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1、水水 利利 学学 报报 2005 年 9 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 9 期 1文章编号:0559-9350(2005)09-1077-06 粘弹性文克尔地基矩形板的稳态动力响应分析 颜可珍1，夏唐代2(1.湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082；2.浙江大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310027)摘要摘要:本文研究了粘弹性地基上矩形板在受到运动常值荷载和运动谐和荷载作用下的动态响应问题，得到了薄板的动力响应的解析表达式，计算和分析了板的固有频率和临界速度。通过算例深入分析了荷载运动速度和频率及地基参数等对板的动态挠度影响的规律。结果表明，荷载运动速度、频率和
2、地基刚度对板挠度的影响较大。关键词:关键词:运动荷载；矩形板；谐和荷载；文克尔地基 中图分类号中图分类号:O326 文献标识码文献标识码:A 运动荷载作用下弹性地基板的动力反应研究是非常重要的课题。因为道路和机场跑道等结构物的力学模型通常为弹性地基梁、板模型，弹性地基上梁的动力反应已被广泛重视。如Fryba1、Steele2、孙璐3和Thambiratnam4等对该问题都进行了深入的研究；Vallabhanl5、Saha6和Matsunaga7等研究了弹性地基板的静态问题或自由振动问题，但对弹性板的动力响应分析相对不足；张英世8,9分析了文克尔地基上矩形薄板的自由振动和强迫振动问题；孙璐10,
3、11求得了常幅运动荷载下弹性和粘弹性地基无限大板的动力响应的积分解；郑小平和王尚文12得到了常幅运动负荷下四边自由矩形板的近似解；侯芸等13用有限元法分析了移动常幅荷载下文克尔地基板的动力响应问题；Huang和Thambiratnam14用有限条法分析了同样的问题。实际道路上行驶的车辆，由于道路不平及车辆自身产生振动，路面受到的车辆荷载随时间和空间变化。以往的研究均基于常幅荷载，不能真实反应荷载的动力特性，因而研究谐和运动荷载下的路面的动力响应显得非常必要。本文基于弹性地基的薄板理论，推导运动谐和荷载下粘弹性地基矩形板的动力响应的解析解，分析板的临界速度和固有频率，通过数值计算，求得板的动力响
4、应曲线，并和文献12进行对比，最后探讨荷载运动速度、频率和地基刚度及阻尼系数等参数对动力响应的影响。1 基本控制方程11),(),(2222tyxqkwtwctwhtyxwD=+(1)式中：22222yx+=为Laplace算子；k、c分别表示地基的弹性系数和阻尼系数；D=Eh3/12(1-2)为板 收稿日期:2004-09-28 作者简介：颜可珍(1975-)，湖南桃江人，博士，讲师，主要从事岩土与道路工程方面的研究。E-mail： 水水 利利 学学 报报 2005 年 9 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 9 期 2的抗弯刚度；、h、E和分别为板的材料密度、板厚、弹性模量和
5、泊松比；w(x,y,t)为板的挠度；q(x,y,t)为荷载，交通荷载可以通过Fourier变换，表示为一系列的简谐振动荷载之和，本文主要分析单一频率振动的荷载。假定荷载的振动频率为，以速度v沿直线y=d向x正方向运动，则荷载函数可表示为 q(x,y,t)=Peit(x-vt)(y-d)(2)对于四边简支的矩形板，其边界条件可表示为=byyytyxwtyxwaxxxtyxwtyxw和和00/),(),(00/),(),(2222(3)式中：P为荷载的幅值；a为板长，b为板的宽度。初始条件可表示为 0,0,0),(=ttwtyxw()另外，本文为了研究简便，假定板足够长，并只讨论荷载在板内运动的情
6、况。2 方程求解 根据边界条件式(3)，选取板的动挠度的振型函数为=11sinsin)(),(mnnmmnytTtyxw(5)式中：bnamnm=;。式(5)能满足边界条件式(3)。将荷载q(x,y,t)表示为=11sinsin)(),(mnnmmnyxtFtyxq(6)式中：dvtabPeydxdyxtyxqabtFnmtianbmmnsinsin4sinsin),(4)(00=。将式(5)、式(6)代入式(1)，并根据振型函数的正交性，可得 水水 利利 学学 报报 2005 年 9 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 9 期 3dvtehabPTBtTAtTnmtimnmnm
7、nsinsin4)(2)(2=+(7)式中：)/2(;2/2242DkhDBhcAnmm+=。方程(7)的解由齐通解和非齐特解两部分组成，该方程其通解可写为 trmntrmnmneCeCtT2121)(+=(8)式中：222,1BAAr=;C1mn、C2mn为系数，可由板的边界条件求得。令方程(7)的特解为 vtDvtDtTmmnmmnmnsincos)(21*+=(9)将式(9)代入方程(7)，求解可得)2)()2)()(2sin4221+=vAivBviAvBiAvhabdPeDmmmmmntimn(10a)2)()2)(2sin42222222+=vAivBviAvBvivBhabdPe
8、Dmmmmmmntimn (10b)再依据初始条件式(4)可求得 212211rrvDrDCmmnmnmn=(11a)211121rrrDvDCmnmmnmn=(11)将式(8)、式(9)、式(11)代入式(5)，并取实部，可求得板的挠度 vtDvtDyxrreevDrrererDtyxwmnmnmmnmnnmtrtrmmntrtrmnsincossinsin),(2111122122112112+=(12)式(12)给出了粘弹性地基上四边简支矩形板在运动谐和荷载作用下的动态响应的解析解。令式(12)中=0，便可得到简单的运动常值荷载作用时板的响应的解。当c=0，k=0，=0便于退化为水水 利
9、利 学学 报报 2005 年 9 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 9 期 4四边简支矩形板无阻尼振动的解 yxBtBvvtvBhabPtyxwnmmnmmmsinsinsinsin14),(11222=(13)式(13)和Fryba给出的结果1完全一致，从而验证了本文解的正确性及一般性。3 自振频率及临界速度 当运动荷载驶离路面板后，板的运动状态将变为自由振动。为了进一步求得板的自振频率和临界速度，令式(7)符号右边为零，即可求得板的各阶自振频率为 L3,2,1,/24224=+=nmDkMDnnmmmn(14)再根据式(6)可知，其各阶频率为mv,所以板的临界速度为/214
10、224DkMDvnnmmmmn+=(15)4 数值算例及参数影响分析 文献12采用飞机作为荷载，对机场道面进行了动态测试，得到了道面在不同时刻的响应曲线。为了便于与实测比较，本文采用文献12中机场道面参数进行计算和分析。具体参数如下：a=6m，b=4m，M=552.03kg/m2，E=3.43 1010MPa，h=0.24m，=0.167,k=42.37Mpa/m，c=29.410kPa/ms。把各参数代入式(12)，可求得板的挠度。理论计算和实测结果如图1所示。图1表示了荷载速度为22.22m/s，在0.158s时刻板的挠度曲线。由图1可见，除了在板的末端有一定的误图1 板的挠度响应 差外，
11、理论计算结果与现场实测结果吻合较好，能够满足工程实际的要求。由于本文假设为简支边界条件，因而板的末端挠度为零，在其他区域都能很好地模拟路面的挠度。4.1 固有频率和临界速度4.1 固有频率和临界速度 根据式(14)和式(15)并结合以上参数可以求得板的固有频率和临界速度，计算结果如表1。表 1 板 的 固 有 频 率 和 临 界 速 度 表 1 板 的 固 有 频 率 和 临 界 速 度 m,n 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 mn/(rad/s)vmn/(m/s)368.60 703.98 794.30 1516.95 1605.193065.6854
12、1.85517.431006.36961.001825.40174.13881.90 561.50 1367.70 870.70 2193.80 1396.60 水水 利利 学学 报报 2005 年 9 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 9 期 5 由表1可以看出，板的最小固有频率为368.6rad/s，最小临界速度为517.43m/s，远远超过运动载荷的实际速度，因此，在路面动力学分析中，可以不考虑系统的共振现象。另外，将本文计算结果表1与文献12中表1比较可知，两者差别很大，主要原因是文献12中的边界条件为自由边界条件，计算时采用梁函数得到的近似结果。从式(14)和式(15
13、)可能看出，临界速度和固有频率大小与板的尺寸、模量及地基刚度等有密切关系。4.2 运动 常值荷载 时板的挠 度4.2 运动 常值荷载 时板的挠 度 荷载运动速度对路面结构动态挠度的影响情况非常复杂，长期以来众多学者对该问题进行了研究，但一直都没有得到统一的结论，本文针对不同地基情况进行讨论。图2为不考虑地基阻尼时，荷载分别以10m/s和50m/s的速度经过时板的挠度响应曲线，板的长度假设为20m。从图2可以看出，在荷载速度为10m/s时，除荷载位于板的两端以外，其他位置板的挠度基本相同，随着荷载速度增大，板的挠度大小波动变化。图3为荷载速度为40m/s时，通过不同阻尼地基时板的挠度曲线。当考虑
14、地基的阻尼效应时，挠度的波动效应明显消失，荷载作用不同位置时，板的最大挠度基本相等。图4和图5分别为地基刚度k=0.43Mpa/m和k=4.3Mpa/m时，荷载作用于板中心时，板的最大挠度与荷载速度的关系曲线。从图上可以看出，速度对板的最大挠度影响很复杂，当地基为弹性地基时，板的最大挠度随移动速度的增加呈波动变化形式，且地基刚度越小，荷载速度的影响越为显著，文献13也得到了类似的结论。当地基为粘弹性且地基阻尼很小时，板的最大挠度随荷载速度的增大而增大，而在地基阻尼较大时，最大挠度也因地基的不同而不同；地基刚度较小时，挠度随荷载速度的增大而减小，但当刚度很大时，板的挠度先随荷载速度的增大而减小，
15、荷载速度达到一定值后，板的挠度随荷载速度的增大而增大。因此，在分析荷载运动速度对路面等结构的动态影响时，应根据地基的具体情况对速度分区间来分析。图2 不同荷载速度下板的挠度曲线(c=0)图3 不同地基阻尼下板的挠度曲线(v=40m/s)图4 速度与板最大挠度的关系(k=0.43Mpa/m)图5 速度与板最大挠度的关系(k=4.3Mpa/m)水水 利利 学学 报报 2005 年 9 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 9 期 6 地基参数也是影响板挠度的重要因素，图6为荷载以速度v=10m/s通过板面时，不同地基刚度下板的挠度曲线。由图6可见，地基刚度对板的挠度影响非常显著，随着刚
16、度的增加，板的挠度明显减小。因此，在路面设计中适当提高地基的弹性系数可以有效的减小汽车等运动荷载作用下路面结构的变形。4.3 运动谐和荷载时板的挠度4.3 运动谐和荷载时板的挠度 图7和图8表示频率分别为10rad/s和20rad/s的荷载以速度20m/s通过板时板的挠度曲线。从图2、图3和图7、图8比图6 地基刚度对板挠度的影响(v=10m/s)较发现，当荷载为谐和运动荷载时，板的挠度大小以一定的周期波动，与常幅荷载作用于板时完全不同，挠度大小的波动间隔与荷载频率大小有关，随频率的增大，这种现象越发显著。图9为荷载运动速度10m/s时板的最大挠度与荷载频率关系的变化曲线。当地基为弹性地基时，
17、板的最大挠度随荷载频率的增大而增大，而当考虑地基的阻尼效应时，板的挠度随荷载频率的增大而减小。图10表示地基刚度为4.3107Pa/m、荷载频率为10rad/s时，板中心挠度随速度变化的曲线。从图10可以看出，荷载速度对板挠度的影响与常幅运动荷载作用于板时的影响大致相同。对于弹性地基，板的挠度随荷载速度的增加呈波动变化，图11和图12为地基刚度分别为0.1MPa/m和100MPa/m时，板的挠度与荷载速度的关系曲线。当地基刚度较小，且阻尼也很小时，板的挠度随荷载速度的增加而增加，而在地基阻尼较大时，板的挠度随荷载速度的增加反而减小。当地基刚度很大时，板挠度随荷载速度的增大而增大，但这种影响非常
18、小。图7 板的挠度曲线(=10rad/s)图8 板的挠度曲线(=20rad/s)图9 荷载频率与板挠度的关系(v=10m/s)图10 荷载速度与板挠度的关系(=10rad/s)水水 利利 学学 报报 2005 年 9 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 9 期 7 图11 荷载速度与板挠度的关系(k=0.1Mpa/m)图12 荷载速度与板挠度的关系(k=100Mpa/m)5 结论 本文根据弹性地基薄板理论，求得了粘弹性地基上矩形板在受到运动常幅荷载和变幅荷载作用时挠度的解析解，并得到了板的自振频率和临界速度。通过理论计算并与实际测试比较，本文解能很好地模拟机场和路面在运动荷载作用
19、时的动态挠度。最后，通过数值算例讨论了荷载速度、频率等对板挠度的影响，得到以下结论：(1)板的临界速度和固有频率不仅与板的尺寸、弹性模量有关，还与地基刚度及板的边界条件有关；(2)荷载速度对板的挠度影响非常复杂，且与地基的粘弹性、刚度有密切关系，不同类型地基时速度对板挠度的影响不同，在分析荷载移动速度对路面、机场等结构动态挠度的影响时，应根据地基和速度的具体情况进行讨论；(3)地基刚度对板挠度的影响也很大。地基刚度较小时，板的临界速度也小，荷载在板上运动时，板的挠度区域很大；随着地基刚度的增大，板的挠度明显减小，板的变形面积也变小。因此，在实际工程中适当提高结构层的弹性模量可以有效的减少运动荷
20、载对路面的破坏作用；(4)板受到谐和运动荷载作用时，荷载速度和频率对板挠度影响很大。在达到临界频率之前，当地基为弹性地基时，板的最大挠度随频率的增大而增大，而当地基为粘弹性地基时，板挠度随频率的增大而减小。荷载速度对板挠度的影响情况也非常复杂，在分析时应该根据具体的地基来讨论。参考文献参考文献:1 Fryba L.Vibration of Solids and Structures under Moving Loads M.Noorahoff Intemational Publishcing,1971.214-233.2 Steele C R.The finite beam with a mo
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22、for analysis of plates on elastic foundations J.J.Eng.Mech.,1991,117(12):2830-2844.6 Saha K N.Dynamic stability of a rectangular plate on nonhomogeneous Winkler foundation J.Comput.Struct.,1997,63(6):1213-1222.7 Matsunage H.Vibration and stability of thick plates on elastic foundations J.J.Eng.Mech.
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25、undation to moving harmonic load YAN Ke-zhen1,XIA Tang-dai2(1.Hunan University,Changsha 410082,China;2.Zhejiang University,Hangzhou 310027,China)Abstract:Dynamic response of rectangular plates on viscous Winkler foundation subject to constant amplitude or harmonic moving loads was investigated and t
26、he analytical solution was obtained.The solution is used to solve the problem of dynamic response of airport and pavement.The numerical results are in good agreement with field measurements.Natural frequency and cirtical moving velocity of the plate are calculated.The analysis of an example shows that the velocity and frequency of the moving load and the stiffness of foundation may significantly affect the dynamic response of the plates.Key words:moving load;rectangular plate;harmonic load;dynamic response;Winkler foundation(责任编辑：韩昆)