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1、第36卷第7期2006年7月数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORYVol136No17July,2006仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型颜 剑1,周伶玲1,刘 伟2(1.中南大学材料科学与工程学院,湖南 长沙 410083)(2.中南大学化学化工学院,湖南 长沙 410083)摘要:以商场的商品销售与存贮为研究对象,建立了一类在仓库容量有限条件下的存贮管理决策模型,并给出了最优存贮策略.针对某个大型超市的三种商品的真实销售数据,我们运用该模型分析求解得出了三种商品的最优订货点L3分别为35、39和40.结合销售存贮管理中的实际情况,我们针对商场
2、同时订购多种商品时的情况对模型进行了初步推广,并依据此推广模型得出了在同时订购三种商品时的最优订货点L3为712.最后我们进一步讨论了在商品销售率随存贮时间发生变化及存贮变质性商品时的存贮管理决策模型,以便满足不同商家的订货和存贮策略.关键词:存贮管理模型;销售周期;最优订货点1 引 言存贮管理是企业和商家生产经营管理的一个重要环节,是降低成本提高经济效益的有效途径和方法.现有某商场销售某商品,假定该商品的销售速率不变,记为r;不考虑商品数量与品种对订货费的影响,记为常数c1;商场自身仓库的最大库存量为Q0,当货物超出自身容量时需租借仓库存贮商品.商场自身仓库平均每天存贮单位商品的费用为c2,
3、租借仓库平均每天存贮单位商品的费用为c3,且有c2c3.允许商品缺货,假定因缺货造成销售额减小而带来的单位商品损失费用为c4.在销售过程中,每当存贮量q降到L时即开始订货.每次订货后的交货时间X为随机变量.每次到货后使该类商品的存贮量q补充到固定值Q为止,且Q0Q.本文将针对此问题给出一数学模型以得到最优订货点L3,使得该商场的总损失费用最低.2数学模型的建立及应用211模型假设建立数学模型的过程就是把错综复杂的实际问题简化,抽象为合理的数学结构的过程.因此,为使问题简化,特引入几个有用的假设:(i)商家在销售商品时,不会等到把所有商品都销售出去后再去订货,即假定订货点L0;(ii)商家在销售
4、商品时应该优先销售租借仓库所存贮的商品,到货后优先把商品存贮到自己仓库;(iii)商家支付的存贮费用应是按天计算的,即每天的存贮费用是在该天结束后支付的,如果商家在该天还未结束时就把仓库中的商品销售完毕,则不必支付该天的存贮费用;(iv)商家制订的最优订货点L3应是在考虑了随机变量X的数学期望值后制订的.212模型建立设商家在一个销售周期T(从最大存贮容量Q到下一次达到最大存贮容量Q之间的时间差)内的总损失费用为C,显然C应当是订货点L和交货时间的X的函数,即有C=C(L,X)(1)现在我们即根据实际问题的需要来具体求解C(L,X)的表达式.为此,先引入三个有用的参量X0、X1和X2,其定义为
5、X0=(Q-Q0)/r,X1=Q/r,X2=(Q-L)/r(2)其中x表示高斯函数,即x为不超过x的最大整数,有x-1 xx.根据X0、X1、X2和X四个参量间的相互关系,我们可以做出5个不同的存贮容量随销售时间的变化曲线图,如图1所示:图1存贮容量随销售时间的变化曲线图471数 学 的 实 践 与 认 识36卷在图1(a)中,X0、X1、X2和X四个参量间的相互关系为X0X2X1和XX1-X2,此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为?C=C/T=X0t=1c3(Q-Q0-rt)+c2Q0X0+X2+Xt=X0+1c2(Q-rt)+c1X2+X(3)在图1(b)中,X0、X1、X2和X四
6、个参量间的相互关系为X0X1-X2,此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为?C=C/T=X0t=1c3(Q-Q0-rt)+c2Q0X0+X1t=X0+1c2(Q-rt)+c4r(X2+X)-Q+c1X2+X(4)在图1(c)中,X0、X1、X2和X四个参量间的相互关系为0X2X0和XX0-X2,此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为?C=C/T=X2+Xt=1c3(Q-Q0-rt)+c2Q0(X2+X)+c1X2+X(5)在图1(d)中,X0、X1、X2和X四个参量间的相互关系为0X2X0和X0-X2XX1-X2,此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为?C=C/T=X0t=1
7、c3(Q-Q0-rt)+c2Q0X0+X2+Xt=X0+1c2(Q-rt)+c1X2+X(6)在图1(e)中,X0、X1、X2和X四个参量间的相互关系为0X2X0和X1-X2X,此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为?C=C/T=X0t=1c3(Q-Q0-rt)+c2Q0X0+X1t=X0+1c2(Q-rt)+c4r(X+X2)-Q+c1X2+X(7)又假设X(X0,且X为整数)满足某一离散分布f(=X)(如泊松分布,二项式分布等),由此我们可以求出随机变量X的数学期望值为?X=X=0Xf(=X)(8)由假设(iv)可知,商家制订的最优订货点L3是在考虑随机变量X的数学期望值后制订的,那
8、么由此可把(2)和(8)式分别代入(3)(7)式得到一个销售周期内平均每天的损失费用?C关于订货点L的一元函数?C=?C(L),令d?C(L)/dL=0,从而求出对应最小值min?C(L)的Lmin值,而Lmin即是我们所求的最优订货点L3.综上所述,可做出求解最佳订货点L3的程序流程图,如图2所示f(=X)?X?X213模型应用为验证本模型的实用性,现考虑三个实际问题:关于康师傅精装巧碗香菇炖鸡面的5717期颜 剑,等:仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型图2求解最佳订货点L3的程序流程图存贮管理问题,其销售参量为r=12盒/天,c1=10元,c2=0101元/盒.天,c3=0102元/盒.
9、天,c4=0195元/盒.天,Q0=40盒;Q=60盒,连续36次的交货时间X依次为3、3、7、1、2、3、3、0、3、4、6、3、1、4、3、3、2、2、3、2、5、3、2、3、3、0、3、4、3、1、4、5、4、3、1;关于心相印手帕纸10小包装的存贮管理问题,其销售参量为r=15盒/天,c1=10元,c2=0103元/盒.天,c3=0104元/盒.天,c4=1150元/盒.天,Q0=40盒,Q=60盒,连续43次的交货时间X依次为4、2、3、3、2、2、2、2、2、2、2、2、3、2、1、2、4、3、2、3、2、2、4、2、3、4、3、3、2、3、2、3、2、2、1、3、2、5、3、2、
10、4、2、2;关于中汇香米5KG装的存贮管理问题,其销售参量为r=20袋/天,c1=10元,c2=0106元/袋.天,c3=0108元/袋.天,c4=1125元/袋.天,Q0=20袋,Q=40袋,连续61次的交货时间X依次为3、4、4、2、3、3、2、2、1、2、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、2、2、5、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、2、2、1、2、2、3、3、1、2、2、1、2、2、1、2、1、2、1、1、2、2、5、6、3、4、3、1.由图2可知,为求最佳订货点L3则必须首先确定随机变量X满足的分布函数.根据近671数 学 的 实 践 与 认 识36卷数十年来大量的科学研
11、究,人们发现很多随机现象都可用泊松分布去描述,例如在社会生活中,各种服务需求量,如一定时间内,某电话交换台接到的呼叫数,某公共汽车站来到的乘客数,某商场来到的顾客数都满足泊松分布.因此我们假定前述的三个实际问题中的交货时间X也满足泊松分布,为衡量该假定的准确性,可将前述的三个实际问题中的交货时间X的频率分布图与其对应的概率分布图作于同一图中,如图3所示.图3交货时间X的频率分布图与其对应的概率分布图由图3可见,交货时间X的频率分布图与其对应的概率分布图重合得不是很好,但是整体上还是可以接受的,而且对于本问题的计算不会带来多大的误差.由此求得前述三个问题中的交货时间X的数学期望值分别为21972
12、2、215349和119508.根据图2中所述的方法求得的最优订货点L3分别为35、39和40.3数学模型的初步改进311初步改进模型的提出前文所建的数学模型只考虑了订购同一种商品的情形,对于商家同时订购多种商品的情形是不适用的.为此,我们必须建立新的数学模型以解决此问题.现假设某商家有m种商品需要订货,每次进货时都从同一个供应站同时订购这m种商品,每次进货的订货费c1与商品的数量和品种无关,为一常数.假设订购的货物同时到达,且到货天数X为一随机变量.这m种商品的销售速率分别记为ri(袋或盒/天)(i=1,2,m),每袋(或盒)的体积分别为vi(i=1,2,m).使用商家自己仓库和租借仓库存贮
13、某单位体积商品每天所需的存贮费分别记为c2i和c3i(i=1,2,m),且有c2ic3i.某种商品由于缺货而造成的损失记为c4i(i=1,2,m).商家自己仓库用于存贮这m种商品的总体积容量记为Q0,假定每次到货后都使这m种商品的存贮量的总体积补充到固定体积7717期颜 剑,等:仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型容量Q为止,且Q0Q.每当这m种商品的存贮量的总体积q降到L时即开始订货.试确定最优订货点L3和商家自己仓库用于存贮这m种商品的各自体积容量Q0i(i=1,2,m)以及在订货到达时使这m种商品各自存贮量补充到的固定体积Qi(i=1,2,m),使商家的总损失费用达到最低.312初步改进
14、模型的建立假设在一个销售周期T中,Q、Q0和L体积容量的商品中含有某种商品的个数分别记为ni、ki和li(其中i=1,2,m),那么有mi=1nivi=Q,mi=1kivi=Q0,mi=1livi=L(9)如果我们继续按照上述订购单种商品的方法去建立订购多种商品的数学模型,那么分类的标准将会随着订购商品种类的增多而增多,结果使得所列的在一个销售周期内平均每天的损失费用的数学表达式也越来越多.为了统一数学表达式,特引入一单位阶跃函数y=(x),其具体定义为y=(x)=1,x00,xC22C21,C33C32C31(18)由上式(18)可推知商家为减少损失费用,应尽量使中汇香米5KG装的商品优先存
15、入自己的仓库,即应先使k3值达到最大,然后再使k2值也尽量地大.考虑到k3n376,k2n2145及k1v1+k2v2+k3v3=0105k1+0104k2+0110k3=Q0=6,故应取k31=0,k32=0,k33=60.由此可知n3的取值范围可进一步缩小为60n376(19)通过分析可知满足关系式(17)、(19)及0105n1+0104n2+0110n3=10的n1,n2,n3的整数解共有81组.又由(16)及(17)式可推知T01(20)考虑到T0为正整数,故取T0=1.到此,我们可通过穷举法求出上述(11)式的最小值,并由此得到所求的n31、n32、n33、k31、k32、k33、
16、l31、l32和l33值分别为56、30、60、0、0、60、36、15和48,于是可得最优订货点为L3=l31v1+l32v2+l33v3=360105+150104+480110=712立方米(21)另外也可得商家自己仓库用于存贮这三种商品的各自体积容量Q0i(i=1,2,3)和在订货到达时使这三种商品各自存贮量补充到的固定体积Qi(i=1,2,3)分别为Q01=k31v1=0立方米,Q02=k32v2=0立方米,Q03=k33v3=6立方米(22)Q1=n31v1=218立方米,Q2=n32v2=112立方米,Q3=n33v3=6立方米(23)4数学模型的进一步推广及思考虽然上述的两个简
17、单实用的仓库存贮管理模型能够解决一些现实问题,但在实际生活中,往往由于各种不定的因素如商品的销售经常是随机的、订货情况在一段时间后是会发生变化的,还有就是存贮商品由于不稳定而发生变质等问题,使得商家要随时调整订货和存贮策略以求达到最佳的销售策略.下面,我们就此论述两个推广的仓库存贮管理模型.411销售率变化模型在商品的实际销售过程中,商品的销售率并非一个定值,而是随着时间的改变而改变的.假定销售率函数ri(t)具有如下的形式1ri(t)=At(T-t)(和为非负整数)(24)上式(24)中常数A 0,T为销售周期,和不能同时为零,i标记第i种商品.参数A、和值可通过拟合一组销售率的原始数据而得
18、到.将(24)式代入(11)式即可得该问题的解决方案.412存贮变质性商品模型在常见的存贮管理问题2-5中,存贮商品的使用寿命一般被认为是无穷的.但在实际081数 学 的 实 践 与 认 识36卷的库存管理实践中,变质却是一种常见的现象.如挥发性物品的挥发、放射性物品的衰变,以及食品、水果的变质等.对于存贮商品为变质性物质的库存模型,人们常常会采取一些措施来减少变质的发生,且存贮时间越长,这种措施越需加强,体现为在单位时间内存贮单位商品所需存贮费对时间的变化率大于0.假设存贮费随时间的变化关系为线形关系,即有cji=jit+ji(25)上式(25)中的j标记商场自身仓库或租赁仓库在单位时间内存
19、贮单位商品所需的存贮费,i标记第i种商品.ji和ji为参数,且有ji 0,同样可拟合一组存贮费用的原始数据而得到.将(25)式代入(11)式即可得该问题的解决方案.参考文献:1 韩松,何崇仁,刘建平.需求为任意次函数存贮模型的最优解J.系统工程,2003,21(4):2022.2 刘小群,马士华.两层次、多品种货物随机存贮模型研究J.华中科技大学学报(自然科学版),2005,33(2):112115.3 陈有禄,罗秋兰.仓库容量有限条件下的允许缺货存贮模型J.广西工学院学报,2001,12(4):8587.4 杨益民,沙峰.一类存贮模型及其最优存贮策略J.数学的实践与认识,2005,35(9)
20、:2833.5Berman O,Sapna K P.Optimal service rates of a service facility with perishable inventory itemsJ.Naval Research Logistic,2002,(49):462482.A Random Managing Storage Model UnderLimited Warehouse CapacityY AN Jian1,ZHOU Ling2ling1,LIU Wei2(1.School of Materials Science and Engineering,Central Sou
21、th University,Changsha Hunan 410083,China)(2.School of Chemistry and Chemical Engineering,Central South University,Changsha Hunan 410083,China)Abstract:This article deals with commodity sale and storage in marketplaces.A managing storage modelunder limited warehouse capacity was established,and the
22、optimal storage strategy was also given in this pa2per.The optimal indentsL3were 35,39 and 40,respectively,using the model to study the storage strate2gies of actual distribution data of three commodities in a large super market.A simple extension of the modelfor marketplaces ordering multi-commodit
23、y simultaneously was also put forward according to practical com2plexities of sale and storage management,and later to investigate a super market ordering three commoditiessimultaneously to obtain the optimal indentL3being 712.Finally,two more complex extensions of the mod2el for the sale rate of commodities dependent on storage time and storing degenerative commodities were dis2cussed in this study to satisfy the different ordering and storage strategies of marketplaces.Keywords:managing storage model;trading periodicity;optimal indent1817期颜 剑,等:仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型