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1、3.3 平衡原理与机理模型 一.平衡原理 自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。二.机理模型 在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。三.微分方程模型 微元法：在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系,再利用微分学的思想进一步处理它,得到以微分方程的形式描述的数学模型。例 1.人口的自然增长.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。假设 1.人群个体同质。令 N(t)表示 t 时刻的人口数。假设 2.群体规模大。N(t)连续可微.假设 3.群体封闭，只考虑生育和死
2、亡对人口的影响。平衡关系：人口数在区间t，t+?t 内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。令 B(t,?t,N),D(t,?t,N)分别表示在时间区间t，t+?t 内生育数和死亡数,则有 N(t+t)-N(t)=B(t,t,N)-D(t,t,N)假设 4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）生育率 b(t,?t,N)=B(t,?t,N)/N,死亡率 d(t,?t,N)=D(t,?t,N)/N 记增长率为 R(t,t,N)=b(t,t,N)-d(t,t,N)则有 N(t+t)-N(t)=R(t,t,N)N 将R(t,?t,N)关于?t展开.由于R(t
3、,h,N)|h=0=0，所以 )(),()(),(0totNtrtottddRNttRt+=+=N(t+?t)-N(t)=r(t,N)N?t+o(?t).两边除以?t,并令?t 0,得到 dN/dt=r(t,N)N 假设 5.群体增长恒定。（r 与 t 无关）dN/dt=r(N)N 假设 6.个体增长独立。（r 与 N 无关）dN/dt=r N 给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus 模型)N(t)=N0ert在离散时间点k=0,1,2,上有 N(k+1)=er N(k)Maithus:“若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资
4、料的能量的。人口如果不受控制，它会以几何比率增长。而生活资料只能以算术比率增长。只要稍微看一下数字，就将明确第一种能量比之第二种能量是无比巨大的。”论人口原理 总结对人口指数增长模型的假设,1.人群个体同质。2.群体规模大。3.群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的 影响。4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）5.群体增长恒定。6.个体增长独立。由这些假设可分析这个模型的作用.人口的指数增长模型不能很好地描述、更不能预测较长时期的人口演变过程。美国人口数据：1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9
5、17.1 23.2 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 123 132 151 179 204 227 251 281 拟拟合合图图形形 修改假设6：r(N)=(1-N/K)K表示人口容量，反映资源环境对人口增长的制约作用。人口增长的罗杰斯蒂克模型：dN/dt=r(1-N/K)N N(0)=N0 解曲线的拐点在 N=K/2,过了拐点曲线的增势减缓。可以利用这个特点推测人口容量值。拟拟合合图图形形 修改假设1：考
6、虑到不同年龄人的差异。记n(a,t)为人口分布密度函数,记(a,t)为在时刻 t 年龄为 a 的人的死亡率,在时刻t年龄处在r,r+a范围内的人总数约为 n(a,t)a 到了时刻t+t 他们中活着的人年龄为 a+t,总数约为 n(a+t,t+t)a 平衡关系：n(a,t)a-n(a+t,t+t)a=(r,t)n(a,t)a t n(a+t,t+t)-n(a,t+t)a+n(a,t+t)-n(a,t)a=-(r,t)n(a,t)a t 两边除以a t,再令 t 0 且a 0 得 n/a+n/t=-(r,t)n(a,t)记(a,t)为在时刻 t 年龄为 a 的人的生育率，则有 n(0,t)=(a,
7、t)n(a,t)da 给定初始条件：n(a,0)=n0(a)构成具年龄结构的线性人口模型 例 2 池水含盐 池中有一定体积的盐水，从池的上部向池中注入一定浓度的盐水。混合后的盐水将从池的下部流出。建模描述池中盐水浓度的动态。假设：盐水注入池中后迅速混合,使得盐水浓度均匀。变量、参量：池中盐水体积 V(t),池中盐水浓度 p(t),盐量 S(t);池中原有盐水体积 V0,原有盐水浓度p0;流入盐水速度 rI(t),流入盐水浓度 pI(t);流出盐水速度rO(t),流出盐水浓度 p(t).用微元法确定平衡关系，建立微分方程模型:。模型 drdrVtVpptptptrdttdptVOtIII)()(
8、)()0()()()()()(000+=进一步问题：池中有水 2000 m3，含盐 2 kg，以 6m3/分 的速率向池中注入浓度为 0.5 kg/m3 的盐水，又以 4 m3/分的速率从池中流出混合后的盐水。问欲使池中盐水浓度达到 0.2 kg/m3，需要多长时间？此时 V(t)=2000+2*t.dp/dt=3/V(t)-6*p(t)/V(t),p(0)=0.001.用 MATLAB 求 p(t)求表达式（符号运算）S=dsolve(Dx=(3-6*x)/(2000+2*t);求数值解 建立 M 文件 fun.M,function y=fun(t,x)y=(3-6*x)/(2000+2*t
9、);t0=0;tf=200;x0=0.001;t,x=ode23(fun,t0,tf,x0);plot(t,x);利用物理定律、或变量之间的平衡关系建立连续模型:把语言叙述的情况概念化为文字方程引入数学符号，列出微分方程及各种定解条件（初始条件、边界条件等）例3 将室内一支读数为600的温度计放到室外，10分钟后温度计的读数为700，又过10分钟，读数为760。推测一下室外的温度。牛顿冷却定律：将温度为T的物体放入常温为m的介质中，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。假设介质足够大，放入一个较冷的物体时，m基本上不受影响。例4 某人的食量是2500 cal/D,其中1200cal 用于基本
10、的新陈代谢。在健身训练中他所消耗的大约是16 cal/kg/D乘以他的体重(kg)，假设以脂肪形式贮藏的热量是 100%有效，而1kg脂肪含热量10000 cal.求出这个人的体重是怎样随时间变化的。习题 P88 习题：14，15.四.差分方程模型 利用平衡原理，找出下一步对前一步或前几步的依赖关系，得到以差分方程的形式描述的数学模型。例 1.兔子的繁殖 I 由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少对兔子？假设兔子的生殖力是这样的：一对兔子每一个月可以生一对兔子，并且兔子在出生两个月以后就具有繁殖后代的能力。假设：1.每对兔子每一个月定生一对兔子。2.兔子出生两个月后都具有繁殖能力。3.兔子每经过一
11、个月底就增加一个月令。4.兔子不离开群体（不考虑死亡）。变量、参量:月份：n，幼兔：a0(n)，成兔:a1(n)平衡关系 本月初(一月令)的幼兔是上月成兔繁殖的后代。本月的成兔是上月的成兔和上个月(一月令)的幼兔发育结果的总和。模型 I a0(n)=a1(n-1)a1(n)=a0(n-1)+a1(n-1)1.模拟.a0(1)=1,a1(1)=0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a0(n)1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 a1(n)0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 a(n)1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
12、 144 a(n+1)=a(n)+a(n-1)斐波那契数列(黄金数)2.关于斐波那契数列的讨论：证明 a(n+1)=a(n)+a(n-1)因为 a0(n+1)=a1(n)a1(n+1)=a(n)=a0(n)+a1(n)所以 a(n+1)=a0(n+1)+a1(n+1)=a1(n)+a(n)=a(n-1)+a(n)于是 a(n)/a(n+1)=1/a(n-1)/a(n)+1 记 xn=a(n)/a(n+1),则 xn=1/1+xn-1 可以证明xn 收敛，记其极限为 x0，则由 x0=1/1+x0 得到 x0=0.6183.模型的作用机理：令 a(n)=(a0(n),a1(n),则 a(n)=A
13、 a(n-1)=222112111110aaaaAa11幼兔的繁殖能力，a12成兔的繁殖能力，a21幼兔的发育为成兔的比例，a22成兔存活的比例。4.群体的渐近性质 A 有主特征值=1.618 相应的左特征向量 L=(0.382 0.618)于是，当 n 时,a(n)/a(n)L 幼兔将占群体总数的 0.382 成兔将占群体总数的 0.618 称向量 L 为种群的稳定分布。问题：如果每对兔子每月可生两对兔子，求这个种群的稳定分布。兔子的繁殖 II 一对兔子每月可生一对幼兔，幼兔出生二个月后就具有繁殖能力，三个月后就离开群体。问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？假设：同上，4.第三个月生完一对幼兔后
14、就离开群体。参量、变量 月份:n,幼兔:a0(n),成兔:a1(n),老兔:a2(n)平衡关系 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。本月初的老兔是上月成兔发育的结果。模型 II a0(n+1)=a1(n)+a2(n)a1(n+1)=a0(n)a2(n+1)=a1(n)令 a(n)=(a0(n),a1(n),a2(n),则 a(n)=A a(n-1)模拟.a0(1)=1,a1(1)=0,a2(1)=0 6 7 8 9 10 11 12 2.关于 a(n+1)=a(n-1)+a(n-2)题.买房贷款：银行可以向购房人提供个人住房贷款的业务。偿还贷款时要求借款人在
15、借款=010001110A1.n 1 2 3 4 5 a0(n)1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 a1(n)0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 a2(n)0 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 a(n)1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 Padovan 数列(塑料数)Padovan 数列的讨论：证明 a(n+1)=a(n)+a(n-4)3确定种群的稳定分布。问期间内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。试组建计算月均还款额的数学模型。假设：1.逐月偿还贷款；2.每月还款金额相等；3.按月计算利息；4.每月月底还款。参量、变量 贷款额：
16、A(万元)，贷款期限：N 年(n=12N 月),月利率：r，行 器，而没有计时器。一盘标明30分钟的录音带从头转到尾，用时31分钟。.磁带盒内有二个磁带轮：送带轮和收带轮。放音时送带轮上的磁带减少，缠于收带轮上。.计数器记录了送带轮的转数(读数加快)。致，无空隙。数：n，带轮转数：k（=从外向里第k圈）,k，磁带最多圈数：N 平衡关系 磁带的时间等于磁带的长度与运行速度之商:t(k)=L(k)/v 设4，Rk=r+(N-k+1)d 又c2n d/v c2d/v 时间（分钟）15 20 25 30 31 t(n)=0.11095 n 7.4475 10 n 9 18 28 37 47 97 15
17、1 211 280 20 25 令Ck表示第k月月底还款后的欠款余额，记C0=A.第n月的月底欠款应全部偿还完毕,则有Cn=0。目标：求月均还款额：x。五初等模型 例1.录音机的运 录音机上有计数计时器读数从0变到382。在某一次使用中，计数器读数已达到190，问剩下的一段还能否录下15分钟的音乐。建模分析磁带录音机的运行规律，也就是求计数器的读数与运行时间的关系。背景 1 2.计数器只记录某个磁带轮转动的转动情况。计数器的读数不刚好是磁带轮的转数。3.磁带轮在放音时转动不是匀速的，送带轮加速，收带轮减速。4.通过磁头时，磁带匀速运行。假设 1 2.计数器的读数与送带轮的转数成正比。3.磁带运
18、行的线速度定常。4.磁带厚度均匀，缠绕松紧一 5.磁带缠绕一圈的周长等于缠绕的圆周长。参量、变量 计数器读 运行时间：t，磁带厚度：d，带芯轮半径：r，磁带速度：v,从外向里第 k 圈磁带的半径：R 从外向里第k圈磁带长度：Lk，最外k圈磁带总长度：L(k),目标：求运行时间t 与计数器读数n 之间的关系。运行k圈分析：t=0时n=0，送带轮缠满磁带并开始转动。由假设5，Lk=2Rk 由假 最外k 圈磁带总长度 L(k)=I=1k 2 r+(N-i+1)d=2kr+kNd-(1+2+(k-1)d=2kr+kNd-k(k-1)d/2=(2r+2Nd+d)k-k2d 由假设2,k=c n则有 t(
19、n)=c(2r+2Nd+d)n/v-2模型：t(n)=a n+b n2,其中 a=c(2r+2Nd+d)/v,b=-参数 a,b,c 的估计 数据：I.读数与t 1 2 3 4 5 10 n 9 18 28 37 47 97 151 211 280 362 382 385 用最小二乘法估计 a,b 得 a=0.11095，b=-7.744510-5 模型-52 检验 n t 0.99 1.97 3.05 4.00 5.04 10.03 14.99 19.96 24.99 t 1 2 3 4 5 10 15 于是当 n=190 时,t=18.28分钟。答案：剩下的录音带不够录下15分钟的音乐。进
20、一步：根据假设2：k=c n,利用数据II.读数与转数 计算得 N=3852.04=785,题一.根据录音机运行的数学模型及观测数据 I 给出模型参数最小二乘估计的正规方程组。截流从8：问题的内蕴的特征。量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量 例 1.建模描述单摆运动的规律 线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅(摆动角度）x.力。量纲量，t=T。方程，tc=(g/l)1/2 则=1,且模型简化为：摆的周期为 T0=2(l/g)1/2=2 tc。所以，tc表示，当以 2 为一个周期时，2 4 10 14 18 22 26 31 35 41 60 1 2 5 7 9 11 13 15
21、 17 20 29 可以给出参数 c 的最小二乘估计 c=2.04。又可测得 r=1.1 cm 由 a=c(2r+2Nd+d)/v,b=-c2d/v 可以求出 d=0.001628cm，v=2.75m/min,最后计算得到：L=2.75 31=85.25m。问问题二.在数据 I、II 的基础上，使用 MATLAB 给出录音机运行模型的数值分析。问题 三:1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况。55 开始，当时龙口水面宽 40m，水深 60m。到 11：50 时，播音员报告宽为 34。4m。到 13：00时，播音员又报告水面宽 31m。这时电视机旁的小明说，现在可以
22、估算下午几点合龙。从 8：55到 11：50，进展的速度为每小时宽度减少 1.9m。从 11：50 到 13：00，每小时宽度减少 2.9m。小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快 1m。从下午 1：00 起，大约要 5 个多小时，即到下午 6 点多才能合龙。但到了下午 3 点 28 分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好。现在请你根据上面的数据设计一种合理的估算方法（建立一种合理的数学模型）进行估算，使你的计算结果更切合实际。六.模型的无量纲化 六.模型的无量纲化 模型描述的是实际手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。机理模型的深入
23、探讨应该排除量纲的影响。对模型进行无量纲化，使用无量纲量来描述客观规律，同时可以简化模型。假设：同前。变量、参量：摆 平衡关系（牛顿定律）：受力物体运动的加速度与其质量的乘积=物体所受的外 (只考虑切线方向的运动)m l d2x/dt2=-mg sin（x）模型：0sin2=+xldt2gxd其中 x 是无模型的无量纲化模型的无量纲化：令=t/tc,带入0sin22=+xtldc2gxd 取0sin2=+xd2xd对较小的 x,单单摆摆动单位弧度所需的时间。称tc为特征时间特征时间。无量纲量 =t/tc 是以特征时间为单位的时间计量。例 2.抛射问题：从地球表面以初速度 v 竖直向上发射火箭。
24、讨论火箭发射的高度随时间变化球是球体。服地球的引力。下将具有自由下落的加速度 g。力加速度：g，衡关系:(万有引力定律)使火箭升空的作用力等于它所受的吸引力的反号，由假设 3,y g=k m2/r2.1.令=yc/tc2g=v v2 2/rg,/rg,tc=(r/g)1/2,令=vtc/yc=v2/rg =v/g,yc=v2/g,令=yc/r=v2/rg=T=t,因此模型中所有的量都是无量纲量。量纲化模型的分析 的半径 r=6370 千米，r g=62426000(m/s)2,2,无解。模型而得到的近似解。tc，yc 选择得当。)的结.拟合模型与机理模型 模型 机理模型 的规律。假设：1.地
25、2.火箭升空只需克 3.火箭在地球的表面附近在引力作用变量、参量:时间：t，火箭的高度：y(t),地球半径：r,初速度：v，重 地球质量：m1,火箭质量：m2.平m1y=-k m1m2/(y+r)2。=0 时,y=-g。故有模型模型:y=-r2 g/(y+r)2,y(0)=0,y(0)=v.模型的无量纲化:令 t*=t/tc，y*=y/yc 则模型就可以化为:cccccyvtyyyryygty=+=)0(,0)0(,1)(2*2 令 yc/r=1,vtc/yc=1,则有yc=r,tc=r/v,模型简化为,1)0(,0)0(,*2*=yy 1+=yy2.令 yc/r=1,tc2g/yc =1,则
26、有yc=r模型简化为,=)0(,0)0(,*2*yy+=1yy3.令 tc2g/yc=1,vtc/yc=1,则有tc模型简化为,1*+=yy1)0(,0)0(,*2=yy这些模型是简单的，而且yc=L=y,tc 无1.模型的近似解.地球火箭的速度 v(rg)1/2=7901m/s,故1.取 =0，模型简化 1简化 3 为 y*=-1，y*（0）=0，y*（0）=1。有解 y*=-1/2 t*2+t*，即 y(t)=-1/2 g t2+v t 它满足 y=-g，y(0)=0,y(0)=v。刚好是当高度 yr 时，在原方程中舍去含 项2.特征时间和特征距离.由模型简化 3 可以得到近似解，关键在于由物理学可知，当初速度 v较小时，火箭在定常力引力 mg 作用下到达最高点 v2/(2g时间为v/g，所以称 t c=v/g，yc=v2/g 为特征时间和特征距离，无量纲量t*=t/tc，y*=y/yc大体上具有单位尺度。总 拟合 假设条件 弱 强 机理分析 少 多 拟合效果 好 差 普适范围 小 大 理论深度 浅 深 问题：P85-86：5