数值分析 第1章.pdf

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1、数 值 分 析数 值 分 析数值泛函分析数值泛函分析主讲主讲任春丽任春丽主讲主讲任春丽任春丽E-Mail:1第第 1章 绪 论章 绪 论1.1课程简介课程简介1.2预备知识预备知识21.1 课程简介课程简介 一、数值分析概要：一、数值分析概要：数值分析（数值分析（Numerical Analysis）是研究用计算机求）是研究用计算机求解数学问题的解数学问题的数值方法和理论数值方法和理论（或计算方法、数值算法），是一门把数学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的基础学科，是培养（或计算方法、数值算法），是一门把数学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的基础学科，是培养科学计算科学

2、计算能力的重要环节，隶属能力的重要环节，隶属计算数学计算数学的一个分支。的一个分支。3数值分析在用计算机解决实际问题的过程中起到承上启下的作用数值分析在用计算机解决实际问题的过程中起到承上启下的作用实际问题实际问题建立数学模型建立数学模型提出数值计算方法提出数值计算方法程序设计程序设计编程上机计算编程上机计算提出数值计算方法提出数值计算方法程序设计程序设计，编程上机计算编程上机计算分析结果并对实际问题进行解释说明分析结果并对实际问题进行解释说明主要任务是，研究求解数学模型的主要任务是，研究求解数学模型的算法算法由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整解题步骤；由基本运算及运算顺序的规定所构成的完

3、整解题步骤；进行误差分析。进行误差分析。4二、二、泛函分析概要：泛函分析概要：泛函分析（泛函分析（Functional Analysis）是研究）是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换（映射）规律“函数的函数”、函数空间和它们之间变换（映射）规律的数学学科，属的数学学科，属分析数学分析数学。它以各种学科为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间，建立空间之间。它以各种学科为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间，建立空间之间的映射（距离空间，赋范线性空间，内积空间）的映射（距离空间，赋范线性空间，内积空间）。空间到空间的对应关系（映射）称

4、为空间到空间的对应关系（映射）称为算子算子 像空间为数域的算子称为像空间为数域的算子称为泛函泛函 数集空间到数集空间的泛函数集空间到数集空间的泛函函数函数 5三、泛函分析与数值分析的关系：三、泛函分析与数值分析的关系：电子计算机的出现和泛函分析在数值分析领域中的应用，使数值分析发生了革命性的变化。电子计算机的出现和泛函分析在数值分析领域中的应用，使数值分析发生了革命性的变化。计算机是数值分析计算机是数值分析的的计算工具计算工具，而，而泛函分析是进行数值方法研究泛函分析是进行数值方法研究的的理理论基础。论基础。对数值分析而言，运用泛函分析的观点与语言可使数值分析中很多定理与方法的推导变得简洁、直

5、观，并使得结论具有普遍性。对数值分析而言，运用泛函分析的观点与语言可使数值分析中很多定理与方法的推导变得简洁、直观，并使得结论具有普遍性。本课程只介绍与数值分析有密切关系的泛函中的本课程只介绍与数值分析有密切关系的泛函中的基本概念和理论。6第一章 绪论1-1 四、本课程的特点及内容：四、本课程的特点及内容：特点特点：自成体系，将泛函分析与数值分析融合在一起，对一些不同的数值方法给出共同的泛函背景与统一的框架。：自成体系，将泛函分析与数值分析融合在一起，对一些不同的数值方法给出共同的泛函背景与统一的框架。内容内容：三大空间三大空间距离空间距离空间赋范线性空间赋范线性空间希希内容内容：三大空间三大

6、空间距离空间距离空间，赋范线性空间赋范线性空间，希希尔伯特空间；由内积定义投影，引出函数空间的各种数值逼近，介绍不动点定理及应用；工程和科学实验中最基本、最常用的数值算法：数值积分与数值微分，线性与非线性方程组的数值求解，矩阵的特征值与特征向量的计算。尔伯特空间；由内积定义投影，引出函数空间的各种数值逼近，介绍不动点定理及应用；工程和科学实验中最基本、最常用的数值算法：数值积分与数值微分，线性与非线性方程组的数值求解，矩阵的特征值与特征向量的计算。7五、教材：五、教材：数值分析，宋国乡编，西安电子科技大学出版社。参考书：数值分析，宋国乡编，西安电子科技大学出版社。参考书：数值分析数值分析 李庆

7、扬等编李庆扬等编华中理工大学出版社华中理工大学出版社数值分析数值分析，李庆扬等编李庆扬等编，华中理工大学出版社华中理工大学出版社。应用泛函分析原理，李广民等编，西安电子科技大学出版社。六、课程性质：学位 考试形式：闭卷笔试。应用泛函分析原理，李广民等编，西安电子科技大学出版社。六、课程性质：学位 考试形式：闭卷笔试 8七七、课程要求：、课程要求：熟悉泛函分析的基本概念和理论；熟悉泛函分析的基本概念和理论；掌握数值分析中一些相关的理论分析技巧和数值掌握数值分析中一些相关的理论分析技巧和数值求解求解方法方法；求解求解方法方法；熟悉所学方法的计算过程，并在实践中能够合理熟悉所学方法的计算过程，并在实

8、践中能够合理选选择和使用数值计算方法；择和使用数值计算方法；培养科学计算能力。培养科学计算能力。91.1 预备知识预备知识 一、集合 把一些确定的彼此不相同的事物汇集在一起成为一 一、集合 把一些确定的彼此不相同的事物汇集在一起成为一个整体，称为集合。个整体，称为集合。表示方法表示方法：描述法；列举法。：描述法；列举法。分类分类：有限集；无限集（可列集，不可列集）。：有限集；无限集（可列集，不可列集）。10可列集（可数集）可列集（可数集）：设 A 是无限集，若 A 中的一切元素可以用自然数编号（即 A 与自然数集 N 一一对应），使 A 写成：设 A 是无限集，若 A 中的一切元素可以用自然数

9、编号（即 A 与自然数集 N 一一对应），使 A 写成A A=123,na a aaLL,则称则称 A A 为可列集为可列集（或可数集或可数集）。）。A A 123n,则称则称 A A 为可列集为可列集（或可数集或可数集）。）。否则，称为不可列集。如：有理数集是可列集，数列构成的集合是可列集；无理数集、0，1中的全体实数构成的集合是不可列集。否则，称为不可列集。如：有理数集是可列集，数列构成的集合是可列集；无理数集、0，1中的全体实数构成的集合是不可列集。11集合关系：包含，相等，子集，真子集，空集集合关系：包含，相等，子集，真子集，空集。集合运算：并集，交集，差集，余集（补集）。集合运算：并

10、集，交集，差集，余集（补集）。空间空间具有一定性质的元素集合具有一定性质的元素集合称为称为空间空间空间空间：具有一定性质的元素集合具有一定性质的元素集合，称为称为空间空间。12第一章 绪论1-2二、数值算法的基本特点二、数值算法的基本特点 1面向计算机面向计算机 根据计算机的特点，提出解题的可程序化的具体步骤与过程称为构造性方法，直到给出问题的答案。根据计算机的特点，提出解题的可程序化的具体步骤与过程称为构造性方法，直到给出问题的答案。2在理论上收敛、稳定，在实际计算中精确度高在理论上收敛、稳定，在实际计算中精确度高 计算机运算得到的结果都是近似的，因此需要考虑算法的精确度问题。在理论上还要研

11、究用计算机运算得到的结果是否收敛到实际问题的解，考虑算法的数值稳定性。计算机运算得到的结果都是近似的，因此需要考虑算法的精确度问题。在理论上还要研究用计算机运算得到的结果是否收敛到实际问题的解，考虑算法的数值稳定性。133计算复杂性尽可能小计算复杂性尽可能小 从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小，即所谓从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小，即所谓计算复杂性计算复杂性问题问题。它由以下两个因素决定的：它由以下两个因素决定的：使用中央处理器使用中央处理器的时间的时间主要由四则运算主要由四则运算使用中央处理器使用中央处理器（CPU）的时间的时间，主要由四则运算主要由四则运算的次数决定；的

12、次数决定；占用内存储器的空间，主要由使用的数据量来决定。占用内存储器的空间，主要由使用的数据量来决定。144要有数值化结果要有数值化结果 数值计算的许多方法是建立在数值计算的许多方法是建立在离散化的离散化的基础上进行的，其解决问题的最终结果不是解析解而是基础上进行的，其解决问题的最终结果不是解析解而是数值近似解数值近似解。对于给定的数学模型，采用不同的离散手段可以导。对于给定的数学模型，采用不同的离散手段可以导致不同的数值方法，应该通过计算机进行数值试验，进行分析、比较来选定算法。致不同的数值方法，应该通过计算机进行数值试验，进行分析、比较来选定算法。对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其

13、收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明提供线索。对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明提供线索。15总之，对于给定的数学模型所提出的可行、有效的算法应该是符合计算机的要求；在理论上收敛、稳总之，对于给定的数学模型所提出的可行、有效的算法应该是符合计算机的要求；在理论上收敛、稳定定在实际计算中精确度高在实际计算中精确度高；计算复杂性小计算复杂性小；能通过能通过定定，在实际计算中精确度高在实际计算中精确度高；计算复杂性小计算复杂性小；能通过能通过试验验证的数值方法。试验验证的数值方法。16三、误差分析三、误差分析 1误差的来源误差的来源

14、（1）模型误差模型误差：数学模型与实际问题之间的误差。：数学模型与实际问题之间的误差。（2）观测误差观测误差：实验或观测得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差或数据误差。：实验或观测得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差或数据误差。（3）截断误差截断误差：数学模型的精确解与数值方法得到的数值解之间的误差称为方法误差或截断误差。：数学模型的精确解与数值方法得到的数值解之间的误差称为方法误差或截断误差。（4）舍入误差舍入误差：对数据进行四舍五入后产生的误差成为舍入误差。：对数据进行四舍五入后产生的误差成为舍入误差。本课程只讨论本课程只讨论截断误差和舍入误差截断误差和舍入误差 172误差的基

15、本概念误差的基本概念 定义定义 1 设 设x为准确值，为准确值，*x是是x的近似值 的近似值 xxe=*称为称为*x的的绝对误差绝对误差，简称，简称误差误差 若 若=xxe*称称为为*x的的绝对误差限绝对误差限或或精度精度 定义 2定义 2 设 设x为准确值，为准确值，*x是是x的近似值 的近似值 xxxxeer=*x的的相对误差相对误差 通常用 通常用*rexxexx=代替。若代替。若*rrxxex=r为近似值为近似值*x的的相对误差限相对误差限 18第一章 绪论1-33.3.有效数字、有效数字与相对误差限的联系 有效数字、有效数字与相对误差限的联系 定义 3定义 3 设近似数 设近似数*1

16、20.10mnxa aaL=，其中，其中na aa12,L是 0 到 9 之间的自然数，是 0 到 9 之间的自然数，10a，m为整为整*110m n数。如果 数。如果 102m nxx 则称近似值 则称近似值*x具有具有n位有效数字。其中位有效数字。其中12,na aaL都是都是*x的有效数字，也称的有效数字，也称*x是有是有n位有效数字的近似值。位有效数字的近似值。19定理定理 设近似数 设近似数*120.10mnxa aaL=有有n位有效数字，则其相对误差限为 位有效数字，则其相对误差限为 111102nra+=12a反之，若相对误差限为 反之，若相对误差限为 111102(1)nra+

17、=+则它至少具有 则它至少具有n位有效数字。位有效数字。20四、构造数值算法的若干原则 在用计算机实现算法时，我们输入计算机的数据一般是有误差的（如观测误差等），计算机运算过程的每一步又会产生舍入误差，由十进制转化为机器数也会产四、构造数值算法的若干原则 在用计算机实现算法时，我们输入计算机的数据一般是有误差的（如观测误差等），计算机运算过程的每一步又会产生舍入误差，由十进制转化为机器数也会产生舍入误差生舍入误差 这些这些误差在迭代过程中还会逐步传播和积误差在迭代过程中还会逐步传播和积生舍入误差生舍入误差，这些这些误差在迭代过程中还会逐步传播和积误差在迭代过程中还会逐步传播和积累，累，因此我们

18、必须研究这些误差对计算结果的影响因此我们必须研究这些误差对计算结果的影响。如果我们在构造算法的过程中注意了以下一些原则，那么将有效地减少和避免误差的危害、控制误差的传播和积累。如果我们在构造算法的过程中注意了以下一些原则，那么将有效地减少和避免误差的危害、控制误差的传播和积累。2111避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减 在数值计算中两个相近的数相减会造成有效数字的严重损失，从而导致误差增大，影响计算结果的精度。在数值计算中两个相近的数相减会造成有效数字的严重损失，从而导致误差增大，影响计算结果的精度。例例 1 1当当 x x100010003 3 时时，计算计算xx+1的近似值的近似值。

19、例例 1 1 当当 x x100010003 3 时时，计算计算xx+1的近似值的近似值。解 若使用 6 位十进制浮点运算，运算时取 6 位有效数字，结果 解 若使用 6 位十进制浮点运算，运算时取 6 位有效数字，结果 005.0015.100020.1001=+xx 只有一位有效数字，损失了 5 位有效数字 只有一位有效数字，损失了 5 位有效数字。22若改用 若改用 00499913.0015.100020.1001111=+=+=+xxxx 则其结果有则其结果有 6 6 位有效数字位有效数字与精确值与精确值则其结果有则其结果有 6 6 位有效数字位有效数字，与精确值与精确值 0.004

20、99912523117984非常接近 0.00499912523117984非常接近。232 2防止重要的小数被大数“吃掉”防止重要的小数被大数“吃掉”在数值计算中，参加运算的数的数量级有时相差很大，而计算机的字长又是有限的，那么就可能出现小数被大数“吃掉”的现象。这种现象在有些情况下是允许的，但在 在数值计算中，参加运算的数的数量级有时相差很大，而计算机的字长又是有限的，那么就可能出现小数被大数“吃掉”的现象。这种现象在有些情况下是允许的，但在有些情况下，这些小数很重要，若它们被“吃掉”，就会造成计算结果的失真，影响计算结果的可靠性。例 2 求二次方程有些情况下，这些小数很重要，若它们被“吃

21、掉”，就会造成计算结果的失真，影响计算结果的可靠性。例 2 求二次方程010)110(992=+xx的根。解 用因式分解易得方程的二个根为 的根。解 用因式分解易得方程的二个根为 91210,1xx=24第一章 绪论1-4若用求根公式若用求根公式21,242bbacxa=编制程序，如果在只能将数表示到小数后 8 位的计算机上运算，那么 编制程序，如果在只能将数表示到小数后 8 位的计算机上运算，那么 91210,0 xx=.2x严重失真的原因是大数吃掉小数的结果。如果把严重失真的原因是大数吃掉小数的结果。如果把2x的计算公式写成的计算公式写成2224224bbaccxabbac=+，则 ，则

22、92992 1011010 x=+.2533避免出现除数的绝对值远远小于被除数绝对值 避免出现除数的绝对值远远小于被除数绝对值 在用计算机实现算法的过程中，如果用绝对值很小的数作除数，往往会使舍入误差增大。即在计算在用计算机实现算法的过程中，如果用绝对值很小的数作除数，往往会使舍入误差增大。即在计算xy时，若时，若yx 0，则可能产生较大的舍入误差，对计算结果带，则可能产生较大的舍入误差，对计算结果带来严重影响来严重影响应尽量避免应尽量避免来严重影响来严重影响，应尽量避免应尽量避免。例 3。例 3 在 4 位浮点十进制数下，用消去法解线性方程组 在 4 位浮点十进制数下，用消去法解线性方程组=

23、+=126.0300003.02121xxxx.2644简化计算步骤简化计算步骤 同样一个问题，如果能减少运算次数，那么不但可以节省计算机的计算复杂性，而且还能减少舍入误差。因此在构造算法时，合理地简化计算公式是一个非常重要 同样一个问题，如果能减少运算次数，那么不但可以节省计算机的计算复杂性，而且还能减少舍入误差。因此在构造算法时，合理地简化计算公式是一个非常重要的原则的原则。的原则的原则。例 4 例 4 已知 已知x，计算多项式，计算多项式nnnnnxaxaxaaxp+=1110)(L的值。解 若直接计算，即先计算的值。解 若直接计算，即先计算kkxa，nk,2,1L=，然后逐项相加，则一

24、共需要做，然后逐项相加，则一共需要做 272)1()1(21+=+nnnnL次乘法和次乘法和n次加法。若对次加法。若对)(xpn采用秦九韶算法 采用秦九韶算法 =+=+.)(,0,1,2,2,1,01sxpnnksxasasnkkknnL 则只要 则只要n次乘法和次乘法和n次加法，就可得到次加法，就可得到)(xpn的值的值。2855注意算法的数值稳定性注意算法的数值稳定性 为了避免误差在运算过程中的累积增大，我们在构造算法时，还要考虑算法的稳定性。为了避免误差在运算过程中的累积增大，我们在构造算法时，还要考虑算法的稳定性。定义 4 定义 4 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不

25、增长，那么称此算法是 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，那么称此算法是数值稳定数值稳定的，否则称此算法为的，否则称此算法为数值不稳定数值不稳定的。的。29五、算法的实现 五、算法的实现 通过使用软件工具和自编程序实现算法 大多数数值分析方法，有很多现成的通用或专用数学软件包含有实现这些算法的子程序或库函数，如：Fortran,C,Matlab,Mathematica 等可以直接调用。尽管如此，自编程序通过使用软件工具和自编程序实现算法 大多数数值分析方法，有很多现成的通用或专用数学软件包含有实现这些算法的子程序或库函数，如：Fortran,C,Matlab,Mathem

26、atica 等可以直接调用。尽管如此，自编程序仍是不可缺少的仍是不可缺少的一一子程序和库函数是孤立的功能块子程序和库函数是孤立的功能块实实仍是不可缺少的仍是不可缺少的。、子程序和库函数是孤立的功能块子程序和库函数是孤立的功能块，实实际问题往往需要综合使用多种数学方法才能解决；际问题往往需要综合使用多种数学方法才能解决；二、二、一个数学问题可能有多种解法，各有优缺点，需要选择合适的方法，这就需要对算法的性质有深刻的了解，只有通过理论和实践两方面才能得到解决；一个数学问题可能有多种解法，各有优缺点，需要选择合适的方法，这就需要对算法的性质有深刻的了解，只有通过理论和实践两方面才能得到解决；三、三、数软件和函数库并非包罗万象，有的问题需要自己构造算法并编制软件。数软件和函数库并非包罗万象，有的问题需要自己构造算法并编制软件。30第一章 绪论1-5思考题 1构造数值算法有哪些原则？2.思考题 1构造数值算法有哪些原则？2.误差通常来源于哪几方面误差通常来源于哪几方面？误差通常来源于哪几方面误差通常来源于哪几方面3.数值算法的稳定性指什么？4.计算复杂性包括哪些方面？3.数值算法的稳定性指什么？4.计算复杂性包括哪些方面？31第一章 绪论1-6