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1、3 6中学数学教学2 0 1 4 年第4 期立足通性通法兼顾巧解巧法对一道公开课例题的解法分析与拓展安徽省寿县第一中学梁昌金(邮编：2 3 2 2 0 0)最近，我有幸聆听了我校一位资深教师的数学公开课，主讲内容是高三第二轮复习解析几何专题授课教师力求对解析几何问题求解的常见方法与思想进行梳理，让学生体会到“直线与圆锥曲线位置关系”有关综合问题常用的数学思想与方法、解题的基本规律与技巧等，从而提高综合分析问题和解决问题的能力其中一道解析几何题引起了我的极大兴趣，课后在评课时才知道，这道解析几何题选自安徽省合肥市2 0 1 3 届高三第三次教学质量检测理科数学第2 0 题1原题再现。解法分析题目
2、平面内定点F(1，O)，定直线Z：z=4，P 为平面内动点，作P QJ-z，垂足为Q，且I P Ql 一2P F1(1)求动点P 的轨迹方程；(2)过点F 与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于A、B，线段A B 的垂直平分线交z 轴F p于点R，试判断*是否为定值f D 分析第(1)问属于常规题；第(2)问考查了解析几何的通性通法，并考查了函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想本题是圆锥曲线的一个性质，带有数学探究的意味，在分析问题时要充分挖掘试题的本质，揭示数学问题的精髓，有意识地让学生从特殊到一般去发现结论、推厂命题，既司以使学生享受学习成功的喜悦，也循序
3、渐进地撩开了数学试题的真实面纱，逐渐使学生达到融会贯通的学习境界解(1)点P 的轨迹方程为兰；+荽一1 4J(2)证法1 由条件，直线A B 的斜率必存在(且不为o)，可设A B：y=愚(z 一1)(忌0)，b=愚(z 一1)联立方程组 zzyz，消去y，得(3+434 忌2)z2 8 点2 z+4 忌2 1 2=O，设A(z l，y i)，B(z2，y2)，则z 1+z2=8 愚24 忌2 1 2丽埘一2。i 而矿设A B 中点为D(z。，y。)，知z。=苎L 垒=羔蜘酬一，一番所以线段A B 的垂直平分线方程为y 一蒜一c z 一羔，y 一了干i 矿。一io z 一丁丽几令y _ 0，得z
4、 R=者，l 职I=|，一嘉I 一等等西o 0 7 0 b o c o o o，c o t o K 艺，c o o ：o t c o o o，o o，o o c，；h ，o 0 9 0 c c t o o 心t，)c c c o 心c?o _。，_。c，o ，(上接第3 6 页)最小值、最大值；s。i。=s。=(靠一N)I62+(优+N)口扫，若口上6，则s。i。与l l 无关；s。一s。一是I 口I2+咒I62+2(优一是)n6，卅愚时，S。和口与6 的夹角有关；S。一S。i。一N(一6)2 提出问题已知两个不相等的非零向量n、移，向量_ x。、x 2、x。+。由m 个口和n 个b 排列而成
5、，向量y。、yz、y。+。中的每一个向量均可以是口和6 某一个，记S x 1 J，1+x 2 J，2+x。+。y。+。，问S 有哪些特征?(收稿日期：2 0 1 4 一0 6 1 2)万方数据2 0 1 4 年第4 期中学数学教学3 7而lA BI=1+足2z。一z：一 1+愚2厄忑了五i=筹，故哥一 为触评析从证明过程看，利用的是弦长公式求解直线与圆锥曲线相交所得的弦长，这是最普通、最常见的一种代数方法，但计算量非常大而此题由于弦A B 过椭圆的焦点，那我们的求解是否可以简化呢?利用椭圆第二定义可得过焦点弦长公式：lA BI lP(z。+z：)一2 口I(其中P 为离心率，口为长半轴长)，可
6、以优化上述证法于是有了下述的证法2：证法2前同证法1，故lA BI lP(z，+训-2 nI=等y。一志(z。一1)=志(兰L 翌一1)=丁芊 台，又线段A B 的垂直平分线方程为y y。=一丢(z z。)令y=o，得z R 一是y o+zo，故IF RI Iz R 一1I _|慨圳出y。+警I=等等澈哥=丢为触评析证法2 计算量小了许多，除了选用焦点弦长公式外，另一个小技巧在于垂直平分线的设法，以及求IF RI 时增加了新的中间参数z。，y。，而没有直接像证法1 始终以斜率忌为参数证法3(点差法以斜率点为参数)设A B 方程为y 一是(z 一1)(量0)，A(zl，y 1)，B(z2，y2)
7、，A B 中点D(z。，y o)，则荨+誓=，譬+警=，两式相减，得c z。+z2)(z l z2)+(3，l+y 2)(y l y2)=o因为z l+z2=2 zo，y l+y2 2 yo，所以詈亏一警愚因为D(z。，y。)在A B 上，所以了。一是(zo 一1)由解得z。一F 等，y。=丁i 釜，故线段A B 的垂直平分线方程为一3 愚1，4 愚2、y 一丁丽一一i z 一丁干百矿，3+4 忌2忌、一3+4 忌2 令y=o，得z R=矿等杀，故IF Rl=-l f=等等因IA BI=IP(z l+z2)一2 口I I2 P z o 一2 口l=等等澈哥一 为触评析“点差法”适合于“中点弦”
8、问题，难点在于求弦长IA BI，若选用一般弦长公式IA Bl=1+志2z，一z。I 必须用韦达定理法，此处选择过焦点弦长公式lA Bl=I2 P z。一2 口I(其中P 为离心率，z。为A B 中点的横坐标，口为长半轴长)可以使点差法顺利进行，但以惫为参数，计算量亦然很大证法4(点差法以中点坐标为参数)由证法3 式知志A B 一一导，又线段A B 的鼍y o垂直平分线方程为y y。=一(z z。)令y o，得z R 一志A B y o+zo=一zo+zo=丢z。，所以IF RI=Iz R 一1I l z。一1I=Izo 一41 又IA BI=I2 P z。一2 口I=Iz。一4I，故盟=为触评
9、析此证法比证法3 计算量明显小很多，技巧在于选择点坐标为参数，解析几何问题选择参数不同，计算量也不一样上述方法我们都要求出线段A B 的垂直平分线方程，其实我们求垂直平分线的方程，无非就是为了求出R 点的坐标，那我们能否利用垂直平分线的几何性质直接求出R 点的坐标?证法5(定义法利用垂直平分线的性质)设A(z l，y 1)，B(z2，yz)，R(z，O)，则y；=3(1 一等m；=3(1 一孚)|A BH 如。+训一2 口 一Iz。+z2 8I 万方数据3 8中学数学教学2 0 1 4 年第4 期由IA RI 一|B Rf，得(z z。)2+y 一(z z2)2+y；即2(zl zz)z z；
10、一z；+y；一y；一(z：一z；)一丢(z；一z i)一丢(z；一z；)号z 一丢(z，+z2)故lF R Iz 一1l I 言z，+zz)一1I 一言旧忆剖澈惴=为定值2内化知识，揭示本质对于试题的探究，我们可以引导学生对题目进行变式探究，如条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、拓展探究(命题是否可以拓展)、类比探究等，可使学生形成知识网络化，方法系统化做到举一反三，培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力、探究创新的能力以及灵活多变的思维能力这是一道耐人寻味的好题，在圆满解决了这个问题后，我并没有放弃对该题第(2)问的思考：椭圆荨+等一，脯心率P 一丢，
11、胬一丢，其中一号，这是椭圆等+等一1“独有”还是所有椭圆“共有”?于是我将椭圆推广到一般情况，得到如下的一个椭圆的优美定理：定理1已知椭圆+鲁一1(n 6 o)下。V。的离心率为P，A B 为过焦点F 而不垂直于z 轴的弦，且A B 的垂直平分线交z 轴于点R，则 _ 尉为定值证明与上述题目证法完全类似，此处从略3逆向拓展。深化试题对于定理1，如果A B 不是过椭圆的焦点，也能得到一样的结论吗?即改为过焦点F 为z 轴上一点c(m，。)，还能得到 斜一号吗?经过思考，发现点C 必定是焦点F 于是得到：定理2已知椭圆与+缶一1(n 6 o 的离心率为P，A B 为过点C(m，o)而不垂直于z轴的
12、弦，且A B 的垂直平分线交z 轴于点R，则 酱一号的充要条件是点c 为椭圆焦点4抓住本质。类比拓展得到定理1、定理2 后，我沉浸在幸福的喜悦中，趁胜追击，双曲线、抛物线都是圆锥曲线，考虑到圆锥曲线性质上的一致性，有了椭圆中的结论，作为对问题的深入探究，我考虑是否可以将该命题推广、拓展到双曲线与抛物线上，经过一番鏖战，我又有了惊喜的发现：一21，2定理3已知双曲线与一鲁一1(n o，6 o)的离心率为已，A B 为过点C(m，o)而不垂直于z 轴的弦，且A B 的垂直平分线交z 轴于点R，则 科一号的充要条件是c 点为双曲线焦点定理4已知抛物线y2 2 户z(p o)，A B为过点C(m，O)
13、而不垂直于z 轴的弦，且A B 的垂直平分线交z 轴于点R，则 _ 斜一号的充要条件是C 点为抛物线焦点定理3、定理4 的证法类似于定理1、定理2，此处不再赘述值得说明的是，上述四个定理可统一叙述为：定理5(圆锥曲线统一定理)记圆锥曲线E的离心率为P，A B 为过E 的对称轴(焦点所在的对称轴)上一点C 而不垂直于该对称轴的弦，且A B 的垂直平分线交该对称轴于点R，则 耕一的充要条件是c 点为圆锥曲线E 的焦点5教学感想在高三数学第二轮复习中，如何发挥一节课的最大效果，迅速全面地掌握各种题型的求解方法，是众多高三教师的追求一题多解、一题多变正是高三二轮复习课有效教学的重要方式，这样就可以让学
14、生在探究数学问题的过程中，领悟重要的数学思想与方法，灵活高效地解决数学问题在求解过程中我们既要提倡和重视“通性通(下接第5 2 页)万方数据5 2中学数学教学2 0 1 4 年第4 期一s l n F。s i 一一s l n i 一。o o s i 一s i n 会c c o t 导+o o t 导，c o t 会BCc o t 可o o 可湎t 和导叫2A+B+C+D二：竺二二 二一ns i n 会湎t 导+c o t 导，c o t 会叽同理可证d2 的系数也等于零所以当B+C 7 r 时()成立，由变化的连续性知当B+C=7 r 时()也成立，命题获证另外，由等式c。t 会+c。t 导+
15、c。t 导+c。t 导=A+B A+C B+C8 1 n 丁8 mT8 1 nTA B t Ds l n 虿s l n 虿S 1 n 虿S 1 n 虿t a n 会+t a n 导+t a n 导+t a n 詈=8 1 n T 8 1 n T8 1 n T万1 厂百矿c 0 8 虿c 0 8 虿c 0 8 虿c 0 5 虿厶厶厶可以得到其等价式s i n 会s i n 导s i n 导s i n 导(口+6+c+d)2s m 虿8 m 虿5 1 n 虿s m 虿口十D 十c 十d)门1 厂r 订F 百F 丁一一8 m 丁8 mT 8 mT_o一c。今c。导c。导。导(口一6+。一d)zc 0
16、 8 虿c 0 8 虿c 0 8 虿。0 8 虿口一6 十6 一d)F 口r r 订虿F 丁8 1 nT 8 m T 5 mT一JJ由四边形面积公式，我们得到一个有趣的不等式：4 s 等等岛，c o 虿+c o 虿+c o 虿+c o i当且仅当四边形A B C D 为圆外切四边形时取等号o，o、Z 卜?，、7：7 7、)、)：)7 0 7 o、)=扫0 7 c“Z ，o c o ，o，c 7 o ，7 0，c o c o h 7 0，c o o c，：h ，c 艺h)7 C C C o K ，、，(上接第3 8 页)问题的认识，提炼出解决一类问题的统一性思路、方法”，又要适应学生个性发展，兼
17、顾“巧解巧法”，法，在不断的研究中也能带来很多意外的收获在探努力使每位学生都获得相应的发展究的过程中，不仅能让学生体验探索的快乐，而且能同时要引导学生进行反思探究，启迪学生思使学生加深对问题的认识，并且在平时的解题中有维，引发解题创新，这实质是解题反思性教学的一种意识地对问题进行再研究具体表现著名教育家波利亚说过：“没有一道题是参考文献解决的十全十美的，总剩下一些工作要做，经过充分1戚有建探究性学习的实践与思考 J 福建中学数的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解学，2 0 1 0(4)答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解2蒋瑞龙解析几何中的定值问题 J 中学教答的理解水平”这启示我们，在平时的教学中尤其研，2 0 1 0(7)要注重解题反思，因为解题反思不仅能加深我们对(收稿日期：2 0 1 4 一0 5 2 8)万方数据