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1、 收稿日期:2002209221 作者简介:于国安(19642),男,河南济源人,河海大学国际工商学院博士研究生,研究方向:系统工程。文章编号:100622475(2003)0520014203混沌吸引子特征的计算机模拟分析于国安,黄胜伟,方维凤(河海大学,江苏 南京 210098)摘要:应用Matlab可视化语言,编制了Birkhoff2shaw混沌吸引子可视化分析软件,可绘制出该吸引子在相空间的轨线图、Poincare截面映像图、振动时程曲线图和Lyapunov指数图等。通过仿真可分析Birkhoff2shaw混沌吸引子运动特性以及随参数变化规律,以便全面理解和分析该类混沌吸引子的特性。关
2、键词:计算机模拟;仿真分析;混沌吸引子;Poincare映像中图分类号:TP301.6 文献标识码:AComputer Simulation Analysis of Chaotic Attractor PropertyY U Guo2an,HUANG Sheng2wei,FANGWei2feng(Hohai University,Nanjing210098,China)Abstract:T o use Matlab visual language,the visual test software of Birkhoff2shaw chaos attractor is drew up.This
3、software can drawphase position map、Poincare shining map、time2amplitude map andLyapunov exponent map.It can analyse the move propertyof Birkhoff2shaw chaos attractor.People can understand and analyse the special property of chaos dynamic system.Keywords:computer simulation;simulation analysis;chaoti
4、c attractor;Poincare shining0 引 言可视化是一种计算技术,它将符号转换成几何,使研究者能观察到他们的研究工作。它变不可见为可见,丰富了科学发现的途径,给予人们意想不到的启示,在众多的学科领域使科学家的研究发生了根本的改变。可视化是理解复杂现象和大规模数据的重要工具,在自然科学领域得到了广泛应用。混沌是非线性动力系统的一种特有的运动形式,它隶属于确定系统却不可预测,隐含于复杂系统但又不可分解,看似“混乱无序”却又颇有规律。这种复杂的运动形态很难用手工方法来描述,利用可视化技术对于难以用解析方法分析的混沌系统进行分析研究,具有其它方法不可比拟的优越性。科学计算可视化作
5、为强有力的研究工具,以可视方式直观地描述物理模型抽象概念所蕴涵的科学内涵,使某些抽象的概念和复杂的过程视觉形象化,能更有效地探讨其内在的本质和规律性。1 混沌吸引子的特征混沌吸引子,也称奇怪吸引子。它是相空间中无穷多个点的集合,这些点对应于系统的混沌状态,它是一种抽象的数学对象。混沌系统存在着复杂的轨迹,对于不同的初始状态,系统会出现无限个不稳定的周期轨迹。这种情况下的混沌系统具有两个典型的特征1:(1)轨迹的不稳定;(2)可以通过展开及折叠予以混合。前者使得在指定初始状态时,只要有极微小的偏差,则将随着时间呈指数函数扩大,而无法预测未来的状态;后者意味着,当给出小的区域作为初始条件的集合时,
6、随着时间的进行将同时往空间的某一方向扩大和往另一方向缩小,结果产生了所谓的模式“双重扭曲”,使同样的初始状态得出无限多种模式,这意味着出现了“产生信息”的情况。对于耗散系统中的混沌运动,存在着看来似乎是相反的运动过程,一方面耗散作为一种整体性的稳定因素,它使运动轨道稳定地吸收到吸引子上,另一方面轨道又要相互分离(发散),由于收缩是由方程自2003年第5期计 算 机 与 现 代 化JISUANJIY UXIANDAIHUA 总第93期身决定的(存在耗散项),对于相空间整体而言,它使远处的轨道趋向至有限的范围内(吸引子),故发散是局域性质的,它使已靠近的轨道要相互排斥分开,这样略去系统的黑暗态过程
7、后,系统的轨道靠近又分开,分开又折叠而靠近。无数次的来回折叠,形成复杂的奇怪吸引子结构2。混沌吸引子常常隐藏在混沌现象的背后,借助于计算机可描绘出它的图形。本文以Birkhoff2shaw吸引子为例,用四阶定步长龙格库塔算法对其混沌系统进行了数值求解,计算机程序采用Matlab语言编写,编制了各种系统典型奇怪吸引子相图、流图、Poincare映像图、分岔图、Lyapunov指数图等的仿真程序。2Birkhoff2shaw混沌吸引子仿真分析Shaw在研究Van der Pol方程时发现一个具有特别有趣拓扑结构的混沌吸引子3(Birkhoff2shaw吸引子),其方程如下:x=0.7y+10 x(
8、0.1-y2)y=-x+0.25sin(t)(1)下面讨论频率变化后其奇怪吸引子的变化规律。2.1 相轨线图和吸引子流图相轨迹图是系统的解曲线在状态向量张成的相空间中的几何表示。状态变量u=x,y,由x、y组成相平面。式(1)的解表现在相平面上的曲线叫相轨迹,如计算出x、y,则可用计算机画出相轨线图。取系统(1)的频率分别为/4、/2和值,去掉前60秒的暂态点,得到在60240秒的x和y相平面轨线图如图1所示。图2是时间为0240秒的x和y随时间变化的相轨线流图。图1Birkhoff2shaw吸引子相轨线图图2Birkhoff2shaw吸引子流图 由图1和图2可知:当=/4和时,存在闭轨线的外
9、(内)领域,它全部由闭轨线充满,且对于任意初值启动振子,经过多次循环后,瞬态运动消失,然后再作循环。在相轨线图中表现为一个闭轨线。图3(a)为取相差0.0001时作的时程曲线图,从图中可以看出对初值不具备敏感性,因而可以判断该系统为周期运动。当=/2时相轨线在吸引子附近作周而复始运动,其运动轨迹不重叠,看似杂乱无章,其实运动轨线又局限在一定的区域,在相平面图中表现为混沌吸引子的特征。图3(b)为取相差0.0001时作的时程曲线图,从图中可以看出对初值具有很强的敏感性,因而可以初步判断该系统为混沌运动。图3x时程曲线图2.2Lyapunov指数图和Poincare映像分岔图Lyapunov指数用
10、于量度在相空间中初始条件不512003年第5期 于国安等:混沌吸引子特征的计算机模拟分析同的两条相邻轨迹随时间按指数律吸引或分离的程度,它可以清晰地描述混沌运动的初值敏感性。为了分析产生Birkhoff2shaw奇怪吸引子的频率的范围,利用Matlab语言4编制的程序作出如图4所示的系统最大Lyapunov指数随频率变化的曲线图。由图4可知,当频率取 1.21.75和2.72.8时,系统的最大Lyapunov指数大于零,系统具备混沌运动的必要条件。进一步确定系统出现混沌运动时的频率范围,需作出如图5所示的随频率变化的Poincare映像分岔图。从图5中可以看出:稳定的周期运动存在于频率=01.
11、1,对应于1周期运动;短暂的拟周期以后,当进入混沌区域,混沌区域的频率为=1.21.7;频率进一步增加后,出现3周期、拟周期运动和阵发混沌运动。2.3Poincare截面映像图Poincare截面映像图是指:在相平面(x,y)内,不是连续地画出每一时刻的相点位置以形成相轨迹,而是每隔一个周期取一个点,得到类似于振动实验中的频闪仪图像。相图的纵坐标变量为横坐标变量的导数,相图按周期采样后得到的相点图,称为Poincare截面图。相图最终收缩(称为吸引)形成的形态奇异的相轨或相点集,称为奇怪混沌吸引子,它具有全局与局部的自相似结构,即所谓分形结构。图6 取不同频率的Poincare映像图 为了进一
12、步识别系统(1)的运动状态,需动态观察Poincare映像图和功率谱图随频率变化情况。现取频率值为1.0、1.2、1.6、2.0、2.8和3.0,分别作Poincare映像图(舍去前60秒的暂态点),如图6所示。从图6中可知,当取=1.0时系统为1周期,取=1.2和1.6时系统为混沌吸引子,取=2.0时系统为3周期吸引子,取=2.8时系统为拟周期吸引子,取=3.0时系统为多周期吸引子。3 结束语混沌是超越人类日常经验和目前水平的一种复杂的现象,决定性规律所产生的一条混沌轨道是如此的复杂:它是不可定义的,不可计算的,不可预测的。本文在可视化仿真环境下,研究Birkhoff2shaw吸引子的混沌特
13、性,克服了单纯理论分析过于抽象的、对系统进行动态参数综合分析和计算过程不直观的困难,大大地方便了分析该类混沌吸引子的运动规律。因此,对复杂的混沌动力学系统的图形可视化仿真研究具有较大的实用价值。参考文献:1 王树禾.微分方程模型与混沌M.合肥:中国科学技术大学出版社,1999.56186.2E N Lorenz.The Essence of Chaos M.The University ofWashington Press,1993.121.3Holms PJ.A Nonlinear Oscillator with a Strange AttractorM.Philos Trans R Soc London A 292,1979.4.王沫然.Matlab 6.0与科学计算M.北京:电子工业出版社,2001.148166.61计 算 机 与 现 代 化2003年第5期