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1、一维声子晶体振动带隙的带边模式研究*蔡 力 韩小云 温熙森(国防科技大学机电工程与自动化学院机电工程研究所 长沙 410073)摘要：从一维声子晶体的波动方程出发，选用保持晶格对称性的原胞对声子晶体的能带结构进行解析分析。结果表明一维声 子晶体带隙边缘的振动模式与其单个对称性原胞的固有振动模式完全一致，从而对一维声子晶体带隙特性的分析可以简化为 对其单个对称性原胞固有模式的分析。研究表明一维声子晶体中的振动模式是其各对称性原胞固有振动模式相互作用的耦合 模式，在带隙边缘由于布拉格散射出现解耦效应，振动模式为解耦的驻波模式，从而与单个对称性原胞的固有振动模式一致。以有机玻璃及铝构成的声子晶体细直
2、梁为例，采用振动试验对其振动传输特性进行了测试，试验结果同理论分析结果基本吻 合。这为声子晶体复杂梁杆结构的带隙特性研究及减振降噪设计提供了新的、简化的思路。关键词：声子晶体 振动带隙 晶格 对称性 原胞 中图分类号：O321TH113O48Researchon theBandedgeModesofVibrationBandGapsofOnedimensionalPhononicCrystalsCAILi HANXiaoyun WENXisen(CollegeofMechatronicsEngineeringandAutomation,NationalUniversityofDefenseTe
3、chnology,Changsha410073)Abstract：Basedonthewaveequationofonedimensionalphononiccrystals,astudyisperformedforthebandgapcharacteristicsthroughtheanalysisofthesymmetricalprimitivecellsinphononiccrystals.Ithasbeenfoundthebandedgemodesarethesameasthenaturalresonantmodesofthesymmetricalprimitivecells.Ther
4、eforethestudyonthebandgapcharacteristicscanbesimplifiedintothestudyonthesymmetricalprimitivecells.Ithasbeenfoundthevibrationmodesofthe1Dphononiccrystalsarethecouplingmodesofthe naturalmodesofvarioussymmetricalprimitivecells.Thereisuncouplingeffectsattheedgeofthebandgapthatleadtouncouplingbandedgemod
5、esthatareconsistentwiththenaturalmodesofthesymmetricalprimitivecells.ThoseconclusionsareexaminedbythevibrationexperimentsofperiodicbeamconsistsofAlandorganicglass,whichresultsinreasonableagreements.Theresearchprovidesanewandsimplifiedideaforthebandgapanalysisandvibrationisolationofcomplexperiodicbea
6、msandrods.Keywords：Phononic crystals VibrationbandgapCrystallattice Symmetry Primitivecell0 前言*近年来，关于弹性波在周期性复合材料或结构 中传播的研究比较活跃18。弹性波受到周期性复合 材料或结构的调制，会产生弹性波带隙，这样的复 合材料或结构称为声子晶体1。1992年SIGALAS2在理论上论证了弹性波带隙的存在，1995 年MARTINEZSALA 等3首次从试验角度证实了弹性 国家自然科学基金(10902123)资助项目。*收到初稿，*收到修改稿 波带隙的存在。声子晶体的带隙特性为声波及振动 控
7、制提供了新的思路，在隔声、精密机械平台减振 及声学功能器件等方面的应用前景引起了人们的广 泛关注。HO4利用声子晶体思想设计、制备并测试 的低频隔声材料；温激鸿等5将声子晶体引入到梁 板类结构设计中，构建了梁板类声子晶体结构，得 到了相应的振动带隙；CERVERA6采用金属棒设计 出了二维声子晶体声波透镜，可将13kHz范围内 的声波进行聚焦；而吴福根、KE 等7,8研究了利用 声子晶体共振腔实现声波高度定向发射的问题。根据声子晶体在迪卡尔坐标系三个正交方向上月的周期性，可将其分为一、二、三维声子晶体。一 维声子晶体虽然结构简单，但具有与二、三维声子 晶体同样的特性。而一维杆件结构，如杆、轴和
8、梁 等一直是振动控制领域的主要研究对象之一。因而 关于一维声子晶体带隙特性的研究得到人们的广泛 关注。JAKOB等9首先从试验上验证了一维杆状声 子晶体可以产生振动带隙，而王刚、温激鸿、郁殿 龙等1012对一维层状、杆状声子晶体和声子晶体梁 的带隙特性进行了大量的研究。目前，随着数值计算方法的发展，已可以对多 种结构形式的一维声子晶体能带结构进行计算。通 过大量的数值计算可以定性地总结材料参数、结构 参数变化对声子晶体振动带隙出现频段、带宽的影 响。但如何从数值计算结果中得出定量的、明晰的 带隙变化规律，以更为深入的揭示带隙特性和带隙 产生机理的工作还需要进一步展开，这对于实现定 量的指导带隙
9、设计及探索新的声子晶体结构形式具 有重要意义。本文通过对声子晶体带隙边缘振动模式的分析 来深入揭示其带隙特性。首先基于一维声子晶体的 晶格对称性来划分其原胞，由传递矩阵法建立动力 学本征方程求解能带结构。然后由矩阵分析得到描 述声子晶体带隙边缘振动模式的解析表达式，由此 对一维声子晶体的带隙变化规律和带隙形成机理进 行深入讨论。1 杆状声子晶体的纵向振动分析 图 1a 所示为一维杆状声子晶体的典型结构示 意图。两种不同弹性常数和密度的材料A和B在x方向上以 ABAB方式交替排列形成声子晶体。其 最小重复单元为原胞，图1b为两段相邻材料AB 构 成的原胞，A、B的长度分别为lA、lB，则晶格常数
10、a=lA+lB。将原胞抽象为几何点，则周期排列的原胞 可以抽象为无限延伸的空间点阵，称为声子晶体的 晶格，如图1c 所示。晶格可将声子晶体的周期特征 提取出来进行分析。AByxalAlB(a)一维杆状声子晶体(b)声子晶体原胞a(c)一维声子晶体晶格 图 1 一维杆状声子晶体结构示意图 在上述一维杆状声子晶体中，设沿x方向传播 的振动为纵波，其波动方程为10()()()()22,u x tu x txE xxxt =(1)式中 u(x,t)位移(x)密度E(x)弹性模量 对一维声子晶体带隙特性的分析，通常是选取 图1b所示原胞，结合波动方程与Bloch 定理求解能 带结构来实现。事实上，周期结
11、构中原胞的划分方 式有多种。在固体物理学中，一种常见的原胞划分 是对称性原胞或称为维格纳塞茨原胞，即划分的 原胞具有周期结构的晶格对称性。一维声子晶体晶 格在具有周期平移对称性的同时还具有镜面对称 性，即对图 1c 中任一格点，以垂直于x 方向的平面 为对称面，其两侧的结构是左右对称的。晶格对称 性会在声子晶体振动模式上反映出来，因而选取具 有晶格对称性的原胞有利于对声子晶体振动模式进 行深入分析。图1b中的原胞不具有一维晶格的镜面 对称性，这里我们选取沿原胞中心线左右镜面对称 的原胞来进行分析，如图2所示。(a)沿材料A中心线镜面对称原胞A1+A1 A2+A2 B1+B1 B2 B2+alA
12、/2lB/2yOx(b)沿材料B中心线镜面对称原胞alB/2lA/2yOx图 2 一维声子晶体对称性原胞 图2a所示原胞可由材料A、B 的交界面及原胞 的对称面划分为A1、B1、B2、A2四个区域，对声子 晶体任意第 n个原胞，各个区域中满足式(1)的解可 表示为前向波与返向波的线性组合，一般形式为()()()(),exp iexpiexp inux tJk xxJk xxt +=+(2)式中 J+前向波幅值J 返向波幅值 圆频率c 纵波波速/kc =x在A1、B1、B2、A2四个区域中分别为月222212222112222AAABBBlxnanaxnallaxnanaxnalaaxnaana
13、xnallxnaanaaxnaa =+=+=+=+m2)，质量块之间由弹性常数为的弹簧相连组成的一维 周期系统，相邻质量块间距离为 R。这样的系统可 视为由弹簧连接m1和m2构成原胞形成的一维声子 晶体，晶格常数a=2R。该结构任意第n个原胞中 m1和m2的运动可表示为月()12121exp i2exp immuYqnaqatuYqnaqat =+=+(9)式中 Y1m1的振动振幅Y2m2的振动振幅 将上式带入牛顿运动方程，并利用欧拉公式得 到1322122112(2)2cos022cos(2)02qamYYqaYmY =+=(10)该齐次方程组有非零解的条件为222122cos202cos2
14、2qamqam =(11)从而得到色散关系为()()22,1212121122122cos2mmmmm mm mqa +=+m(12)在q=/a时，达到最大值12m ，而+为 最小值22m ，两者之间即为双质量链的带隙。可以看到，带隙起始、截止模式对应于质量块 m1或m2两端与弹性常数为 的弹簧相连，两边取固 定边界条件的单个原胞的本征模式，且这样的单元 同样是沿单元中心线左右镜面对称的。这与上述一 维杆状声子晶体的结论一致。从式(11)可以看到，矩阵的两对角项描述的即为对称性原胞的本征模 式，而非对项则描述这两个模式之间的相互作用。当q/a时，非对角项不为零，表明这时双质量链 的振动模式是两
15、种对称性原胞固有模式相互作用的 耦合模式；而当q=/a时，非对角项为零，耦合作 用为零，双质量链的振动模式表现为解耦的原胞振 动模式。将式(5)和式(6)中的矩阵作为22的分块矩阵 可以得到同样的结论。即：在带隙范围外，一维声 子晶体的振动模式为两种对称性原胞振动模式相互 作用的耦合振动模式，在带隙边缘，耦合作用为零，表现为解耦的对称性原胞固有振动模式。这一特性是与带隙的形成机理直接相关的。在 均匀介质中，弹性波的传播模式均为前向波。在一 维声子晶体中，则在不同材料交界处形成反射，传 播模式包含大量的前向波和返向波，这使得不同的 原胞振动模式彼此之间相互交换能量产生耦合作 用，弹性波的传播模式
16、表现为耦合振动模式。而由 声子晶体带隙产生的布拉格机理，在布里渊区边界 处，前向波(波矢q=/a)和返向波(波矢q=/a)方向 相反，振幅相同，产生反射增强形成带隙。此时相 邻原胞之间前向波与返向波的叠加形成为驻波，这 意味着各模式间不再交换能量，从而在带隙边缘形 成多个特征频率互不相同的解耦模式，且与原胞的 固有振动模式相同。可见，对一维声子晶体，找到带边解耦模式对 应的结构单元，就可以不进行能带结构计算而直接 确定带隙的范围和带隙的变化规律。而这样的结构 单元只需要取具有晶格对称性的原胞即可。将复杂 的周期结构特性分析转化为简单的单元结构特性分 析，可以极大的提高分析效率，并可以方便的使用
17、 已有的对各种单元结构的分析结果来设计新的、复 杂的声子晶体结构。3 声子晶体细直梁的弯曲振动分析 下面试用这一思路分析一维声子晶体细直梁结 构的弯曲振动。图4a 所示为截面形状为矩形的两种 不同弹性模量及密度的材料C、D以不同的截面尺 寸沿x方向交错排列构成的声子晶体细直梁结构。材料C的长度为lC，矩形截面尺寸为hC、bC，材料D的长度为lD，矩形截面尺寸为hD、bD，晶格常数alClD。其对称性原胞如图4b、4c 所示。(a)二组元变截面周期结构细直梁(b)沿材料C 中心线镜面对称原胞yzhCzyOxzyana材料C材料C 截面 材料D截面 材料DbChDbDlClDlClD/2lDlC/
18、2(c)沿材料 D中心线镜面对称原胞 图 4 声子晶体细直梁及其对称性原胞 假定该梁的单个周期满足欧拉伯努力梁条件(单个周期内梁的长度远大于截面尺寸(5 倍以上)，则沿x方向传播的弯曲弹性波满足如下波动方程月222222(,)(,)()()0y x ty x tIE xSxxxt +=(13)式中 y(x,t)梁上任一点x 在y 方向的位移I 梁弯曲截面系数S 梁截面面积 对梁上任一点x，满足上式的解表示为()()()(),exp i(coshsinhcossin)exp iy x tW xtFkxFkxGkxGkxt +=+(14)式中 F+、F 、G+、G 弯曲波振幅积分常数W(x)挠度
19、与杆的纵向振动分析类似，由材料C、D的交 界面及原胞的对称面将原胞划分为四个区域，原胞 内相邻区域在界面处满足挠度、转角、弯矩和剪力 的连续性条件，相邻原胞间则满足Bloch 定理()1(,)exp i(,)nnyx tqa yx t+=(15)结合连续性条件和Bloch定理可得标准的矩阵 特征值方程 14,15()exp i0qa=TI(16)由上式可以得到声子晶体细直梁的弯曲振动能 带结构。对图4b、4c 所示的对称性原胞两端取简支边界 条件0()()0 xx aW xW x=(17)0()()0 xx aM xM x=(18)式中()()22()d/dM xIE xW xx=结合简支边界
20、条件和原胞内相邻区域的界面连 续性条件可得原胞的固有振动频率 16。取材料C、D为铝及有机玻璃进行分析，材料 参数见表1。晶格常数a=70 mm，铝及有机玻璃的 截面尺寸bCbD=10mm，hC=10mm，hD=5mm。取材料组分比=lD/a为 0.3，由式(16)得到能带结构 如图5a 所示，最低带隙出现在4611316Hz，而 图4b、4c 中对称性原胞的一阶固有频率计算结果为457和1 307 Hz，与能带结构计算结果是一致的。保持晶格常数a和梁截面不变，改变铝及有机玻璃 的长度lc和lD，得到在不同材料组份比时带隙的起 始、截止频率和相应对称性原胞的固有频率，如图5b所示。可以看到，二
21、者始终是非常吻合的。0/a/a频率f/kHz波矢q01.02.03.000.20.40.60.81.001.02.03.04.05.0材料组分比 lD/a带隙起始、截止频率 原胞固有振动频率(a)能带结构(b)带隙随材料组分比的变化 频率f/kHz图 5 变截面声子晶体细直梁弯曲振动能带结构及梁的材料 组分比对带隙的影响 为了验证上述计算结果，对铝/有机玻璃声子晶 体细直梁的弯曲振动带隙进行试验测试。测试所用 的仪器及测试过程框图如图 6 所示。利用 B&K7700振动与噪声分析软件及B&K 3560C多分析仪产生 宽带随机激励信号，通过B&K2732功率放大器驱 动B&K4824激振器对试验
22、样件进行激励，激振力 和声子晶体的响应分别由ENDEVCO 2302力传感 器和 B&K 4507B 加速度计测量后输入到 B&K3560C多分析仪中进行信号调理和数据采集，计算 机中 B&K 7700 振动与噪声分析软件完成数据分 析。试验激振方式采用06400Hz宽带随机激振。细直梁由10 个周期的铝及有机玻璃单元构成，截面 尺寸与前面算例相同。梁通过橡皮筋水平悬挂，使 其在关心的频段范围内能够自由振动，激振器对细 直梁垂直激励，使梁作弯曲振动。ENDEVCO2302力传感器B&K2732功率放大器B&K3560C多分析仪 计算机(控制软件)B&K4507B加速度计B&K4824激振器 实
23、验样件 图 6 试验仪器及测试过程框图 图7给出了试验测得的材料组分比=lD/a分别 为0.25、0.30、0.40的细直梁的弯曲振动频率响应 曲线。从图中可以看出，振动出现较大衰减的频率 范围分别在430930Hz、4501270Hz、5001580Hz之间，而式(16)的能带计算结果为441921Hz、4611316Hz、4861685Hz，对称性原胞的 一阶固有频率分析结果则为438914 Hz、4571307Hz、4921697Hz，试验结果同理论分析结果 基本一致。月 频率 f/Hz0500100015002000250002040响应幅值A/dB20=0.4060=0.30=0.2
24、5图 7 变截面声子晶体细直梁试验测得的弯曲振动传输特性 曲线4 结论(1)声子晶体所具有的晶格对称性会在其振动 模式上反映出来，选取具有晶格对称性的原胞有利 于对声子晶体带隙特性和带隙产生机理进行深入分 析。(2)一维声子晶体的振动模式是其对称性原胞 固有振动模式相互作用的耦合模式。在带隙边缘由 于布拉格散射效应形成解耦的驻波模式，带边模式 与对称性原胞固有振动模式完全一致。(3)对一维声子晶体带隙特性的分析可以转化 为对其单个对称性原胞固有振动模式的分析，这为 一维声子晶体的带隙机理研究和带隙特性设计提供 了新的、简便的思路，可以方便的使用已有的对各 种单元结构的分析结果来设计新的、复杂的
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