式的参1)(MRrki以从简化式的参数估计推算出结构式的参数估计，不过解答不唯一，估计是相合的，但不一定是有效估计。让我们再看一下上一
36、段 4 个方程的例子。对于第 1 个方程，于是0312131=（8.2.82）=0100000000100000000001001R我们看到阶条件是满足的，因为R1是 3 行；其阶为 3=M-1=4-1。为了检查秩条件，计算出（8.2.83）=34242233100000000R当都不为 0 时，并且，秩条件满足，于是第342233,13)(1=MRrk3)(1=Rrk一个方程可以被精确识别。对于第 2 个方程，Y3，Y4，X3，X4被排斥在外，约束矩阵R2，必有 4 行，其阶为 4，阶条件是满足的。进一步看秩条件，（8.2.84）=4443413444434133200000000R它的秩至
37、多是 3，因为第 2 列为 0。因此由总结的第(3)点知道，这个方程是过识别的。第 3 个方程不能被识别，因为只有 2 个变量被排斥在外，R3只有 2 行，2M-1。第 4 个方程恰能识别，因为有 3 个变量Y1，Y2，Y3被排斥在外，R4的阶为 3，3=M-1。R4的前 3 列是单位阵，故（8.2.85）=00000332322211312114R其秩为 3。下面我们总结一下有关经济模型识别的可能情况。（1）如果一个方程仅仅包含一个内生变量，而包含所有外生变量，那它一定可以识别。（2）如果一个方程包含所有变量，那它一定不能识别。（3）如果在第i个方程里被排斥的变量都出现在第j个方程里，那它一
38、定不能识别。（4）如果两个方程包含完全相同的变量，那它一定不能识别。（5）如果在第i个方程里被排斥的变量同样也被排斥在第j个方程之外，那么第i个方程的秩条件不满足因而不能识别。（6）如果在第i个方程里被排斥的变量在其余M1 个方程的任意组合中都不出现，那么这个方程不能被识别。四、联立性的四、联立性的HausmanHausmanHausmanHausman 检验与公众开支的检验与公众开支的 P-RP-RP-RP-R 模型模型如果对满足经典最小二乘条件的单个方程应用 OLS，所得的参数估计应该是相合估计和有效估计。对联立方程模型，OLS 估计可能不是相合估计。在下节，我们要介绍二阶段最小二乘的工具
39、变量方法，它们可以给出相合估计与有效估计。很奇怪，如果我们将这些替代方法应用到没有联立关系的方程，它的估计还是相合的，但是却不是有效的(即方差不是最小)。这就要求我们在抛弃 OLS 而青睐那些替代方法之前，要对方程组的联立性作出检验。我们已经知道，联立关系问题的产生原因在于某些变量成为内生变量，因而可能与随机扰动项或误差项相关。因此对联立性检验的基本出发点就在于检验内生变量是否与随机扰动项相关。如果相关，就用替代方法；如果不相关，就用 OLS。为了检验内生变量与随机扰动项是否相关，可以使用 Hausman 检验。我们以具体例子说明 Hausman 检验。考虑两个方程的需求-供给模型：需求函数（
40、8.2.86）tttttRIPQ13210+=供给函数（8.2.87）tttPQ210+=这里P=商品价格Q=商品数量I=收入R=财富=误差项21,由于都用Q而不区分Qd与 Qs，这里已蕴含了恒等式Qd=Qs。在供给函数中，如果没有联立性问题，即P与Q互相独立，那么P与应该不相关。另2一方面，如果有联立性问题，P与将相关。为了检查P与到底相关不相关，Hausman 检22验有如下步骤。首先作出简化式：（8.2.88）+=+=ttttttttRIQvRIP343210其中与是简化式的随机误差项。对简化式的第一个方程用 OLS 得v（8.2.89）tttRIP210+=因此（8.2.90）tttv
41、PP+=这里是的估计，是估计的残差。代入原结构式的第二个方程得tPtPtv（8.2.91）ttttvPQ2110+=在没有联立性的零假设下，与的相关系数应为 0，对上式作回归，项的系数应为统计tv2tv意义下的 0。如果在一定显著性水平下，项系数不为 0，那就可以在此显著性水平下拒绝零tv假设，即认为存在联立性。这就完成了 Hausman 检验。我们不难将这一方法推广至多元。我们再进一步结合关于公众开支的 Pindyck-Rubinfeld 模型给出数值例子。为了研究美国联邦政府与地方政府用于公众的开支，Robert S.Pindyck 与 Daniel L.Rubinfeld 建立如下联立方
42、程模型：（8.2.92）iuPOPINCAIDEXP+=4320（8.2.93）ivPSEXPAID+=321这里EXP=联邦与地方政府公众开支AID=联邦补助水平INC=联邦收入POP=联邦人口数PS=高级中学与初级中学学生数、=误差项uv在这个模型中，INC、POP、PS 被看作外生变量。由于考虑在 EXP与 AID 之间可能有联立关系，所以首先将 AID 对 INC、POP 与 PS 作回归，即考虑：（8.2.94）iPScPOPcINCccAID+=3210误差项为，其估计值为。再将 EXP 对 AID、INC、POP 及作回归，得到如下结果：iii（8.2.95）iPOPINCAID
43、EXP39.1518.000013.050.441.89+=样本数为 20，算得的t统计量为 1.73，查表得t检验临界值，i086.2)20(05.0=t。于是知道在 5%显著性水平(双侧)下，的系数不显著，因此在这个水平725.1)20(10.0=ti下，没有联立性问题。在 10%显著性水平(双侧)下，的系数显著，因而认为存在联立性问i题。顺便提及的是，对原模型第一个方程作 OLS，结果是（8.2.96）POPINCAIDEXP597.000019.024.381.46+=有趣的是，对 EXP的两个回归方程，前一个是间接最小二乘(ILS)，AID 的系数为 4.50(对应t统计量为 5.8
44、9)，它比第二个的普通最小二乘(OLS)里 AID 的系数 3.24(对应t统计量为 13.64)要大，然而对应t统计量却要小。Hausman 检验的思想还可用来鉴别一个变量究竟是内生变量还是外生变量。我们原来确定一个变量究竟是内生变量还是外生变量主要靠先验信息和研究者自己的意图。其实也可以依靠统计方法。比如有一个联立方程模型，有 3 个方程，3 个假定的内生变量Y1，Y2，Y3，还有 3 个肯定的外生变量X1，X2，X3。第一个方程是（8.2.97）iiiiiXYYY111332201+=如果Y2与Y3确实是内生变量，当然就不能针对上式这一个方程使用 OLS。但是怎么知道Y2与Y3确实是内生
45、变量呢?我们可以仿照 Hausman 检验的思想。先获得关于Y2与Y3的简化形式(要求方程左边只有Y2或Y3一个变量，前定变量全部在右边)。于是可以得到Y2，Y3的估计，。将与添加2Y3Y2Y3Y到上式右边，作对，的回归，即考虑对方程iY1iY2iY3iX1iY2iY3（8.2.98）iiiiiiiYYXYYY1332211332201+=作 OLS，再来看与的系数与是否在统计意义下为 0。如果在一定显著性水平下，iY2iY323，那么Y2与Y3就可以作外生变量处理，就可以直接对原模型的第一个方程作 OLS。032=如果在一定显著性水平下拒绝了原假设，那么Y2与Y3就得当作内生变量，就要032
46、=结合整个方程组综合考虑了。算例算例 8.2.48.2.48.2.48.2.4联立性的联立性的HausmanHausmanHausmanHausman检验检验-联立性 Hausman 检验计算程序,例 8.2.4主要考虑两个方程,一个是简化方程:P=X+,一个是原始结构方程:Q=0+1*P+数据文件要求如此准备:第一列为P,第二列为 Q,以后各列为 X如果您的方程与资料不是如此,要先作化简,整理例 824.D 数据文件中,n=30,M=4,共有 6 列数据文件第一列是P的资料,第二列是 Q 的资料,以后各列是 X 的资料要显示原始资料吗?0=不显示,1=显示（1）-1.51471.6122-.
47、4182.1311-.2100-1.47371.55091.5065.0215.1410-.4445.14362.62461.8912.6285.03341.5756-.8559-1.33041.4062.0500-.1912-.9611-1.2896.80371.7752.0473.7747-2.0981.3616-1.07281.7862-1.2203.3373-2.0200-1.4258.03191.5909-.7738-.7768-.1266.3684.42771.2278-.41411.1470-1.1616-.01371.70491.4122-.9517-1.18241.62091
48、.2640.07591.7270-.6649.9125-.1741-1.2186-.09821.3467.0503-.02751.0522-1.69161.68601.31881.8774-.2458.0716-.6208.94101.9296-.3143.9425.2855-.0069.66241.07521.03681.7283-1.8274.06215.30211.2585.6984.26862.05961.41132.25181.1073.7692.42801.0135-.2951-1.03371.7615-.8695.3141-1.5655.0580-.05431.4550-1.04
49、28.0454-.8836.98837.00981.28532.22481.39721.5188-.9172.30181.4531.4193.3222-.3265.19171.59491.2206-.5034-.1179.1374-.0368.89281.0517.1483-.1303.2117.4518-.28961.83411.2356-1.1727-2.1618.44891.63821.6443.4776.3637.7291.38064.20961.84001.2531-1.11861.4939.13793.92871.54921.9360.6871.6908-.54992.07651.
50、6925.9337.9322.7875-1.4553.67661.41122.2321-2.05611.0423-.8813-2.96111.0904.2215-1.1518-.0551-2.37002.59241.8573-1.1282-.1002.80251.3238要作回归预测吗?键入 0=不预测,1=要预测（0）要打印拟合数据吗?0=不打印,1=打印（0）现在作 Hausman 显著性检验请输入显著性水平a,通常取 a=0.01,0.05,0.10,a=?（0.05）-线 性 回 归 分 析 计 算 结 果样本总数30自变量个数2-回归方程Y=b0+b1*X1+.+b2*X2Y=2.6