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1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/生物数学学报,一种群竞争模型的稳定性分析毛凯李日华海军航空工程学院基础部烟台摘要运用徽分方程德定性理论,对两种 群的竟争生物数学模型平衡点的德定性给出了定性分析,并从生物学角度给出 了相应的解释关祖词种群竟争平衡点德定性对生物种群分布数量或密度的研究,在生态学和生物学的研究中有着重要的意义然而 由于生物种群之间受各种复杂的关系制约,要想获得种群在特定时刻的准确分布数量或密度值,往往相当困难,甚至没有可能因此,研究与其等效
2、的稳定状态的数量或密度关系,就有着重要的理论与应用价值为方便,我们将讨论的范围仅限于两种群之间的竞争关系上两种群竞争生物数学模型设系统内存在两种生物种群和夕,且都受到密度的制约,两种群都竞争同一来源于本系统外部的资源作为食物以约,抓约分别表示,时刻两种群的数量,并假定约,纵约都是的连续可微函数则两种群竞争生物数学模型的一般形式为一一夸,一二一二正三正尹了了工刀口了,、模型中各参数均为正,种群内部和种群之间的关系就完全取决于各参数前的符号如果,。前面取正号,则表明两种群食物来源于系统外部、前取负号表示两种群均受密度制约,项系数。,前取负号表示两种群为竞争关系,对方的存在必然对已方构成威胁,“模型
3、平衡点的稳定性讨论对模型,由于难以给出约,试的准确的解析表达式,下面讨论约与 叭约之间的平衡点的稳定性定义称与模型相对应的自治系统二一占一。夕一乙一梦二收稿日期一一 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第期毛凯等种群竞争模型的稳定性分析的解尸。,。为的平衡点为将非线性系统线性化,引入将非线性系统线性化且不改变平衡点稳定性状的条件定理对于非线性系统艺二斌司,其中川二,且 日川川当升时,为常数矩阵 若特征方程一入习没有零根或零实部的根,则非线性系统与其线性近似系
4、统对艺二二的平衡点的稳定性态一致对线性近似系统,平衡点稳定性态的讨论,用其特征方程一入习的根来判定,在的阶数较小的情形下是相当简便的,特别对二维情形,有如下结论定理若一久习的两特征根入半入为实根,且入 入,则久时,平衡点渐近稳定,入则不稳定久 入时不稳定若有重根入,则入时,平衡点渐近稳定,入时不稳定若有共扼复根,则以时,平衡点渐近稳定,以时不稳定,。人时,平衡点稳定,但非渐近稳定定理和定理的证明见因为定理是讨论一类特殊平衡点,的稳定性,若平衡点不是,时,可作平移变换,而平移变换是不改变稳定性态的显然系统有四个平衡点,笋乙它们的稳定性态分别为。子。,哟,几子华,、,凡一口乙一石一一对,满足定理,
5、讨论线性近似系统口公,口夕击月了奋以了少、的特征方程为“一“阵入一得入二,入均大于,故,不稳定对,作平移变换,一,尹、代入得。,一。竺、一。一二,一竺。一。一。一。一由一由了、叹 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/生物数学学报第卷由定理,取线性近似系统些之“些厂、,一一八,竺她一。的特征方程时、竺。久,解得凡稳定口一一,入一显然,当。几,。渐近稳定,否则不对凡,作平移变换二一,夕,了少、代入得一一一石一。丫一些丝些艺,、一妙一前如夕丫一。丫一“丫,据定理,
6、取线性近似系统的特征方程一。一奥几。一与,、一一。、,入一,一一,一一解得入二一。,定对。一。一奥。当华、华时,。华,、渐近稳定当华,华时,不稳口一口一石乙一乙一吞石并石作平移变换一万 一口一口石一石石一石一 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第期毛凯等种群竞争模型的稳定性分析代入得,一、,一,、,一人一一人一人,亡一一一,一“,。一,一,一一,一二二二二二二入一,二一二一,入一,气艺一一一一由定理,取线性近似系统一“篆箕箫一苍篆箫,一如舞姆黯一架扮黔一犷
7、一一一了户、的特征方程“器门瑞岩“器弓翼于口一口二,一一下一一一乙一石石一一,入或、一,八一下一甲一一宁一一一一一吞一石入、夕由根与系数之间的关系,得当些坚兰二些全业竺匕玉竺过时,凡 不稳定一、,一乙一、八口一曰乙止几 甲 一一一下,一十一一一乙一石时,凡渐近稳定综上所述,得两种群竞争模型稳定性的一般结论对模型,当各参数满足。时,石时,渐近稳定,即,渐近稳定,即净自今习艺二艺呱“,溉竺些三卫里业坐竺丝业一、口一二卜上工丁,一一了,十一一一时,尸口一石一乙一乙一石渐近稳定,即净心才口一口石一石不净,艺石一乙一石一乙生物学解释考虑到种群数量或密度的模型,将模型变形为一,一石一一吞,一一,一下产一彻
8、一由了,、1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/生物数学学报第卷其中。,。为种群,的净自然增长率。,乙,。占为种群,的环境容纳量不存在种群间竞争条件下的某种群的最大数量或密度,而。石反应了当。与二共同竞争同一资源时,对的环境阻力,即一个的存在相当于个的存在反应了当二与共同竞争同一资源时,对的环境阻力,即一个的存在相当于个,的存在常数,表明两种群之间有竞争关系,、,。饥月叮丫又,肠尸,下丁一竺 或奥奥竺说明当种群之间由于竞争同一资源而对各 自的生存产生生物环境阻
9、力时,如果种群二的环境容纳量低于种群,的环境容纳量而导致替代环境容纳量弃竺时,最终种群趋于灭绝,而种群,将最终稳定于其环境容纳量 竺同理,当华李时,即竺丝孚时种群,的环境容纳量小于种群的环境容纳量而导时,种群,将最终灭绝,而种群二将最终稳定于其环境容纳量华而一姚此一致替代环境容纳量结论则说明了当上述两个条件的反面同时成立时,种群的环境容纳量对,产生的替代环境容纳量不致于威胁到,的生存,种群,的环境容纳量对产生的替代环境容纳量也不致于威胁到二的生存并且两种群的替代率乘积不超过,于是两种群都将保存下来而不会灭绝参考文献蔡常丰数学棋型建棋分析北京科学出版社,一寿纪麟数学建模一方法与范例西安西安交通大学出版社,一中山大学常徽分方程北京高等教育出版社,一一二云。夕。艺。夕。夕,二玄依,明一一,