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1、收稿日期:1996205216数学建模的层次分析法陈义华(甘肃工业大学技术工程学院,兰州730050)摘要阐述了数学建模层次分析法的基本思想、方法和核心问题,运用层次分析法建立数学模型的一般步骤和计算方法,并通过实例分析,说明了层次分析法在决策中的有效性.关键词数学模型层次分析法决策分析排序数学建模竞赛分类号O 157.5层次分析法(TheA nalytic H ierarchy Process,简称AHP)是美国著名运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Saaty于70年代中期提出的一种系统分析方法,是一种实用的多准则决策方法.该法能够定量与定性相结合,将人的主观判断用数量形式表达和处理,从本质上
2、讲是一种思维方式,并具有高度的逻辑性、系统性、简洁性和实用性等优点.AHP在工程技术、能源系统分析、经济管理、城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用.本文阐述了AHP的基本思想和步骤、计算问题,针对天车与冶炼炉的作业调度问题,利用AHP对天车台数进行了最优方案的选择.1AHP建模的基本思想和步骤13AHP的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次结构,通过两两比较因素(或目标、准则、方案)的相对重要性,给出相应的比例标度;构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵,以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列.AHP的核心问题是排序问题,包括递阶层次结构原理、标度
3、原理和排序原理.运用AHP解决实际问题,大体可以分为4个基本步骤.1)建立递阶层次结构模型将问题所包含的因素按属性不同而分层,可以划分为最高层、中间层和最低层.同一层次元素作为准则,对下一层次的某些元素起支配作用,同时它又受上一层次元素的支配,这种从上至下的支配关系形成一个递阶层次.最高层通常只有一个元素,它是问题的预定目标,表示解决问题的目的,因此也称目标层.中间层为实现总目标而采取的措施、方案和政策,它可以由若干个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则,因此也称为准则层.最低层为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,用于解决问题的各种途径和方法,也称为方案层,见图1.第23卷第3期 甘肃工
4、业大学学报Vol.23 No.31997年9月Journal of Gansu U niversity of TechnologySept.1997 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/图1递阶层次结构示意图当某个层次包含因素较多时(如超过9个),可将该层次划分为若干层.2)构造两两比较判断矩阵设要比较n个因素X=x1,x2,xn对目标Z的影响,确定它们在Z中所占的比重.每次取两个因素xi和xj,以aij表示xi和xj对Z的影响之比,得到两两比较判断矩阵:A
5、=(aij)nn(1)其中,aij 0,aji=1aij(ij)aij=1(i,j=1,2,n)(2)使式(2)成立的矩阵称为正负反矩阵.确定aij采用19及其倒数作为标度的标度方法(见表1).如果介于上述相邻判断中间,aij取值分别为2,4,6,8.表1比较尺度的取值方法xi?xj相等较强强很强 绝对强aij135793)层次单排序及其一致性检验(1)层次单排序.先解出判断矩阵A的最大特征值 max,再利用:AW=maxW(3)解出 max所对应的特征向量W,W经过标准化后,即为同一层次中相应元素对于上一层次中某因素相对重要性的排序权值.(2)一致性检验.首先计算A的一致性指标CI,定义:C
6、 I=max-nn-1(4)式中,n为A的阶数.当CI=0,即 max=n时1,A具有完全一致性.CI愈大,A的一致性愈差.将CI与平均随机一致性指标R I进行比较,令CR=CIR I,称CR为随机性一致性比率.当CR23n,并假设A有线性无关的特征向量v1,v2,vn.满足:Avi=ivi任取n维向量x,并设x可表示为x=ni=1Civi式中,C1,C2,Cn为常数.用A进行迭代,得:Ax=ni=1CiAvi=ni=1iCivi=1(C1v1+21C2v2+n1Cnvn继续迭代,当k充分大时有:Akx k1C1v1,Ak+1x k+1C1v1故Ak+1x或Akx的方向就是v1的方向,并且49
7、甘肃工业大学学报 第23卷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/(Ak+1x)i(Akx)i 1(i=1,2,n)特别地,当(Akx)j=1时,1(Ak+1x)j.用幂法求正矩阵A的最大特征值及相应特征向量的步骤如下:1)任取初始正向量x(0)=x(0)1,x(0)2,x(0)n)T,允许误差,令k=0,计算m0=x(0)=maxix(0)i,及y(0)=(y(0)1,y(0)2,y(0)n)T,并满足:y(0)=1m0 x(0)(y(0)的最大分量为1)2
8、)迭代计算x(k+1)=Ay(k),mk+1=maxix(k+1)i,y(k+1)=x(k+1)mk+13)判断mk+1-mk,成立否?若成立进行下一步,否则令k+1k转第2)步.4)将y(k+1)标准化,得:W=y(y+1)ni=1y(k+1)i,maxmk+1max和W为所要求的最大特征值和相应的特征向量.再利用式(47)便可进行一致性检验,从而知道总排序权值,进行方案选择.3AHP建模实例1995年全国大学生数学模型竞赛的“天车与冶炼炉的作业调度4”问题是一道从实际工业课题提炼、简化出来的数学问题,而且这种多车多炉的优化调度问题是每一个钢铁厂都普遍存在的生产问题.本文利用层次分析法对使用
9、15台天车选择最优方案.图2递阶层次结构图天车与冶炼炉作业调度的要求为:1)成品钢产量高;2)各台天车的作业率(天车作业时间所占比例)尽量均衡(考虑到设备及人员安全等因素,一般天车作 业 率 不 超 过70%);3)绝不允许出现天车相撞等事故;4)调度规则尽量简明,以利于现场人员使用.在不超过5台天车的条件下进行方案择优.为使问题简化,从天车作业率不超过70%的要求,根据赛题所作假设4不难判断出至少59第3期 陈义华:数学建模的层次分析法 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserv
10、ed.http:/有3台天车才能完成基本工序.因此只需对采用3台天车方案、4台天车方案和5台天车方案这3种方案进行选优.建模根据各类因素之间的隶属关系把它们分为3个层次,并建立递阶层次结构模型.目标层A:合理选择天车台数.准则层C:总产量C1,天车利用率C2,调度简便性C3,天车作业均衡性C4,天车作业安全性C5.方案层P:3台天车P1,4台天车P2,5台天车P3.根据各因素的重要性关系构造判断矩阵,并利用AHP软件3进行计算,所得判断矩阵及相应计算结果如下:(1)判断矩阵A-CAC1C2C3C4C5WC1114430.347 26C2113340.332 09C31?4 1?3131?2 0
11、.117 63C41?4 1?3 1?3110.082 91C51?3 1?42110.120 11注:max=5.304,CR=0.068 0.10.(2)判断矩阵C1-PC1P1P2P3WP11250.581 55P21?2130.309 00P31?51?310.109 45注:max=3.004,CI1=0.002,CR=0.003 0.10.(3)判断矩阵C2-PC2P1P2P3WP111?31?70.087 94P2311?30.242 64P37310.669 42注:max=3.007,CI2=0.0035,CR=0.006 0.10.(4)判断矩阵C3-PC3P1P2P3WP
12、11350.658 65P21?3110.185 17P31?5110.156 18注:max=3.029,CI3=0.0145,CR=0.025 0.10.(5)判断矩阵C4-PC4P1P2P3WP11240.571 43P21?2120.285 71P31?41?210.142 86注:max=3.000,CI4=0,CR=0.000 0.10.(6)判断矩阵C5-PC5P1P2P3WP11370.669 42P21?3130.242 64P31?71?310.087 94注:max=3.007,CI5=0.0035,CR=0.006 0.10.层次总排序及一致性检验,其结果如下:层次C1
13、C2C3C4C50.347 260.332 090.117 630.082 910.120 11层次P总排序权重P10.581 550.087 940.658 650.571 430.669 420.436 41P20.309 000.242 640.185 170.285 710.242 640.262 49P30.109 45-.669 420.156 180.142 2860.087 940.301 1069甘肃工业大学学报 第23卷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reser
14、ved.http:/层次总排序一致性指标:CI=5j=1ajCIj=3.982 85510-3.层次总排序随机一致性指标:R I=5j=1ajR Ij=0.58.层次总排序随机一致性比率:CR=CIR I=0.006 8 0.10.知层次总排序的计算结果具有满意的一致性.层次P总排序向量W=(0.436 41,0.262 49,0.301 10)T,权重最大的一项即为最优项,最后结果(由优到次):3台天车5台天车4台天车故应选择3台天车的作业调度方案.4结论1)AHP把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断和综合的思维方式进行决策,是系统分析的重要工具.2)AHP把定性和定量方法相结合,能处
15、理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广.并且这种方法将决策者与决策分析者相互沟通,决策者甚至也可以直接运用它,因此增加了决策的有效性.3)AHP的基本原理、步骤及计算非常简便,结果简单明确,易于被决策者了解和掌握.4)AHP从建立层次结构模型到构造两两比较判断矩阵,人的主观因素的作用较大,采取专家群体判断的办法是克服这一局限性的有效途径.只要对系统的分析及问题的因素了解得愈透彻,愈能得到合理的判断和正确的排序结果.参考文献1陈义华.数学模型.重庆:重庆大学出版社,1995.1171242姜启源.数学模型.北京:高等教育出版社,1993.3053353王莲芬,许树柏.层次分析法
16、引论.北京:中国人民大学出版社,1990.103108,3503844姜启源.1995年全国大学生数学建模竞赛.数学的实践与认识,1996,26(1):13The analytic hierarchy process for mathematical modellingChen Y ihua(Technical Engineering College,Gansu U niv.of Tech.,L anzhou730050)AbstractThe main idea,methodology,and kernel of the analytic hierarchy process formathe
17、matical modelling are described.The general modelling procedure and calculationmethod using the analytic hierarchy process are also discussed.Its effectiveness in the deci2sion making is illustrated by a practical example.Key wordsmathematicalmodelling;the analytic hierarchy process;decision making anal2ysis;ordering;mathematical contest in modeling79第3期 陈义华:数学建模的层次分析法 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/