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1、数学模型讲座数学模型讲座微分方程模型之一微分方程模型之一传染病模型传染病模型北京化工大学数学建模指导小组北京化工大学数学建模指导小组传染病模型问题传染病模型问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型动态模型动态模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对
2、象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程传染病模型传染病模型已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 假设假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健
3、康人)建模模型建模模型1ttititti=+)()()(idtdi=0)0(ii=teiti0)(=)(,(+tit合理吗合理吗？传染病模型传染病模型模型2模型2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设2）每个病人每天有效接触人数为）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病且使接触的健康人致病建模建模 日接触率日接触率SI 模型模型(susceptible)(infective)(),(tsti1）总人数）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为不变，病人和健康人的比例分别为ttstNitittiN=+)()()()(传染病模型传染病模型sidtd
4、i=1)()(=+tits=0)0(),1(iiiidtdiLogistic方程传染病模型传染病模型Logistic模型模型ii010tteiti+=)11(11)(0SI 模型模型tm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻(日接触率日接触率)tm 病人可以治愈！病人可以治愈！?？t=tm,di/dt 最大最大)11ln(10=itm.1)(,tit传染病模型传染病模型1/2tmii010tteiti+=)11(11)(0SI 模型模型模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈
5、的比例为）病人每天治愈的比例为日治愈率建模日治愈率建模 日接触率日接触率1/平均传染期平均传染期 一个传染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。一个传染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。ttNittstNitittiN=+)()()()()(=0)0(,)1(iiiiidtdi=传染病模型传染病模型模型模型3i0i01-1/idi/dt01 10ti 11-1/,)1(iiidtdi=)11(=iidtdi=1,01,11)(i小小01i形曲线增长按 形曲线增长按Sts)(传染病模型传染病模型SIS 模型模型i0t 1i0di/dt 0)(1:02单调降至单调降至tisP称为阈值称为阈
6、值11传染病模型传染病模型SIR模型模型模型模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段模型预防传染病蔓延的手段(日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日治愈率日治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s0+=tuxyxftx0),(),()(+=tvxyxgty正规战争模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援f(x,y)=ay,a 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率a=ry py,ry射击率，射击率，py命中率命中率+=
7、+=)()()()(tvybxtytuxaytx=00)0(,)0()()(yyxxbxtyaytx正规战争模型正规战争模型为判断战争的结局，不求为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论而在相平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系=00)0(,)0()()(yyxxbxtyaytxyaxbdxdy=202022bxaykkbxay0)(ty)(tx0kbk0=yxk时时yyxxprprabxy=200时平局时平局0=k甲方胜时甲方胜时m0=m0=yxm时乙方胜时乙方胜yryyxrxxssrssrcdxy=00时甲方胜时甲方胜00时乙方胜时乙方胜x(t)y(t)n0n=0n020
8、2xsrspryxyyxxx设设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)乙方必须乙方必须10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力混合战争模型混合战争模型0202xsrspryxyyxxx62010 y10000 y小结小结S I模型SIS模型SIR模型适用于爱滋病等尚无法治愈的传染病适用于流感、传染性皮肤病等适用于肺结核、天花、霍乱等战争模型传染病模型战争模型传染病模型正规战模型、游击战模型、混合战争模型建模思路和方法可用于讨论社会领域的实际问题建模思路和方法可用于讨论社会领域的实际问题作业作业思考：试建立适合于描述思考：试建立适合于描述2003年我国防治年我国防治SARS战役的传染病模型注意特点：传播、预防和治疗随时间的变化关系相关数据可查阅相关网站，如：战役的传染病模型注意特点：传播、预防和治疗随时间的变化关系相关数据可查阅相关网站，如：http:/