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1、2 0 1 0年第 1期 第 3 1 卷 黄金 GoLD 基 于 A R MAG A R C H模型 的黄金价格实证分析 潘贵豪，胡乃联，刘焕中 ，李国清(1 北京科技大学土木与环境工程学院；2 首钢矿业公司)摘要：研究黄金价格的动态演变过程至关重要。文中以1 9 7 1 年 1月至2 0 0 8年 1 2月期间的伦 敦黄金 交 易市场下午定盘价格 为基础，利用 时间序列的相 关理论，建立 了黄金价格 的 A R MA G A R C H模型，并对 2 0 0 8年数据进行 了实证分析，其结果非常接近。利用该模型可动态刻画黄金价 格数据的生成过程，也可帮助黄金产品投资者和生产者做出更加灵活、科
2、学的决策。失键词：黄金价格；A R C H效应；时间序列；实证分析 中图分类号：F 8 3 0 9 4 文献标识码：B 文章编号：1 0 0 1 1 2 7 7(2 0 1 0)0 l一 0 0 0 5 0 4 0 引言 1 A R MAG A R C H模型 的解释 黄金作为一种具有金融属性 的产品，其价格变化 直接决定了黄金投资者和生产者的价值行为。同时，黄金价格的动态演变过程也是金融市场 中经济行为 主体投资决策过程的反映。对黄金价格的动态演变 过程的刻画本质上就是数据生成过程的搜索。从 黄 金价格数据生成过程中，发现经济运行的内在规律或 检验已有的经济理论、解释公认的经济现象，具有重
3、要的理论意义，也有助于黄金投资者与生产者了解黄 金市场的特点，预测黄金市场的行情，并为他们的决 策提供帮助。影响黄金价格 因素是多方 面的，如产品经营成 本、黄金供求关系、石油价格、美元汇率、通货膨胀、股 票价格、利率政策、国际政治局势等，同时这些因素往 往是相互作用或发生连锁反应对黄金价格产生重要 影响I 2 J。因此，黄金价格 的生成过程涉及到很多 因 素，属于复杂的系统，是一个非线性问题。国内外学 者对黄金价格趋势研究 的文献很多，如供需法、美元 法、成本法、回归模型法等，但均有一定的局限性。时间序列方法是通过时间序列的历史数据揭示 现象随时间变化的规 律，并对这种规律延伸到未来，从而对
4、该现象的未来做出预测，如移动平均法、指数 平滑法、趋势外推法、自适应过滤法和博克斯 一詹 金 斯法等 J。但是，黄金价格的时间序列是非常复杂 的非平稳序列，尽管一些专家提出了有关的数据生成 理论和模型，但由于现实系统 的复杂性，在数据生成 过程中如何正确选择模 型是非常困难的。笔者将利 用 时 间序 列 相 关 理 论 建 立 黄金 价格 的 A R MA G A R C H模型，并进行实证分析。在一般的计量 回归模型中，一个重要的假设条件 是回归模型中残差 的同方差性。它保证 了回归系数 的无偏性、有效性与一致性；然而，当回归残差的方差 不能够保证同方差，即产生异方差时，回归估计系数 的有效
5、性与一致性则无法保证，从而导致回归系数估 计的偏差。在实际的金融时间序列 中，数据大都具有“尖峰厚尾”、波 动集 聚性 与爆发性 等特征。根据金 融时间序列 的这些特性，为 了应对这种情况，美 国经 济学家 R o b e F E n g l e于 1 9 8 2年首次提出了 A R C H 模型；它具有 良好的特性，即持续 的方差和处理厚尾 的能力，能较好地描述金融序列的波动特征l 6 一 。1 1 A R MA模型 一般来说，一个变量的现在取值，不仅受其本身 过去值的影响，而且也受现在和过去各种随机因素冲 击的影响。因此，可建立其数据生成模型为：Y =5 o+al Y 一 1+a 2 y
6、c 一 2+n p Y t p+f+卢 l I 一 1+卢 q 一 q (1)式中：p和 g为模型的 自回归阶数和移动平均阶数；口 和 为不为零的待定系数；“为独立的误差项；y 为 平稳、正态、零均值 的时间序列。如果该模型的特征根都在单位圆外，则该模型就 称为 A R MA(P，q)模型。1 2 G A R C H(P，q)模型 若随机变量 Y 可以表示为如下形式：Y =0 0+5 1 Y 一 1+a 2 y 一 2+a p y t 一。+t (2)=+1 21+2 22+g 2一q (3)式中：为条件方差；为待定系数；其它参数同上。收稿 日期：2 0 0 90 92 1 基金项 目：国家科
7、技支撑计划项 目(2 0 0 6 B A B 0 8 B 0 1)作者简介：潘贵豪(1 9 8 l 一)，男，河北邢 台人，博士研究生，主要从 事矿业技术经济、系统工程的研究；北京市海淀区学院路 3 O号，北京科技 大学 土 木与环境工程学 院资 源工程 系9 0 1室，1 0 0 0 8 3 黄金 称“服 从 q阶 的 A R C H 过 程，记 作 一 A R C H(q)。其中，(2)式称作均值方程，(3)式称作 A R C H方程。A R C H(g)模型是关于 o r 的分布滞后 模型。为避免 u 的滞后项过多，可采用加入 o r 滞后 项的方法。对于(3)式，可给出如下形式：=0+
8、1 2l+A 1 一 1(4)式中：A为待定系数。该模型称 为广 义 自回归 条件 异 方差 模 型，用 G A R C H(1，1)表示。其中，g t-1 称为 A R C H项；一。称为 G A R C H项。(4)式应满足的条件为：00，l I 0，Al I 0。2 A R MAG A R C H模型建立与实证分析 2 1 建立 A R MAG A R C H模型步骤 建立黄金价格 A R M A G A R C H模型通常包括 5 个步骤，即序列平稳性验证、模型识别及参数估计、异 方差效应检验、建立 A R MAG A R C H模 型及参数估 计、模型诊断与实证分析。建立模型过程见图
9、 1。不 存 在 不 准 确 不 准 确 图 1 A R M A G A R C H模型建立步骤示意图 2 2 数据采集 笔者所选取的样本数据为伦敦黄金交易市场下 午定盘价格(用 P表示，单位为美 盎司)，时间跨 度为 1 9 7 1 年 1月至 2 0 0 8年 l 2月，共计 4 5 6个数据，利用计量分析软件 E v ie w s 6 0完成。2 3 平稳性检验及数据处理 通过黄金价格时间序列(见图 2)可以看 出，历年 的黄金价格有异常值并且结构发生了突变；相关统计 特征显示黄金价格序列存在右偏和尖峰现象(相对 于标准正态分布)，呈现“尖峰厚尾”特征。同时 检验也说明黄金价格序列不服从
10、正态分布。再者，从 黄金价格 自相关及偏相关(见图 3)中，可初步判断黄 金价格为结构发生突变的非平稳时间序列。窿 稍 l R 、瓣 峨 图 2 黄金价格序 列 O 自相关C A c)图偏自相-0 A C)I t l AC P AC 统计量 概率 l _ l I 2 O 9 5 8-0 0 1 7 g 6 1 6 5 0 o o 0 I 一 I l 3 n 9 3 6-00 0 7 l 2 6 5 9 o 0 0 0 0 I I 4 O 9 l 4-o 0 3 8 l 6 5 2 0 o O 伽 O I 一 I 5 o 8 9 o_ o 0 5 3 20 1 5 8 0 0 O o o l 一
11、 _ I 6 0 8 6 1-0 1 2 9 2 3 6 3 0 0 仉O 0 o I I lI 7 0 8 3 4 O 8 2 6 8 6 6 o n0 0 O I l l 8 8 0 7-0 0 1 7 29 0 o n 加 I I l 9 7 7 8-0 0 5 7 3 2 7 2 S O n0 0 0 l _ I I l O 7 4 6-0 o 7 8 3 5 3 2 8 0 no o O I 一 l l I l 7 1 6 0 0 4 7 37 7 3 30 0 o o 0 一|_ I l 2 6 8 6-0 0 3 2 39 9 4 6 0 0-咖 图 3 黄金价格 自相关及偏相关
12、 为了检验数据是否适合建立时间序列模型，现对 数据做平稳性检验即单位根检验，检验模型方法为最 x-乘估计。对黄金价格 P做 3次单位根检验，分 别是带趋势项和漂移项、仅带漂移项、无趋势项和无 漂移项，3种检验结果见表 1。其检验结果均清楚显 示黄金价格序列存在单位根，为非平稳时间序列。表 1 黄金价格单位根检验结果 注：A D F 是检验序列是否具有单位根；A I C为赤池信息量准则，S I C为 施瓦兹 准则，二者均是用来确定不同 模型的 合理滞后期长度，即用来定阶的；D 用于 检验随机误差项是否具有一阶自回归形式的序列相关问题。2 0 1 0年第 1 期 第 3 l卷 因此，笔者对黄金价格
13、时间序列取 自然对数，再 对其进行单位根检验。从检验结果可以看 出，只有带 漂移项 的检验式才能通过 t 检验。相应的检验式为：l n(P )=0 0 7 6 0 0 0 1 2 3 6 1 n(P c _ 1)+0 3 0 3 3 A l n(P )一 0 1 3 5 3 A l n(P c _ 2)。经检验，A D F=一 3 2 5 5 8，小于不 同检验方法的 临界值，所以自然对数的黄金价格序列是一个带有漂 移项的平稳序列。2 4 模型识别及参数估计 A R MA模型的定阶从两方面考虑：一是考虑模 型 的数据特征，即 自相关 函数 和偏 自相关函数；二是 考 虑模型定阶准则 A I C
14、和 S I C。根据 1 n(P)的 自相 关 图，可 初 步 选 定 A R MA (1，0)、A R M A(1，1)、A R MA(2，0)、A R MA(2，1)4 个模型。具体哪个 A R M A模型更加合适，需采用一 定的定阶准则。常用 的定 阶准则有 A I C准则和 S I C 准则，建模时应选取使准则函数最小的模型。通过综合 比较各模型的判定指标(见表 2)，可以 判断模型 A R M A(1，1)的A I C数值和 S I C数值最小，初步选定该模型。其参数估计采用非线性最小二乘 法，利用 E v i e w s 软件完成。A R MA(1，1)模型对应 的 数学表达式为：
15、l n(P )=6 1 6 8+0 9 8 5 1 n(P 一 1)+u +0 3 3 4 u 一 1。从结果可以看出，各参数均通过 t 检验，方程特 征根的倒数均在单位 圆内，即特征根均在单位 圆外，满足平稳性要求。表2 A R M A(p。q)模型的相关判定指标 2 5 A R C H检验 在分析金融数据中，条件异方差的忽略可能导致 参数估计失去渐进有效性和 A R M A模 型的过度参数 化，还 可 能 引 起 传 统 检 验 的 过 度 拒 绝。根 据 A R MA(1，1)模型可绘制其残差，见图 4。可 以发现 波动的“成群”现象：波动 在一段时期 内非 常小(如 1 9 9 5年)
16、，在其他一段时期 内非常大(如 1 9 8 0年 1 9 9 9年)。这说 明 A R MA(1，1)模型 的误差项可能 具有条件异方差性。借助 E v i e w s 软件，可得出自回归条件异方差的 m 检验式为：=0 0 01 8+0 2 5 6 6 1 t 检验(5 3 1 9)(5 6 5 2)O 图 4 I 的 A R M A(i，1)模型 残差 年 份 检验 的统 计 量 L M=T R =4 5 20 0 6 5 7=2 9 6 9 6 0 5 =3 8 4。其 中，为样本容量；R 为 判定系数。F=31 7 7Fo o 5(14 5 0)3 8 4o A R C H L M检验
17、式的系数均能够通过 t 检验，且 豫 及 F均大 于对应 检验值，说 明检 验式 成立，即 A R MA(1，1)模 型的残差存在 自回归条件异方差。2 6 A R MAG A R C H模型建立 检验结果证明，A R M A(1，1)模型的残差存在 自 回归条件异方差，则应该在 A R M A(1，1)均值方程基 础上建立 A R C H模型。为确定 A R C H阶数需多次尝 试，最终确定 A R C H模型为 4阶。因为滞后期很长，在此 考 虑加 入 G A R C H模 型，进 一 步 采用 G A R C H (1，1)模型，数学表达式如下。均值方程：I n(P )=5 9 8 4+
18、0 9 8 8 1 n(P 一 1)+0 2 7 9 u 一 l t 检验(2 8 3 1)(3 4 6 4 2)(5 2 2)G A R C H(1，1)方程：=6 3 3 X 1 0 +0 1 7 4 妊 l+o 8 1 6&一 l t 检验(2 9 5)(6 0 5)(3 O 3 5)判定 系 数：R =0 9 9 3 7，F=1 4 1 8 7，A I C=一3 4 8，s，C=一3 4 2，DW=1 9 3。方差方程中的 A R C H项和 G A R C H项的系数都 是统计显著 的，并且 A I C和 S I C值都变小了，模型对 应 的残 差 平 方 序 列 的滞 后 1 2期
19、 的 Q 统计 量 为 2 4 0 6，相应的概率值为 0 7；再次做 自回归条件异 方差的 1 3 1 检验，结果显示 豫 及 F均小于对应检验 值。这些充分说明均值方程在配有 G A R C H(1，1)模 型后，已消除了 A R MA(1，1)模型残差序列中的自回 归条件异方差成分。该模型能够更好 的拟合数据。2 7实证分析 结 合 预 测 理 论 及 相 应 软 件 工 具，利 用 A R MA(1，1)一G A R C H(1，1)模 型对 2 0 0 8年 1 一l 2 月的黄金价格进行验证，结果见表 3。单月的最高误 差在 1 2 9，1 2 个月的平均误差为 5 4。从黄金 黄
20、金 价格历年的变化趋势看，预测结果误差在可接受的范 围内，对黄金投资者或生产者有一定 的借鉴作用。表 3 2 0 0 8年黄金价格 实证分析 3 结语(1)本文通过对黄金价格 A R M A(1，1)模型的残 差序列进行 A R C H一 检验，发现了黄金价格存 在 明显的 自回归条件异方差效应。(2)利 用 时 间 序 列 相 关 理 论，建 立 了 A R M A(1，1)一G A R C H(1，1)模 型。通过对 2 0 0 8年 实证分析可知，该模型可准确地动态刻画黄金价格数 据的生成过程，平均误差很小。(3)该模型验证结果有助于黄金投资者与生产 者了解黄金市场的特点，预测黄金市场的
21、行情，并为 他们的决策提供帮助。参考文献 1 E r i c J L e v i n，R o b e r t E Wri g h t S h o rt r u n a n d L o n g n l n D e t e r m i n a n t s o f t h e P r i c e o f G o l d R T h e Wo r l d G o l d C o u n c i l 2 0 0 6 范思琦，孙黎，白岩 影响黄金价格因素及应对策略 J 黄金，2 0 0 8，2 7(1 2)：81 1 胡乃联，宋鑫 白适应过滤模型在黄金价格预测 中的应用 J 黄金，1 9 9 9，2 0(
22、5)：5 35 4 陈杨林，向东进基 于波动率模型的世界黄金价格实证分 析 J 决策与信息，2 0 0 8(9)：2 62 7 贾新 宇，谢家智 上海黄金 市场价格 波动特征 的实证研究 J 金融经济，2 0 0 8(8)：9 79 8 靳云汇，金赛男 高级计量经济学 M 北京：北京大学出版社，2 0 0 7 易丹辉 数据分析与E V I E WS 应用 M 第二版 北京：中国人民 大学 出版社，2 0 0 8 Emp i r i c a l a na l y s i s o f g o l d pr i c e b a s e d o n ARM A-GARCH mo de l P a n
23、Gu i h a o。，Hu Na i l i a n ，L i u Hu a n z h o n g ，Li Gu o q i n g(1 S c h o o l o f C i v i l a n d E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g，U n i v e r s i t y ofS c ie n c e&T e c h n o l o g y B e i i n g；2 Mi n i n g C o o f C a p i t a l S t e e 1)Ab s t r a c t：S t u d y i n g t h e
24、d y n a mi c e v o l u t i o n o f g o l d p ric e i s s i g n i fi c a n t T h e ARMA GARCH mo d e l o f g o l d p ric e i s p r e s e n t e d b y t i me s e r i e s t h e o r y，b a s e d o n t h e a f t e r n o o n fi x i n g p ri c e o f I _ o n d o n g o l d ma r k e t d u ri n g 1 9 7 1-012 0 0
25、 8-1 2 Th e g o l d pric e da t a o f 2 0 08 i s e mp i ric a l l y a n a l y z e d，a n d t h e r e s u l t s are v e ry a p p r o p ria t eTh i s mo de l c a n b e t a k e n a d v a n t a g e t o d e s c rib e t h e p r o d uc t i o n p r o c e s s o f g o l d p ric e d y n a mi c a l l yAn d i t S
26、 h e l p f u l t o f o r g o l d p r o d u c t s a n d i n v e s t o r s t o ma k e mo r e fl e x i b l e a n d s c i e n t i fi c d e c i s i o n-ma k i n g K e y w o r d s：g o l d p ri c e；A R C H e f f e c t；t i me s e ri e s；e mp i ri c a l a n al y s i s (编辑：赵玉娥)征 订 启 事 黄金 杂志社现有部分过刊，订阅者可来电来函联系。
27、年 份 刊 期 每期定价(含邮费)l 9 8 0 1 9 8 3 季刊 7 0 0元 1 9 8 4-1 9 8 8 双月刊 7 0 0元 1 9 8 9-2 0 0 3 月 刊 7 0 0元 2 0 0 4 _ 2 0 0 8 月 刊 1 0 O 0元 2 0 0 9 月 刊 1 5 0 0元 地址：长春市南湖大路6 7 6 0 号 黄金 杂志社发行部 邮编：1 3 0 0 1 2 联系人：李跃辉 联系电话：0 4 3 1 8 5 5 1 4 5 8 6 3 0 6 8 传真：0 4 3 1 8 5 5 2 1 8 6 1 E m a i l：g g b 3 0 6 8 1 2 6 c o m