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1、传染病数学模型的建立及稳定性分析张运权(湖北工学院武汉 430068)摘要利用疾病传播的一般规律及人口守恒统计法测建立起两室与三室的传染病模型1,再运用文献2、3的数学方法,重点对两室的传染病模型进行定性与稳定性分析,从而得出相应情况下的生态意义。关键词稳定性轨线阈值定理1预备知识1.1两室的模型把城市人口分为健康人与传染病人两个室(集合),其人数分别记作:S(t),I(t)。1.2三室的模型把城市人口分为健康人 S(t)、传染病人I(t)及病愈免疫(包括死亡)的人R(t)。我们知道疾病传播一般服从下列法则:法则 1在所考虑的时期内,人口总数保持在固定水平 N(即 S(t)+I(t)+R(t)
2、=N)。法则 2 易受传染者S(t)人数的变化率正比于传染病患者 I(t)与 S(t)人数的乘积。法则 3 由 I(t)向 R(t)转变的速率与 I(t)成正比。2两室的模型由上述疾病传播法则,不难得出传染病的数学模型dSdt=-ISdIdt=IS-T I(1)且初始状态为S(0)=S0 0,I(0)=I0 0其中常数 、T 称为传染率、移除率,其值均大于零。令 e=T,1e=T称为相对移除率,同时为了讨论问题的方便,不妨假设N=1,即总体。定理 1 (阈值定理)设 S(t),I(t)是初值问题(1)的解,如果 eS0 1,当t+时,I(t)先增加达 到最大值 1-1e-1eln(e S0),
3、此时 S=1e,而后单调减少趋于零,S(t)是一个单调减少函数,并且其极限 limt+S(t)S(+),是方程 1-S+ln(S/S0)e=0在(0,1e)内的根(见图 1)。2.1在不考虑自然出生和死亡的前提下,一种传染病发生时,如果易感染人的总数小于等于该病的相对移除率,此传染病不可能发生流行,将很快被消灭。如果易感染人的总数大于该病的相对移除率,此传染病可能发生流行,得病的人数将猛增,当易感染人数下降到 S=1e时,得病人数 I(t)达到最大值图 11-1e-1eln(e S0),而后得病人数逐渐减少,最终趋向于零,即传染病被消灭。在整个过程中易感染人数单调减少,最终并不是所有的易感染人
4、都会得病。因此,我们说疾病不是因为缺少受传染者而停止传播,而是因为没有了传染者才停止传播。2.2由于人类对传染病的认识提高以及现代医学水平的发展,对于许多传染病可以做到提前预防,使人群对许多种传染病具有免疫能力,例如打预防针、进行免疫接种等,我们在模型(1)的基础上增加考虑直接进入消除类的因素,使其注射预防针的速率 与 I(t)成正比。经过调整,得到如下的数学模型:dSdt=-IS-W SdIdt=IS-T I(2)且 S0 0、I0 0,其中 ,T,W均大于零,令 e=T,1e=T为相对移除率。以下对模型(2)进行分析。我们在(S,I)相平面上考察轨线。首先由99数理医药学杂志1999年第
5、12卷第 2期dSdt=-IS-WS=-(IS+W S)0有 S(t)S0,再由方程dIdt=IS-TI=I(S-1e)可知,当 S01e时,有dIdt 0成立,此时 I(t)单调减少。当 S01e时由 S(t)单调减少可得存在唯一的t1,使S(t1)=1e,因此有:0t 0,此时 I(t)增加,t t1后dIdt 0,此时 I(t)单调减少,所以I(t1)是最大值。即在相平面上的轨线I(r)在r=1e时,I(1e)为最大值。显然方程组(2)的轨线方程为:I(t)+lnI(t)I(0)=1-S+1eln(SS0)由此我们得:I(1e)=1-1e-1eln(e S0)-lnI(1e)I0 1-1
6、e-1eln(S0e)上式说明采取预防措施后,可以减少得病人数,并且 I(t)的最大值小于不采取预防措施时的最大值。令 D=(S,I)|0 S 1,0 I(t)1,S+I=1是一个由S轴到I转以及直线S+I=1所围成的三角形区域。对于方程组(2),其轨线为:S=0,I=I0e-T tI=0,S=S0e-W tO(0,0)点在(2)在 D上唯一的平衡点,并且点(0,0)是局部渐近稳定的,这是因为特征根-W及-T 均小于零。对于在直线S+I=1上的所有解均有d(S+I)dt=-T I-WS 0所以,在 D内出发的轨线不会越出区域 D。令 D-=(S,I)|0 S 1,0 I(t)1,S+I=1在
7、D-上取Dulac函数B(S,I)=1I(t),由Dulac定理3知在D-上不存在极限环,所以由 D-上出发的轨线当 t+时,必趋于平衡点(0,0)。综上所述,我们得出如下定理。定理 2对于初始问题(2),区域 D-是平衡点 O(0,0)的渐近稳定区域(见图 2)。定理 3 (阈值定理)设S(t),I(t)是初值问题(2)的解,如果 eS01,当 t+时 I(t)增加到达最大值 I(1e),而后单调减少趋于零。S(t)同时单调减少趋于零。2.3在传染病流行之前,对易感染的人群进行有效的预防可以使易感染的人数下降,从而达到防止传染病流行的目的。2.4在传染病发生之后,立即对易感染的人群进行有效的
8、预防,同样可以使易感染的人数下降,从而减少得病人数。此种图 2情况下,如果在发病初期易感染的人数S01e,那么疾病会很快被消灭。如果在发病初期易感染人数 S01e,那么得病人数先增加,当其达到最大值 I(1e)后,得病人数逐渐减少而后疾病被消灭。此种情况下的最大值I(1e)小于不作预防时的最大值 1-1e-1eln(e S0)。2.5经过一段时间以后,整个人群将趋于对该疾病具有免疫力。3 三室的模型由前述疾病传播的一般法则及人口守恒定律,可得到三室的数学模型。dSdt=-ISdIdt=IS-T IdRdt=T I(3)且 S0 0,I0 0,R0 0方程组(3)是三维的,采取与(1)的同样讨论方法,只须把第一个和第二个方程联立即可,同样得到与定理 1相类似的阈值定理。参考文献1 J.E.Nash等.The employment of unit hydrographs to determineThe flows of Irish arterial drainage channels,Proc Instn 1975.2张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题.北京大学出版社,1987.3 张芷芬等.微分方程定性理论.科学出版社,1985.收稿日期:1999-01-08100Journal of Mathematical MedicineVol.12 NO.2 1999