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1、一、计算题（一）函数部分1、已知,求. 解 令,得, 所以.2. 已知,求.解法1 因为.解法2 令,则,得.3. 设函数其中,求函数的表达式.解 将在区间和上的表达式给出,代入的表达式中即得. 4. 已知,求.解 因为,所以.5. (1) 已知,求的表达式; (2) 已知,求; (3) 已知,求.解 (1) 令代入方程得,因而有方程组.解此方程组得.(2) 令代入方程得,所以.(3) .6. 考察下列函数的奇偶性:(1) ; (2) ;(3) 的反函数; (4) ,其中为奇函数;(5) .解 (1) ,所以是奇函数.(2) ,所以是奇函数.(3) 为偶函数,故反函数为奇函数.(4) 因为所以
2、是偶函数.(5) .所以是奇函数.7. 求函数的值域.解 因为反函数的定义域为,所以函数的值域为.8. 设有方程其中.求解与.解 由方程组得,代入,所以.9. 若函数的图形有对称中心及,试证为周期函数,并求出周期.解 由于的图形有对称中心及,于是有.进而有且,令,由上式便得到.由周期函数的定义,注意到,因此是以为周期的周期函数.10、设函数在内有定义,且对任意的实数,有,求.解 由于,且.11、若函数对其定义域内的一切,恒有,则称函数对称于.证明:如果函数对称于及,则必定是周期函数.证 若及所以是以为最小周期的周期函数.12. 若的图形有对称轴和对称中心,求证为周期函数.证 因为是的对称轴,故
3、,而是的对称中心,故令,得?13. 讨论下列函数的增减性:(1) ; (2) ;(3) ; (3) （二）极限部分1；解：。2解32. ；解：.3. 求极限.解 ,则应用迫敛原理得.4. 求极限.解 ,由迫敛原理得:原式=3.5. 设,求极限.解 由等比数列求和公式有.6. 求极限.解 7. 设常数,求极限.解 .8. 设,求极限.解 9. 设为正数,求极限.解 而所以,原式.10. 设,求极限.解 11. 设,令,求极限.解 因为,即单调减少且.由单调有界原理得: 收敛且极限值.由,由极限唯一性的.12. 设,证明数列的极限存在,并求此极限值.证 因为,即有上界.又,即单调增.由单调有界原理
4、得的极限存在.13. 设,求极限.解 因为,设,则,由数学归纳法知有上界.另外,设,则.由数学归纳法知单调增.由单调有界原理得收敛,所以,即,解方程并注意到极限保号性,得.14. 求极限.解 利用三角函数诱导公式得所以,原式.15. 设在的某邻域内可导,且,求极限.解法1 而,所以,由归结原则得,原式.解法2 因为,而,所以.由归结原则得,原式.16. 设,求的表达式.解 (1) 当时, ,由复合极限定理得.(2) 当时,.(3) 当时,.综上讨论得17. 求极限.解 考虑极限由归结原则,得原式.18. 求极限.解 令,则有,因此,因此,即原式.19. ;解:.20. ;解: 21. ;解:当
5、时, ;当时,原式=;当时,原式=.所以22. ;解: . (用罗比达法则等的解法可参考评分).23. ;解: .24. 设,求数的值.解: .25. ;解法1: .解法2 用洛必达法则27. ;解: 因为.所以. 28. 解: 因为,所以而,所以=2. 29. 解: ,又所以.30. 解:31. 求；解:(注:用了罗比达法则和等价无穷小量的替换定理).32. ;解: 原式=.33. 求.解 ,因此.34. 求极限.解法1 因为,由复合函数的极限运算性质,只须考虑极限,所以,原式.解法2 令,所以原式.(注:中间过程用了洛比达法则).34. 求极限.解 35. 求极限.解 36.计算极限.解
6、37. 求极限.解 .38. 求极限.解 .39. 求极限.解 ,而(用洛比达法则可得),所以原式.40. 求极限.解 原式41. 设,求极限.解 42. 求极限.解 原式.43. 设,求极限.解44. 设,求极限.解 .(用了导数的定义)45. 求极限,其中.解 .46. 求极限.解 47. 设为常数,求极限.解 又所以原式48. 设,求极限.解 因为, 又,所以原式.49. 求极限.解 50. 求极限.解 51. 求极限.解 .52. 设为非零数,求极限.解 .53. 设,求极限.解 当时, ;当时, .54. 求极限.解 而,所以原式.55. 求极限.解 令,则,所以原式,而,故原式.5
7、6. 求极限.解 .57. 设为正数,求极限.解法1 而 ,所以,原式.解法2 58. 设,求.解法1 因为 ,所以.解法2 .59. 若,求.解所以.60. 求极限.解法1 ,而,所以,原式.解法2 .61. 设,求极限.解 .62. 设常数,求极限.解 63. 设要使在内连续，应如何选取数？解：,而,所以,只要,就有在内连续.64. 设函数在上有定义,在处连续,且.若对满足,则在上.证 由数学归纳法得,在处连续,由复合函数的极限,对,有.65. 设求的间断点,并说明间断点的类型.解: 在处无定义,且,所以是的第二类间断点.又在分界点处, .所以是的第一类的跳跃间断点.66. 讨论函数的连续
8、性,其中解: 当时,须,即当时, 无定义,且,是的第二类间断点.在分界点处,所以是第一类间断点.,所以是第一类间断点.67. 设,求的表达式,并指明的间断点及其类型.解 当时, ,当时, ,当时, ;当时, ;所以显然为第一类跳跃间断点,而为可去间断点.68. 设,试补充定义,使得在上连续.解 由于为间断点,令,则因此,补充定义,则在上连续.69. 求极限.解 .导数部分 1. 求下列函数的导数:(1) ;解:(2) ;解:(3) ;解: (4) ;解: .(5) ;解: .(6) ;解:(7) ; 解: 用对数求导法,在的两边取自然对数得,两边求导得,所以.（8），求解 ，而，所以.2. 设
9、在点可导,求常数.解 因为在可导,故在连续,所以,由在点可导,故有.3 设在内可导,求常数及解. 因为函数在内可导,故在内连续,所以 (1)3. 研究下列分段在分段点处的可导性,是否有单侧导数,若有,求出单侧导数值.(1) (2) 解: (1) 不存在,故在处不可导.同样,单侧导数也不存在.(2) ;.所以在处不可导.但左右导数分别为和.4. 研究分段在分段点处的可导性,若可导,求出导函数.解 因而在分段点处可导,且,所以5. 设在点的某邻域内可导,且当时,已知,求极限.解 ,而,所以原式.6. 设在内可导,当时,已知,求.解法1 解法2 7. 设在某个内存在.已知,求.解 因为且,所以,由此
10、可得,由的连续性可得;.8. 求极限.解 由导数的定义得.9. 设可导函数在上满足(区间端点单侧导数为正值),若已知,求极限.解 10. 设函数(1) 讨论在上的可导性;(2) 求,并讨论的连续性.解 (1) 在和上都存在,故在和内处处可导,仅需讨论在点的可导性.,于是在可导且,所以在上的可导;(2) 显然不存在,事实上在处无界,即为的第二类间断点.因此在和内处处连续,在点不连续.11. 设函数的导函数在处连续,求参数的取值范围.解 由导数定义可求得,上述极限只在时存在,且此时,于是在上的导函数为要使在处连续,必须有,所以,当时, 在处连续.12. 设函数讨论的可微性,并求(在可导点).解 当
11、时,可导,且 当13. 求下列函数的二阶导数:(1) ;解:(2) ;解:14. 求下列函数的阶导数:(1) ;解: (2) ;解: 因为,所以.15. 求曲线在处的切线与法线方程.解: 当时, ,故所求切线斜率为,所以其切线方程为;法线方程为.16. 设,求.解: 因为,所以17. 设试求常数使在处可导.解:因为可导必然连续,所以有;所以.18. 确定的值,使函数在上处处可导.解:当时, ,当时, .下面考察函数在处的可导性因为 ,由于可导必然连续,所以, 所以.即当,时, 在上处处可导.19. 设函数在处可导, 求函数在处的导数.解: 因为存在,所以.20. 设在内可导,且.求.解:由于,
12、又由知,所以.21. 设,求.解 ,所以.22. 设函数由方程所确定,求.解 将原方程变型为,方程两边对求导得.23. 设求.解 ,所以.24. 一曲线由参数方程确定,求该曲线在处切线的方程.解,所以切线方程为.25. 求一段二次曲线,使之将与连成一条曲线,记为.若使在处处可导,求的表达式.解 设.由的连续性,及,得,;由的可导性,得,故,所以.26. 设,求.解 由莱布尼茨高阶导数公式所以27. 设其中有三阶导数,且,求.解 ,所以.28. 讨论函数在处的连续性与可导性.解 ,所以在处连续.,所以,即,函数在处不可导.29. 设在点处可微,并令试证:在处连续. 证明: ,由函数连续的定义知,
13、 在处连续.微分部分1. 设,求;解: .2. 设,求;解: .3. 设,求;解: .4. 设,求;解: 5. 设,用一阶微分的形式不变性求复合函数的微分.解: 6. 设,用一阶微分的形式不变性求复合函数的微分.解: 2、概念部分(1) 用数列的的定义证明.证 对,因为,故取,当时,就有,所以.2. 用数列的的定义证明.证明 设,对,要使,只要,故取,当时,就有.由定义得.3. 用数列的的定义证明证明 对,因为,要使只要,故取,当时,就有.由定义得.4. 证明数列是发散的.证法1(用的定义) 取,对任意的自然数,都存在证法2(用数列与子数列的关系)证法3(用柯西收敛原理)5. 应函数极限的定义
14、证明.证 因为,所以对,当时,有,所以6. 叙述函数在区间上的一致连续性定义,并证明函数在上一致连续.(10分)解:若对,使得对任何,就有则称函数在区间上一致连续.对,取使得对任何,就有所以函数在上一致连续.7. 求下列函数的.是否存在? 解: ,.故 解:.故不存在.8. 讨论函数在处的连续性与可导性.解:因为,故在处连续;又,极限不存在,所以在处不可导.9. 写出函数在处的阶泰勒公式().解:因为所以或(介于与之间).3、应用部分 1. 设,求解:由条件知,当充分大时,函数在由和构成的区间上可导,故满足拉格朗日中值定理的条件.所以存在介于和之间,使得. 2. 设求的极值. 解:当时, .令
15、,得稳定点.当时, ;当时, ,故为极小值点,极小值为; 当时, ,所以在内严格单调增,无极值.而在的邻域内,左边函数单调增,右边函数单调减,故为极大值点,函数的极大值为.3. 设函数满足.讨论是否为的极值点.解 若,由极值的必要条件知,不是的极值点. 若,但,因而是曲线的拐点,因此不是的极值点.注1 按本题的已知条件,函数有任意阶的导数.注2 也可用导数的定义求得;注3 一个函数的拐点与极值点不能在同一自变量处取得.4. 讨论曲线与在内的交点个数(其中为常数).解 令,则曲线的交点个数即为函数的零点个数.令得函数的唯一驻点.当时, 单调减少.当时, , 单调增加.于是为在内唯一的极小值,也为
16、最小值.因此函数的零点个数与的符号有关.当,即时,在恒为正值函数,无零点;当,即时,在内只有一个零点,即;当当,即时,因为,由连续函数的零点定理知,和,使得,且由函数的单调性知,在和内最多各有一个零点,所以当时,在有且只有两个零点.5. 设在内可导,且,已知极限等式求常数.解 6. 设在的某邻域内可导,且,求极限.解 又,所以,原式.1. 求.解 原式=.2. 求.解 原式=.3. 设,求.解 两边同时取对数,得,两边同时求导数,得,所以.4. 用微分计算的近似值.解 设,则.5. 设,求.解 两边同时求导数,得,所以.6. 讨论函数在处是否可导?有没有极值?如果有,求出其极值.解 因为,所以在点处不可导.又所以当时,当时,.因此在点取得极小值,且.7. 求.解 令,8. 求.解 .9. 某产品计划一个生产周期内的总产量为吨,分若干批生产,设每批产品需投入固定费用1000元,而每批生产直接消耗的费用(不包括固定费用)与产品数量的立方成正比,且比例系数为,问每批生产多少吨时,才能使总成本最省?解 设批量为,则总费用为,令,得,所以,当批量为吨时总费用最省.10. 设为的原函数,当时,有,且,试求.解 因为,因此有.两边同时积分,得,所以,因为,又因为,所以,.38