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1、第3 3卷第6期20 0 0年12月土木工程学报CHI NA CI V几ENGD 飞ER INGJO UR NALVol.33N o.61无e.2(XX)薄壁 曲线箱梁考虑翘曲、韦成龙畸变和剪滞效应的空间分析曾庆元(长沙交通学院)(中南大学)摘要提出一种 能同时考虑拉压、弯曲、扭转、扭转翘曲、畸变、剪滞效应及它们之间交互作用 的每节点有1 4个 自由度的薄壁 曲线箱梁空间分析单元,并直接从流动 的圆柱极坐标系下一点处的位移一应变一应力关系出发,结合薄壁曲线箱梁理论和有限元技术,推导 出该单元的刚度矩阵。通过模型试验1 5 习验证了本文方法的正确性。关健词曲线箱梁剪滞效应流动的圆柱极坐标有 限元
2、法畸变1引言薄壁曲线箱梁桥在荷载作用下,将发生弯扭组合变形,同时伴随有截面的畸变,对宽翼箱梁还必须考虑“剪力滞后”现象,且由于梁轴初曲率的影响,这些变形是藕合的。能同时考虑上述诸因素的方法主要是板壳有限元法及有限条法,板壳有 限元法计算曲线箱梁有很强的适用性,但该法计算工作量大、计算结果不便实用,往往使结构工程师放弃选用。有限条法虽可减少不少自由度数,但它在边界条件处理方面存在一定的局限性,且该法无法分析变截面曲线梢梁。板壳有限元法、有限条法的上述不足,促使人们去寻求比较简单的实用计算方法,不少专家学者在这方面作出了较有成效的工作。c.P.H ein s l 用 差分法解砚脚v薄壁曲梁微分方程
3、,但符氏方程是对开口薄壁曲梁导出的,翘曲函数为扭转角的一阶导数,因而用它计算曲箱梁有 时会引起较大的误差 2。文献3采用斜 端面的直箱梁单元来计算曲箱梁。文献4从V la s ov薄壁曲梁理论出发,提出一种考虑拉压、弯曲、扭转和畸变的薄壁曲箱梁单元。文献【5从壳体几何方程出发,利用广义坐标法原理,建立 了空间曲线薄壁箱梁的控制微分方程组,并利用有限段法进行了数值计算。文献【6和文献【7先后用不同的方法提 出了周边不变形时薄壁曲线箱梁的单元刚度矩阵。尽管已有一些薄壁曲箱梁空间分析的实用计算方法被提出来,但这些方法都或多或少地存在一些局限性,有的“以直代 曲”(包括结构上 的“以直代 曲”和 局部
4、坐标系下几何方程 的“以直代 曲”),有的没有考虑扭转和畸变的藕合作用,有的以扭转角和畸变角的一阶导函数作为翘曲函数,有的则没有考虑畸变作用,尤其是这些方法都没有考虑曲线箱梁的“剪滞效应”。而忽略剪滞效应,就会低估 曲线箱梁结构实际产生的应力 8,致使立交桥或高架桥的宽箱梁出现横向裂缝 9 j。本文在普通曲梁单元的基础上,通过增加节点位移未知量,提出一种每节点具有1 4个 自由度的能同时考虑拉压、弯曲、扭转、扭转翘 曲、畸变翘曲、畸变横挠、剪滞效应及它们之间藕合作用的薄壁曲线箱梁空间分析单元。其中剪滞效应分析采用笔者提出的多参数剪滞翘曲位移函数,以考虑翼板宽度及其至截面形心轴距离对剪翘位移幅度
5、的影响和轴力平衡条件;采用乌曼斯基理论,把扭转翘曲函数p取作一个基本位移未知量;以内腹板附加畸变竖向挠度作为畸变广义坐标,畸变横挠分析中引人横向有限条的概念;几何方程采用流动的圆柱极坐标系下的应变张量关系式,并直接从位移一应变一应力关系出发进行推导,以使各种变形、它们之间的交互作用及梁轴初曲率的影响等因素得以直接而 又较全面地考虑。本文方法属于 一维有限单元法,可用于变截面(包括变高度、变宽度、变壁厚)、任意支承条件、薄壁平面任意曲线箱梁在各种载荷作用下的一般情况,且直线薄壁箱梁单元、普通空间梁单元是 向上兼容在本文单元 内的。2薄壁曲线箱梁质点空间位移与应变分析收稿日期:1卯于的.12收到修
6、改稿日期:火众洲又 巧湖南省自然科学基金资助项目(9 7汀口肠3)2.1墓本假设与坐标系的选取在本文的分析中采用如下基本假设:(l)曲线箱梁桥处于线弹性工作 阶段,结构变形由拉压、弯曲、扭转、扭转翘 曲、剪力滞、畸变翘 曲与畸变横挠组成,且与结构尺度相比是微小的;(2)曲线箱梁截面尺寸远小于跨度与曲率半径,可不计曲率沿横截面 的刻七;(3)箱壁厚度与截面其他尺寸相比是很小的;(4)剪翘只计翼板的剪滞效应,不计弯剪翘曲,且只土木工程学报20 以)年在竖向弯曲中引人剪滞效应;(5)不计初曲率对畸变中心位置的影响2,3,次要变形畸变翘曲与剪滞效应之间的交互作用亦可忽略不计仁l s。另外,为分析方便起
7、见,取直腹箱梁(如图lb)作为研究对象,坐标系及箱梁的有关尺寸见 图1所示,其中“勺乞为过形心轴的流动的曲线坐标系;01为截面的扭转中心,其位置可忽略箱梁轴线初曲率的影 响 s;02为截面的畸变中心(简 称畸心),其几何意义 见 文献【5【1 6或图2。实际上,o:是横截面 只发生畸变而无其他位移时,各周边位移的切向分量所共 同对应的转动中心,其位置坐标为定值,可由文献【52一2一2节中的(a)(b)(。)三式确定;当不计初曲率对畸变中心位置 的影 响时,亦可用文献【16中的6一4 2式确定。为为为、价);典叨1 1 1t t t t t 为为为1一一一,x I I I,于于l l l(a)俯
8、视圈Rw e咋一州(b横截面图1薄壁曲线箱梁单元2.2截面周边不变形时曲箱梁质点的空间位移设:截面扭心01在二、y方向的位移分量分别为u(:)、,(z);截面绕扭心O;的扭转角为8(:);形心口在:方 向的位移为w(:);翘 曲位移函数为夕(:)。则 截面周 边不 变形时,曲箱梁上任一点q(x,了,:的位移分量为X,y,名、声、,产、,产U;(矶(劣,y,:矶(x,了,z)二u(z)=,(:)=,(:)一(y一yl)0(劝+x8(:)l,叨一气“一万少x一y(1),一斋)田一,+。(一y,式中:()二d()ldz;。(x,)为主扇性坐标;R为箱梁的曲率半径,当曲率 中心在单元走 向的右侧时为正
9、,反之为负;。(x,y,:)为剪滞翘曲位移函数,由下式给出1 0 1二(x,y,z)二。厂(x,了,:)+。犷(z)一卜(旱),1()最Al叨1,一AZ处(:)一通3,3(z)(底板)!卜(旱)、()+最Al。!,一通2、2(:)一通303(:)(顶板)(2)1xl一b一abab1、(:)+3r,获L八,叨,、名)式中,1(z)、w:(:)、,3(:)分别为底板、顶板、悬臂板剪滞翘曲位移差;A为截面 面积;Al、AZ、A3、A4分别为底板、顶板、两悬臂板及两腹板的截面面积。2.3畸变位移分析二方面,数值计算结果表明阁,初曲率对畸心位置的影响不大;另一方面,一般情况下畸变翘曲应力相对次要,而畸心
10、轴(原点为畸心、平行于截面主惯性轴的坐标轴)与板件交点附近处的畸变翘曲应力值更小。因此,不计初曲率对畸心位置的影响,对远离上述交点处的较大的畸变翘曲应力的影响不大,对结构总应力的影响更小。文献【1 2,13不计初曲率对畸变中心位置的影响,取畸变翘曲位移模式为伞二一x(了一少2)(3)本文将腹板的畸变附加竖向挠度取作为畸变广义坐标。设 由畸 变引起的内腹 板附 加竖向挠度 为,;(:),外腹 板附加挠度为,:(:),由于截面左右对称且忽略初曲率对 畸变中心位置的影响,则 由式(3)可推知,1(:)二,:(:)。故以,;为基本未知t的畸变翘 曲位移模式如图2所示,由横断面角点1、2、4、5处的畸变
11、翘曲位移连续条件可推得uZ,(z)二(h:一了2)。1(z)lbul,(z)二(h,+了2),1(:)lb(4)横截面的畸变翘曲位移为咨!、+J.工.L一AZ、2(z)一A3、3(:)(悬臂板一x(y一yZ)34 A巩(x,y,:)=肠。;(:)(5)A,。1(z)一注2叭(z)一A303(:)(腹板)其中伞二一x(y一为)l b。夕1.万e sl才le s性le se ew e、一一第3 3卷第6期韦成龙等薄壁 曲线箱梁考虑翘曲、畸变和剪滞效应的空间分析等4 4 4 4 4 4 4d d d d d 一一一一一仲仲二二一一百百丫丫定定定】2 2 2 2 2 2 2币1亡图2畸变位移模式与横向
12、有 限条单元局部坐标系aW=后 百+_红_一a s一a平=百丁+夸e o s a一甲sina(10)平.+丽“Ina了r、J旧一;曰妇J护曰1.了卜nJ 勺一凌Jl l r.n、J J 一产 夕-刁工产r、气几设畸变横挠时板件交节点处在横截面内的转角分别为中1(:)、中:(:)(如图2)。将各板件在横截面内视作单 位宽度的横向有限条 带单元 l l 1,其畸变横向挠曲位移用节点(1、2、4、5)的位移参数按三次多项式 内插。例如,对板条单元1一2,畸变横挠位移(n方向)为右d(n,:,z)二。1(z)Nl(s)一N3(s)j-尹1(z)从(s)+N 4(s)(6)其 中3单元 刚度矩阵Nl(:
13、)二l从(。)二六)+2(六)一2(六)+(六)2。把曲线箱梁沿:轴方向离散成若干圆弧单元,取其中一个单元i一,如图3所示。每个节点取1 4个位移参数,单元内部位移分量按文献【6 的方式用多项式逼近。则 由式1 0及式1一9可得用单元节点位移向量表示 的应变分量为-3三2 b、三2 b,丛(s)二(3(一2(、(,)二卜(六)六)(六)2。板件1一因畸变产生的沿板件截面中线切线方 向的位移(:方向)为图3单元离散与典型单元关d甲d、n,J,名)=一百万n一u H、:,气石,其他板条单元(2一4、3一4、4一5、6一5、l一5)的畸变位移分析方法与1一类似,本文不再赘述。曲线箱梁上任意点的总位移
14、等于截面周边不变形时的位移与只发生畸变时的位移的迭加,即奋(n,s,z)二U,e osa+V Isin a+奋d刀(n,s,z)二一Ulsina+叭e o s a+,d(9)W(n,:,:)二矶+巩其中,和奋分别为质点沿板件截面中线的切向位移和法向位移;a为板件截面中线外法线n与x轴之夹角,规定:由x轴转到n轴为反时针转向时,则a为正。2.4应变分t在流动的圆柱极坐标系 l 4 下,q点的应变分量为la=【BIf(川其中司=8:8,1 s zT;1了为单元节点位移向量;【B为应变矩阵,其元素由插值函数的各阶导数和一些系数构成,为节省篇幅,各板件【B矩阵的具体表达式在此一概从略。应力分量为!。二
15、D1:二DB f(12)川州词(l 3)1枷 a za s坛了 DE一1一产2E、产分别为 弹性模量、剪切模量和泊松中阵中其际式比。曲线箱梁单元的应变能为v一告皿,。,”,一合,f,fT K e f(14)l一2一一皿BD“By二f土木工程学报2(X X)年式中万=皿刀T。丑axa少d:为单元的刚度矩阵。经大量运算,可得K,的显式。为方便标零点的y坐标。起见,将单元节点位移向量按了=w ju j”l公,zu,z价l协2 8风wl马扩,亿月、切2 1wlju。,4结构的平衡方程及其求解切3w打切3 j。l j。l j笋l j g h训T的方式排列,则K具有下列形单元的平衡方程为尸二万,f(17)
16、Ke各分块刚度矩阵的具体形式见附录。在推导式过 程中,利用 了下列关系(15)15的、=丁,dA、=丁,dA式中F“为单元等效节点力向量,可用虚功原理求出,因篇幅所限,这里 不予赘述。将各单元的刚度矩阵和节点力向量按“对 号人座”法则进行组装,引人约束条件后,即可得到结构的平衡方程。其中,横隔板所在截面作为一个节点处理,该节点的畸变被约束,即假定横隔板在其平面外无限柔性,而以平面内无限刚性。由于本文在流动的圆柱极坐标系下演引单元平衡方程,故总刚拼装时不需进行坐标变换。由结构平衡方程解出各节点的位移向量,进而可由式1 2进行截面应力计算。o嵘嵘心式0暇暇凡0嵘叽OK f l卿eHK一!,.,l月
17、.e s.s e.e sL一一,一丁,田 A,一。2呼令p=;:3鲁=一会。=手二d3S二,丁At,A.=(1,2,3,4)5计算实例分析与试验验证为验证本文计算方法的准确性,现取文献【15和【4中的结果和本文方法的计算结果进行比较。文献【巧中的简支曲线箱梁模型用环氧树脂和砂的混合物制成,具有刚性端横隔板,E二1 3.SGP a产=0.2,R/L=2。工况A为全跨作用均布荷载q二2.IkP a;工况B为外侧腹板跨中作用闷科N的集 中力。模型横截面及跨中截面正应力的比较如图4。本文结果与文献15 的结果吻合较好,说明本文方法是正确、有效的。文献【15考虑收敛性、,将该简支曲箱梁划分为12 0个单
18、元,共13 0个节点78 0个 自由度。本文计算时将该梁划分为1 6个 曲箱梁单元,可见本文方法的计算工作量大为减少。A,d.妒,l“一一了,=1 4二+54(y+yZ)+yyZA4式中人、毛分别为截面对二轴、y轴的惯性矩;几为截面扇性惯性矩;J、为截面抗扭常数;J,为方向惯性矩;为扭心到板件截面中线之切线的垂直距离;S(i二l,2,3,4)分别为底板、顶板、两悬臂板及两腹板对x轴静面矩之绝对值,它们满足凡+54一52一53=0;几为截面的畸变翘曲惯性矩;几为两腹板截面对:轴的惯性矩;y为腹板主扇性坐11.2日.-荔一下飞王仁,20 0k Pa厂于尸一一二万 二l。l/二荡二二砂一.U11一
19、洲沪户、一二二二书(a)截面尺寸(mm)(b)工况A的应力分布二x实侧值 15一计算值【1 5一本文计算值(c)工况B的应力分布图4简支曲线箱梁截面尺寸和跨中截面正应力文献【4中有一钢板制成的悬臂 曲线 箱形梁,其截面尺寸如图5所示。模型中心线的曲率半径R二3(X 刃,径跨比为2.0,材 料的弹 性模量E=1%cP a,泊松比产二0.2 7。在自由端外肋上施加p二7.8 4k N的集中力。从嵌固端起11 8弧长截面处箱壁外侧面横向应力值的比较如图6所示。从图中数据可知,本文结果与文献【4的实测值吻合 良好,从而进一步说明本文方法是可靠的。第3 3卷第6期韦成龙等薄壁曲线箱梁考虑翘曲、畸变和剪滞
20、效 应的空间分析85二正三0一5 0一100一15 0、火火撇二*-介一月(a)l/8弧长截面正应力:,实测值4(b)7/8弧长处箱梁外侧横 向应力图5悬臂曲线箱梁截面尺寸(二)图6悬臂曲线箱梁及其应力分布6结语本文给出了能同时考虑拉压、弯扭、畸变、剪力滞及其藕合作用的薄壁曲线箱梁单元刚度矩阵,与以往方法相比,考虑因素更为全面,且各种变形之间的交互作用及初曲率的影响更为直接地得以较全面地考虑。由于本文方法是基于一维有限单元法基础上的,编程容易,计算简便,适应性广,且便于工程师把握结构整体受力机制,在工程设计 中有一定的实用价值。本文的理论方法是以单箱单室薄壁曲线箱梁为例展开的,对于多箱分离式或
21、单箱多室曲线箱梁,亦可用本文提出的方法作出类似分析,但他们的具体计算式需另行推导。今考文献He拙C.P.,创ei n正J.C二Cu r y司1犯xl犯alllb r i妙助目ysis伪呷血r&3川ct,l卯6(6):6 5一7 3夺略5.2.,uQ二取访e wo f花劝n司to功io nt he or ie sf o rt h i粗山记场功试clo ee d一战石叻.玩此湘石0.以 Syln衅-iU I no nG刃口e c抽画c s,B r id笋山记阮也奴川阴,1 98 73兹叨山F.va nZ r l,月既朋山rC.阮。卿ho.为司ysiso fcu r ve d,pr e 动佗盼e d
22、,朋创能耐b r id ge s.J.压川ct.加.,尤犯E,1卯9(1 1)刀皿唱5.H.,幼姗L.P.R.A面n-翎川曰h a x晚田nf in it ed-el r比n if o reu r ve db r i蜘助目ysls.ComPu ter S&加也加川拐,1 98 4,1816):10 35一1 洲随5李乔.薄壁箱梁的空间分析理论:博士学位论文.成都:西南交通大学,19 886何福保.薄壁曲杆的有 限元法.固体力学 学报,198 1,2(2):14 1一1577黄剑源,谢旭.薄壁曲线杆系结构空间分析的刚度法.土木工程学报,1望抖,刀(5):3一1 98彭大文,王忠.连续弯箱梁剪滞效
23、应分析和实用计算法研究.中国公路学报,1卯8,n(3):4 1一4 99罗旗帜,俞建立.钢筋混凝土连续箱梁桥翼板横向裂缝间题.第十二届全国桥梁学术会议,广州,11尧 赶 ir o韦成龙等.薄壁箱梁剪力滞分析的多参数翘曲位移函数及其有限元法.铁道学报,2(X旧,2 2(5):印一醉n钟新国.单拱面预应力混凝土系杆拱桥 极限承载力分析:博士学位论文.长沙:长沙铁道学院,1卯71 2李国豪.桥梁与结构理论研究.上海:上海科技文献出版社,19 831 3钱寅泉,倪元增.曲线箱 梁考虑剪力滞和畸变的 弹性控制微分方程及其解 法.铁道学报,1卯2,1 4(3):8 0一9 11 4孟凡中.弹塑性有限变形理
24、论和有 限元方法.北京:清华大学出版社,19 85巧H.R.Eva n S,W.N.A l一肠加e.A ne x详r i r 朋耐朋dt he o r et i-以泊ve st i脚o no ft h eb e抽I v i o ro flx以沙血功cu r y曰i n润田1.P脱.L均切.曲.凡1脚.1、lt2,v 59.1卯5.32 3一3 521 6赖远 明,王荣辉.折板结构的计算理论及其应用.兰州:兰州 大学出版社,l更巧ANEWE IJ 脚颐价陌FOR们 I l NWAIJ正习CU 即汪刀BOXG 肠江理RA 沁红刀SE州口比刃乃心叭嚼R 日叫GD眨汀O R 刀 C叫ANDSHEAR,
25、LAGEP日叹刀旧w ei。愉飞而咭及咭Q乙侧粼以讥(C腼哪h aCca tion sUn iv eoi t y)(Ce nt ra lS out hUi t y)Abs切蛇tA俪t eelem entf o r面n-翎扭e deu r ve d场xg ir dera na lysi s1 5pr o脚初i nt h ep耳犯r.Ea chne deo ft h ee le l m l enti n-elude se ig h text iadeg,e-o f-放司t h en on r 过血deg,e-o f伙曰om s.h in cl ud e st h ew印p吨,t h ed isto
26、r t jo n,朋dt h eshe a r-吨团碗切a swel l a st h eint en 沈tio n s日比旧。9t hem.肠e面n一wa lle db ea nlt h印r y1 5eo.面ine d初t ht h e俪t eele毗ntte ch苗qpet oPr ovld saf on r l u la tio no ft h eele m entst i l 知e s smatr ice su nde rc一t e d诫n de rco ol dina te S.仆e一以l t s86土木工程学报么切年sho wt hatt h eP喇卯s e dm et he d1
27、 5f e a sib l ea nd汕a b le.仆ePr olx犯ed e lementi sdh aen siona l.hi scu r ve d加xg i记e rb r i妙初t hv丽曲lecI D ss一s e ct io n s,a x bitr a r ys upP Or te ondit io n s,朋dsu b je ct e dt oV a n 0 U Ss u l血b le腿1叨d sKey,心n坛:c娜记 玩xg i衣 l er,s坛组卜吨以巍ct,哪ve ct e对叮lin de rc o-o rd i到劝e s,6币tee坛n entm e山闭t o朋目脚a
28、曲协币叭韦成龙曾庆元长沙交通学院副教授,现为中南大学博士生,从师曾庆元院士从事桥梁结构空间应力分析、桥梁结构极限承载力分析的研究工作。近年来共发表论文2 0 余篇。通讯地址:4 1(X 刀6长沙市赤岭路4 5号,长沙交通学院桥梁系中国工程院院士,博导,教授,长期从事桥梁结构计算理论、桥梁结构极限承载力分析、车桥振 动的研究。附录单元刚度矩阵 r 的各子块分别为一6215 6内+6a5一口l处【K a二“B一口32 2a L+3 内L4内广+2内L 23笋朴一兔5 4内一6内13内一3a5Le215 6内+6a,+6 B:3 L(B、+召2)一6刀3R一召42L 2(2刀:+B 2)一6B 3R
29、 L2B3L 2+B7已3一13内L+3 内L一3a L 2+a,刀一内一2 2内L一3a,L4a。L 2+Za,L 2-6 C、(附1)勺.且a a武二一凡3风2凡L+BSR勿爪一CIL一ZDIR一口、+D、L一ZN IZF I+H l6q一qL一ZDZR一一仇+几L一2凡兀2凡+从(附2),月!l口e s e sJ了n0 0n6瞬3 6 凡一1 2几3BsL一6B,L00一笼药一矾一3 L(B 1+几)6几R+B 40一6 C l一6q一6几33B.L一6场L一2 1B,。4 丑.L Z一4刀,L 2一3刀1。L00003以B l+乌)矾R+凡扩(一B l十几)00几扩一B 7凡一3凡C
30、IL+ZD IRQ I+马LqL+2几R仇+几L几L+2乌R仇+马L0B,甩早000凡3凡00000000(附3).e s re s.s eL一6肠凡L一凡RC IL+ZD.R一认一D IL一N lF l一H l一兀一几6q几L+2马L一仇一马L一凡一T 3凡一凡T l肠L+2马L一场一马L一凡一几(附4)T l凡一场从凡N 3一一一T,.l.J0 00 0嵘K n一3 6 B s+12几一3 B。L+6凡L3 B。L一6B gL一B。乙2一2凡 L 2000015 6Bz一+6 Bu2 2BrzL+3B12L4 刀1,L 2+2丑。L 2场网一9B1 0ZB拍L007e L/2 0e:L Z
31、I为匀L 130一凡甩2007匀L/加“e3扩l为伪L1 3兔L1300000(附5)0000(附6)一3 6凡+12B,一3B。L+6凡L3 B。L一6B gL一B。刀一2场扩00一gB一。00K D一ZB一oL一凡甩,00000000o)o00J(附7)0000户l.t.lw e.Jr.s ee es e口e sJ 工le se s.IL一第3 3卷第6期韦成龙等薄壁曲线箱梁考虑翘曲、畸变和剪滞效应的空 间分析875 4Bll一6B仪13 B一 IL一3 B一ZL一13B一 IL+3B一 2L3e2L12 0一3刀11L 2+刀,2L 2。2L 2/3()一。2L 2/3()e 4L16一
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