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1、第 2 0 卷 第 8 期 工 程 数 学 学 报 v。1 2 0 N。8 。年 月 J OURNAL OF ENGI NE E RI NG MATHEMATI C S D e c 0 0 3 文章编号：1 0 0 5 3 0 8 5(2 0 0 3)0 8 0 0 5 7 0 4 水产的养殖与捕捞的数学模型 简国明，许景飞(1 一 韶关学院数学系，广东 韶关，5 1 2 0 0 5；2 一 赣南师院 数学与计算机系，江西赣州 3 4 1 0 0 0)摘要：对于养殖场中虾的养殖和捕捞问题，建立了各量的基本模型。对三种不同情况，应用微分法和规 划论，分别建立了相应的微分规划模型、积分规划模型和变
2、分法模型。再应用微分法、变分方 法及 Ma p l e 数学软件进行求解，对不同情况得出了相应的数值结果。关键词：虾量；养殖费；养殖策略；捕捞策略；最大利润 分类号：A MS(2 0 0 0)3 4 A 3 0 中图分类号：O 1 7 5 1 文献标识码：A 1 问题的提出 本问题来源于广东省韶关市某水产养殖场的实际问题。人工养殖的水产业(如养殖场中虾的养殖)，其产量的增加一般与养殖费(包括饲料、工资、技术费等)成正比。而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大 也不会使虾量增加。但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去。现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞l-1 J。根据
3、以往经验和市场调查，我们 有如下数据：这种虾的自然死亡率为 ，=0 0 5(1 月)；环境容许的最大虾量为 N，N=1 0 (斤)；虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量 成正比，比例系数为E。这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的频率分别为 0 2、0 5、0 3，而捕捞成本为J9，J9=0 1(元 斤)；小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分 别为 5 元，7元和 1 0 元。试解决以下问题：1、若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费与该月虾量 成正比，比例系数为“，a=0 2(元 斤 月)。试制定捕捞策略(确定 E)使虾的月利
4、润最大；2、若某人承包此养殖场 5年，且月养殖费与该月虾量成正 比，比例系数为 a，又取 E=0 0 8(1 月)。试制定养殖策略(确定 a)，使5 年的总利润最大。当初始虾量为1 0 斤，确定获 利最大的开始捕捞的月份；3、若某人承包此养殖场5年，每月按强度 E=0 1(1 月)捕捞，试制定养殖策略(确定 收稿日期：2 0 0 3 1 1 1 5 作者简介：简国明(1 9 5 8年生)，男，硕士，副教授，研究方向：代数 图论、数学模型 基金项 目：广东省 自然科学基金资助项 目(2 0 0 1 1 7 0 7)维普资讯 http:/ 5 8 工 程 数 学 学 报 第2 0 卷 养殖费)，使
5、 5年的总利润最大。2 模型的假设(1)虾群是一个独立的生态群体，且不与其它生物发生竞争；或者虽有竞争，但其影响 限于虾的自然死亡率之内l-2；(2)虾的捕捞采用固定努力量捕捞，每月的捕捞强度系数 E是常量；(3)虾的销售不成问题，即打捞的虾都能卖出，且价格不变。销售成本费用忽略不计；(4)用(t)表示养殖场中第 t 月的虾量(单位：斤)，用Y(t)表示第 t 月的月养殖费(单 位：)。在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量(t)的增加速度与月养殖费成正比，其比 例系数是的线性减函数：当达到时，此函数为0；当为 0时，此函数为常数。3 问题的分析及基本模型 该问题是一个动态变化有约束条件的最优
6、化问题。在养殖费与月虾量有关的情况下，对第一问，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养 殖费与该月虾量成正比，在满足此条件下用动态平衡原理得 出一个关于微分方程的约束条 件，制定出捕捞策略，使虾的月利润最大；对第二问，由于采用了固定努力量的捕捞方式，承 包此养殖场5年，且月养殖费与该月虾量成正比，这样就可建立微分约束的积分规划模型。给定了一个初始条件后，可用Ma p l e 数学软件求解；对第三问，同样采用固定努力量捕捞，要 制定养殖策略(确定养殖费)，使5年的总利润最大。我们用变分法，把目标函数与约束条件 结合起来，转化为求泛函极值的问题，进而归结为求微分方程组问题，用 Ma p l e 数学
7、软件可 计算出结果。基于假设条件及以上分析，我们可以建立以下基本模型：一，、(1)自然死亡规律：=一 ()(t)；“，、(2)捕捞规律：一E()(t)；“(3)由假设 4 可设养殖场虾量(t)的增加速度与月养殖费 Y(t)成正比的比例系数函 ，、数为：P(t)=AB x(t)，又由题设条件得：P(t)=a(1一 )Y (4)在捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量随时间变化的数学模型为：=a(卜 )(f)一(it+E)()(5)设虾的价格是一随机变量 ，由题设知：的取值为5、7、1 0。其出现的概率分别为：P(=5)=0 2，P(=7)=0 5，P(=1 0)=0 3，则 的数学期望(平均值)为：
8、E =50 2+7 0 5十1 00 3=7 5 即虾平均每斤的批发价格为 7 5 元。记为 P。4 模型的建立及求解 4 1 关于每月虾量相等的最大利润捕捞策略每月的虾量相等 =0 一 )一(it+E)=0 维普资讯 http:/ 第 8期 简国明，许景飞：水产的养殖与捕捞的数学模型 5 9 又由题设条件：()=a z()。得：0 a a(1 一 )z一(+E)z=0 l=N。=二。鱼，z 2=0(舍去)。l=N 二 。二，为每月虾量相等的养殖场虾量。每月虾量相等的最大利润捕捞模型为：f r r l a x R(E)=()E ()一 ()1 s t z()：，E d 一 将z()=N l_
9、代人R(E)中，得R(E)=(p E一 一日)N -二 易 (z 得最大值点为：E。1(a a )+。由已知数据：7 5，卢=0 1，a=0 2，=N 二 二皇 3 0 7 5(斤)；最大月利润 R(E 0)1 3 9 8 8 2(元)。4 2承包五年捕捞强度 E=0 0 8(1 月)的养殖策略及开始捕捞时间 承包五年捕捞强度=0 0 8(1 月)的养殖策略的数学模型为：m a x R()=I(p E一卢 E一日)z(t)d t s =1一 )一(+E)上述约束条件中微分方程的解为_ 4 ：，、z o N(口 一 E)z 川 将上述 z(t)代人 目标函数 R(c z)中，并利用积分公式：I
10、n(c +C 2)j。一 (L +)J 对 R()的解析式关 J 求导，并令：0，再确定 R()的最值。由P=7 5，=0 1，=0 0 5，d=1，N：1 0 ，E=0 0 8，应用 Ma p l e 数学软件求 解得到如下结果：比例系数 a 0 3 0 0 6 2 3 9 8 8 7(元 月 )；殖场虾 融 、J-(r)5 3 1 3 9 1(斤)；5年的最大利润 尺 8 2 3 9 8 9 3 8 2 9(元)。当 (0)=1 0 时，将 N=1 0 ，a=1，=0 2 7 7 4，=u 0 5，=5 3 1 3 1 9 代人 关系式：z(r)=1 0 N(d f)1 0。d+(d N
11、A N 一1 0 j，)j ，解得 r 1 1 3 6 7 7(月)3 4 1(天)即 当初始虾量为 1 0 斤时，获利最大的开始佩0 的月份为第 1 1 4月。4 3承包 5年捕捞强度 E=0 1(1 月)的一般养殖策略 若某人承包此养殖场 5 年，每月按强度E=0 1 捕捞，使 5 年的总利润最大的养殖策略 的数学模型为：p 6 0 IT I X R(Y()=I 0 7 4 x()一Y()d t 维普资讯 http:/ 工 程 数 学 学 报 第2 O 卷 川 =(1一 )-0 1 5 )此数学模型是一个泛函极值问题，可用变分法求解。对 于 条 件 极 值 的 泛 函 极 值 问 题：Q(
12、y()=j F(，z()，y()，我 们 应 用 拉 格 朗 日乘数法化条件极值为无条件极值问题。引入乘子函数“(t)构造泛函：k(y()，()=j 2 I F(t,x,y)+“()(厂(t,x,y)一 )作哈密尔顿函数 H(t，z，y)：F(t，z，y)+M()厂(t，z，y)。将此问题的数据代入上 式得：H(，z，y)=0 7 4 z()一y()+“()(1 )y()一0 1 5 z()则由欧拉方程 得：些!：一一O H d t a z ：0 口 d x(t)=(1 一 )_0 I 1 5 )用 Ma p le 数学软件，解得：z(t)5 4 9 7 7 5，y(t)1 8 3 1 6 7
13、 故当某人承包养殖场5 年，每月按强度E=0 I(1 B)捕捞时，每月投入1 8 3 1 6 7 元的养殖 费，5年的总利润将最大 参考文献：1 姜启源编 数学模型(第二版)M 北京：高等教育出版社，1 9 9 3 2 刘来福，曾文艺编著 数学模型与数学建模 M 北京：北京师范大学出版社，1 9 9 7 3 魏宗舒 概率论与数理统计教程 M 北京：高等教育出版社，1 9 8 3 4 王高雄等 常微分方程 M 北京：高等教育出版社，1 9 8 3 Th e M a t h e ma t i c a l Mo d e l s o f Mu l t i p l i c a t i o n a n d
14、 Ca t c h o f Aqu a t i c Pr o d u c t s J I AN Gu o mi n g，X U J i n g f e i (1-D e p a r t m e n t o f Ma t h e m a t i c s，S h a o g u a n U n i v e r s i t y，S h a o g u a n 5 1 2 0 0 5；2-D e p a r t me n t o f Ma t h e m a t i c s，G a n n a n T e a c h e r s C o l l e g e，G a n z h o u 3 4 1 0
15、0 0)Ab s t r a c t：I n t h i s p a p e r，i t d e a l s wi t h t h e p r o b l e m o f mu l t i p l i c a t i o n a n d c a t c h o f a q u a t i c p r o d u c t s F i r s t o f a l l，i t e s t a b l i s h e s b a s i c mo d e l s o f n u mb e r s I n a c c o r d a n c e w i t h t h r e e d i f f e r
16、 e n t c a s es，c o r r esp o n d i n g d i f f e r e n t i a l p l a n mo d e l s，i n t e g r a l p l a n mo d e l s a n d c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s mo d e l s a r e s e t u p wi t h t h e me t h o d o f d i f f e r e n t i a t i o n a n d p l a n t h e o r y An d t h e n wo r k t h e
17、 m O U t t O e v e r y c a s e w i t h t h e a p p l i c a t i o n o f d i f f e r e n t i a ti o n a n d c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s a n d Ma p l e(a m a t h e m a t i c a l s o f t)I t g e t s c o r r es p o n d i n g n u mb e r s r e s u l t s Ke y wo r d s：o u t p u t；mu l t i p l i c a t i o n C O S t；mu l t i p l i c a t i o n t a c t i c；c a t c h t a c t i c；mOSt p r o f i t 维普资讯 http:/