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1、第17卷第5期岩石力学与工程学报17(5):5345431998年10月Chinese Journal of Rock Mechanics and EngineeringOct.,1998双孔圆形洞室围岩应力分析的交替法研究*张路青吕爱钟(山东矿业学院土木系泰安271019)摘要利用Schwarz交替法对双孔圆形洞室的围岩应力分析进行了研究。结果表明,完成二次迭代后,就可获得精度很高的满意结果。关键词Schwarz 交替法,双孔圆形洞室,多余面力,二次迭代分类号TU 4511引言地下工程中经常遇到两个平行洞室的开挖问题,当两洞室间距很大时,可以认为两洞室的开挖没有相互影响;当两孔洞间距较近时,
2、孔洞的围岩应力状态就要受到较强的相互影响。两洞室的应力分析,在力学上属双连通域问题,国内外学者一直设法寻找一个行之有效的求解办法。有限单元法是求解该问题的一个常用方法,但有限单元法是一个数值方法,并且单元网格的划分对它的精度影响很大。Schwarz 交替法是一种解析方法,它将双连通域问题归结为一系列的单连通域问题来求解,并且在数学上已证明了 Schwarz 交替法的收敛性。所以,只要该法的收敛速度快,它就可以作为解决双连通域问题的有效工具。从60年代起,国外学者就开始使用 Schwarz 交替法解决一些简单的双连通域问题,文 14 分别对两圆洞室、两椭圆洞室问题进行了计算,但都只完成了一次迭代
3、。迭代一次能否满足工程所需的精度,继续迭代后的精度又可提高多少?这些问题一直没有作出深入的研究。本文以双圆洞室为例得出二次迭代的结果,发现即使当两孔洞相距很近时,也可以获得满意的精度,这将为利用 Schwarz 交替法求解两任意形状洞室的应力分析打下基础。2交替法求解围岩应力的基本过程Schwarz 交替法的求解过程是这样的 5:首先在岩石中挖出第1个孔(图1),则可利用柯西积分法获得应力解。此时第2个孔虽未开挖,但其周边的应力可以求出。再挖第2个孔,即在此孔周边作用相应的平衡外力(以后称反面力)使孔边外载为零。如果设想此时第1997年7月11日收到来稿。*山东省自然科学基金资助项目(Q96A
4、05110)。作者 张路青 简介:男,25岁,硕士,1995年毕业于山东矿业学院土木系矿建专业,现于中国科学院地质研究所攻读博士学位,主要从事水文地质与工程地质方面的工作。1个孔未挖,则也是一个单连通域问题,可以求出在第2个孔周边的反面力作用下第1个孔周边的应力。如果这样算出的第1个孔周边面力为零分布,这两次计算结果叠加就相当于两孔都存在时的精确解答;如果不为零,则要在第1个孔周边加上一组平衡面力,使第1个孔周边的合面力为零。第一组平衡面力又引起第2个孔(设想第2个孔未挖)周边处的应力,这样反复做下来,直到两孔边的面力均为零,把每次计算结果叠加起来,就得原问题的解。实际上,由于迭代次数有限,只
5、能使一个孔边的面力为零,使两个孔边的面力均为零是不可能的。由于每次每个孔上所施加的都是平衡面力,所以随着迭代的进行,第1次所要施加的平衡面力(以后称不等于零的面力为多余面力)将越来越小,当小到一定程度时,就可以得到精度很高的解析解。本文定义每加1次反面力求解单连通域问题为完成一次迭代。3围岩应力分析的基本公式当地下洞室埋置深度与孔径相比很大时,可以不考虑重力梯度的影响,把重力作用化为无限远处作用有 P1,P2的外载来求解。为使求解的迭代结果具有一般性,决定两孔相对位置的 C 矢量可随意指定,如图1所示。图1中:图1双圆洞室计算示意图Fig.1Calculating diagram for tw
6、ocircular holesP1 水平原岩地应力;P2 垂直原岩地应力;Z1X1O1Y1坐标系下坐标;Z2X2O2Y2坐标系下坐标;C 孔 2圆心与孔 1 圆心相对位置。由于利用复变函数解法,所以Z1,Z2,C 都用复数表示。在迭代过程中,需要进行坐标系变换。本文算例属坐标系平移 Z1=Z2+C,坐标系平移前后两复应力函数之间变换关系 5为?2(Z2)=?1(Z2+C)(1)?2(Z2)=?1(Z2+C)+C?1(Z2+C)(2)由于常数不影响应力结果,分别对式(1),(2)左右积分并舍去积分常数,可以得到变换关系为?2(Z2)=?1(Z2+C)(3)?2(Z2)=?1(Z2+C)+C?1(
7、Z2+C)(4)类似地,可以得出从 X2O2Y2坐标系平移至 X1O1Y1坐标系时两复应力函数的变换关系为?1(Z1)=?2(Z1-C)(5)?1(Z1)=?2(Z1-C)-C?2(Z1-C)(6)式中:?1(Z1),?1(Z1)为X1O1Y1坐标系下的两复应力函数;?2(Z2),?2(Z2)为 X2O2Y2坐标系下的两复应力函数。有了上述关系后,就可以利用 Schwarz 交替法对双孔圆形洞室问题进行迭代求解。535第17卷第5期张路青等.双孔圆形洞室围岩应力分析的交替法研究第一次迭代过程为:首先求出 P1,P2作用下只存在孔 1 的解,此时两解析函数为?11(Z1),?11(Z1);?11
8、(Z1)与?11(Z1)在X2O2Y2坐标系下为?12(Z2),?12(Z2),由于孔 1 的开挖而在孔 2周边产生的多余面力为 f12(t2)=?12(t2)+t2?12(t2)+?12(t2);为满足孔 2的孔边应力边界条件必须加上反面力-f12(t2),进而解出在-f12(t2)作用下只存在孔2的解?22(Z2),?22(Z2),利用坐标变换 Z2=Z1-C 得到?22(Z2),?22(Z2)在X1O1Y1坐标系下的结果分别为?21(Z1),?21(Z1)。至此完成完整的一次迭代,得到如下结果:?11(Z1)=A Z12-Br21Z1(7)?11(Z1)=BZ1-A r21Z1-Br41
9、Z31(8)?21(Z1)=Br21(C)2(r22C)3(Z1-C+r22C)2-3(r22C)2Z1-C+r22C-Br22Z1-C+A r21r22Z1-C+C+Br41(r22Z1-C+C)3-BCr21(r22Z1-C+C)2(9)?21(Z1)=-Br22Z1-C+Br21r22Z1-C+C-Br21r22(Z1-C)C2-r22Z1-C?21(Z1)-C?21(Z1)(10)式中:A=-P1+P22,B=P1-P22(本文应力以压为正,以拉为负)。第一次迭代后总的应力结果为?1(Z1)=?11(Z1)+?21(Z1)(11)?1(Z1)=?11(Z1)+?21(Z1)(12)第二
10、次迭代在第一次迭代的基础上继续进行,由?1(Z1),?21(Z1)在孔1周边产生的多余面力为f21(t1)=?21(t1)+t1?21(t1)+?21(t1)。为使孔 1 周边满足应力边界条件,在孔1 周边作用反面力-f21(t1),进而求出反面力-f21(t1)作用下只有孔 1 的解?31(Z1),?31(Z1),则第二次迭代后总的应力结果为?1(Z1)=?11(Z1)+?21(Z1)+?31(Z1)(13)?1(Z1)=?11(Z1)+?21(Z1)+?31(Z1)(14)式中的?31(Z1),?21(Z1)是经过复杂的推导而来的,本文只列出结果:?31(Z1)=A r22r21Z1-C-
11、Br21r22r21Z1-C+C+Br21r22C2(r21Z1-C)+(r22r21Z1-C+C)?Br21C23(r22C)2(r21Z1-C+r22C)2-2(r22C)3(r21Z1-C+r22C)3+Br22(r21Z1-C)2+536岩石力学与工程学报1998年Ar21r22(r22r21Z1-C+C)2(r21Z1-C)2+3Br41r22(r22r21Z1-C+C)4(r21Z1-C)2-2BCr21r22(r22r21Z1-C+C)3(r21Z1-C)2-3Br21r42C2(CC-r22)2(r21CCC-r22)3(Z1-r21CCC-r22)2+3(r21CCC-r22
12、)2(Z1-r21CCC-r22)-2Br21r62C2(CC-r22)3?(r21CCC-r22)4(Z1-r21CCC-r22)3+4(r21CCC-r22)3(Z1-r21CCC-r22)2+6(r21CCC-r22)(Z1-r21CCC-r22)-Br22C2(r21C)3(Z1-r21C)2+3(r21C)2Z1-r21C-Ar21r22(CC-r2)2(r21CCC-r22)3(Z1-r21CCC-r22)2+3(r21CCC-r22)2Z1-r21CCC-r22+3Br41r22(CC-r22)4C2Z1-Z31(r21-CZ1)2(Z1-r21CCC-r22)4+2BCr21r
13、22(CC-r22)3CZ41-r21Z31(Z1-r21CCC-r22)3-CZ1(15)?31(Z1)=Br21C23(r22C)2(r21Z1-C+r22C)-(r22C)3(r21Z1-C+r22C)2+Br22r21Z1-C-A r21r22r21Z1-C+C-Br41(r22r21Z1-C+C)3+BCr21(r22r21Z1-C+C)2-r21Z1?21(0)-r21Z1?31(Z1)(16)第二次迭代完成之后,孔1周边的应力边界条件(零面力)精确满足,孔2周边存在多余面力。有了式(11)(14),可根据式(17),(18)求出围岩内任一点的应力分量。?r+?=4Re?1(Z1)
14、(17)?-?r+2i?r?=2 Z1?1(Z1)+?1(Z1)e2i?(18)式中:?r,?,?r?分别为径向应力,环向应力,剪切应力;?的含义见图1。4收敛精度的讨论为方便精度分析起见,取 r1=r2=1.5m,并使两孔洞圆心在同一水平线上。又因为孔洞近距离情况下是我们关心的内容,取孔距为4.0m,此时两孔内侧两点距离为1.0m。本文从以下3个方面对一次迭代和二次迭代的应力计算结果进行精度分析。4.1由孔边多余面力来衡量迭代结果的精度孔边多余面力包括孔边多余的?r和?r?。由前面分析可知,孔边存在的多余面力使迭代结果与精确解不一致。要使孔边的多余面力绝对为零面力是不可能的,也是没有必要的。
15、537第17卷第5期张路青等.双孔圆形洞室围岩应力分析的交替法研究由以下计算结果可知:当孔边多余面力足够小时,计算得到的围岩应力就接近精确解。表1,2给出了在P1=P2=20MPa 时孔边不同点的应力值,表1给出的是一次迭代在孔1周边有多余面力的结果,表2给出的是二次迭代在孔2周边有多余面力的结果。由于对称性,表中只给出了两孔上半部分孔边各点的计算结果,并由于孔边位置分别以X1,X2轴正向逆时针算起,所以把表1中的孔边位置0 180 分别与表2的孔边位置180 0 相对应。表1一次迭代在孔1周边各点的应力状态Table1The stress components on the boundary
16、 of hole1for the first iterationMPa应力孔边位置/()0306090120150180?r-1.680.763.462.490.91-0.12-0.45?48.3043.0938.3138.7340.1841.1641.49?r?0.004.421.82-0.78-1.34-0.860.00表2二次迭代在孔2周边各点的应力状态Table2The stress components on the boundary of hole2for the second iterationMPa应力孔边位置/()1801501209060300?r2.950.660.220
17、.550.640.650.64?70.2741.6226.9832.9240.2244.6346.05?r?0.000.48-0.53-0.47-0.25-0.100.00由于本算例具有几何对称性和荷载对称性,故可将第一次迭代与第二次迭代所得到的孔边应力直接进行精度比较。本文根据孔边各点面力绝对值的均值来判定迭代的收敛效果;多余面力绝对值的均值反映了与实际零面力的差距,这个值越小说明迭代结果越接近精确解。把多余面力绝对值的均值分别记为?r和?r?。由表 1,表2 可知,第一次迭代:?r1=1.41MPa,?r?1=1.32MPa;第二次迭代:?r2=0.90MPa,?r?2=0.26MPa,由
18、此可得:?r2/?r1=0.64,?r?2/?r?1=0.20。可见第二次迭代要比第一次迭代更接近实际的孔边应力边界条件(?r=?r?=0)。由表 2 可以看出,对第二次迭代,多余面力与外荷载 P1=P2=20MPa 相比已经很小,这间接地说明了二次迭代计算结果已足够精确。4.2多余面力对围岩应力状态的影响程度如果多余面力的变化对围岩应力状态的影响不大,这时才可以有充分的理由说二次迭代的结果已接近于精确解。由于孔边的?是人们最关心的,在迭代过程中变化也是最大的,所以本文只考虑多余面力对孔边?的影响程度。一次迭代和二次迭代孔边多余面力绝对值的均值分别记为?r1,?r?1和?r2,?r?2,则两次
19、迭代的变化量分别为?r2-?r1?和?r?2-?r?1?。多余面力的变化必定会引起孔边切向应力?的变化。若两次迭代孔边切向应力的均值分别记为?1和?2,则下面两个指标:538岩石力学与工程学报1998年F?r=?2-?1?r2-?r1?,F?r?=?2-?1?r?2-?r?1?可以反映多余面力的变化对孔边切向应力?变化的影响程度。前者表示孔边?r单位变化量引起孔边?的变化量;后者表示孔边?r?单位变化量引起孔边?的变化量。对于本算例,F?r=3.20,F?r?=1.54。由此可以计算出二次迭代后 2 个多余面力所引起的?变化量分别为2.88MPa,0.40MPa,与最大切向应力(70.27MP
20、a)相比已足够精确。既然多余面力的变化对变化显著的孔边?影响很小,那么它对稍远处的围岩应力影响将会更小。由前面分析得出二次迭代结果的多余面力已很接近零面力的结论,此时,我们有充分的理由说:二次迭代已有很高的精度,围岩应力接近精确解。4.3利用对称性来检验迭代结果的精度如图2所示,两孔半径 r1=r2=1.5m,孔心在同一水平线上,且孔心相距4.0m,无限远处作用荷载 P1=P2=20MPa。由于该问题的几何边界,荷载条件都关于-轴对称,所以两孔最终的应力状态也应关于-轴对称,但由于多余面力的存在会使所得结果并非关于-轴对称。孔边多余面力越接近零面力,-轴两侧的非对称性就会越来越弱,而对称性就会
21、越来越强。于是,可以利用对称性的好坏来检验迭代结果的精度。由于应力集中通常发生在孔边的应力分量?,离孔越远,孔的存在对应力状态的影响就会越小。也就是说,多余面力对孔边的?影响最大,孔边?的对称性也最差,因此本文把对称性最差的孔边?作为考察对象。如图2所示,孔边相同编号的点是关于-轴对称的点,表 3,4 分别给出了一次迭代和二次迭代时对称点的应力分量?。从表3和表4所列出的?1-?2?大小可以看出,二次迭代结果要比一次迭代结果在孔边的对称性提高数倍,对称性的提高直接说明了二次迭代精度的提高。本文对其他几何边界、荷载条件下的情况进行了计算,都得到了二次迭代精度大大高于一次迭代的结论。表3一次迭代时
22、对称点的应力分量?Table 3The tangent stress?of symmetrical points for the first iterationMPa孔号编号12345678孔148.3939.8238.7340.7541.4940.7538.7339.82孔268.8028.2332.5742.7045.9542.7037.5728.23?1-?2?20.4111.596.161.954.461.956.1611.59表4二次迭代时对称点的应力分量?Table 4The tangent stress?of symmetrical points for the second i
23、terationMPa孔号编号12345678孔162.2336.4134.6243.0246.0343.0234.6236.41孔270.2729.8932.9242.8246.0542.8232.9229.89?1-?2?8.046.521.700.200.020.201.706.52539第17卷第5期张路青等.双孔圆形洞室围岩应力分析的交替法研究图2孔和外载关于-轴对称时的孔边对称点(45 间隔)Fig.2Symmetrical points(interval 45)onthe boundary of two holes with the symmetricalaxis of hole
24、s and load-图3 P1=10MPa,P2=20MPa,r1=r2=1.5m,C=(5.0,0.0)情形下二次迭代围岩应力状态Fig.3The stress condition of surroundingrock with P1=10MPa,P2=20MPa,r1=r2=1.5m,C=(5.0,0.0)以上结论是在两孔孔心位置矢量 C=(4.0,0.0)的情形下得到的,随两孔孔心距离的加大,精度将会更高。5不同条件下的围岩应力状态利用二次迭代的两复应力函数,可以计算得到在各种几何条件、荷载条件下两圆形洞室的围岩应力。从计算结果看出:由于孔的存在使孔边部分点有不同程度的应力集中,随着离
25、孔距离的增加,围岩应力状态很快趋近于原岩应力;对几何对称、荷载对称下的两孔洞室,计算得到的围岩应力状态满足关于-轴对称的精度要求(图3)。随着荷载、孔径、孔心相对位置的改变,孔边应力集中的位置和大小也要发生改变。表5,6列出的是两孔洞室在不同荷载下孔边对应点?的变化。由表中数据可以发现,随侧表5r1=r2=1.5m,C=(5.0,0.0)时两孔洞室孔边应力分量?Table5The tangent stress?on the boundary of two holes with r1=r2=1.5m,C=(5.0,0.0)MPa对应点荷载P1=5P2=20P1=10P2=20P1=20P2=20
26、P1=20P2=10P1=20P2=5孔1孔2孔1孔2孔1孔2孔1孔2孔1孔2孔1孔2018060.1559.2357.6157.7052.5354.9021.1924.565.519.399090-4.38-4.098.988.8735.7034.7844.5743.3049.0047.56180057.7457.5153.2153.1044.1744.2913.0413.33-2.53-2.15270270-4.38-4.098.988.8735.7034.7844.5743.3049.0047.56540岩石力学与工程学报1998年表6r1=1.5m,r2=2.0m,C=(5.0,0.0
27、)时两孔洞室孔边应力分量?Table 6The tangent stress?on the boundary of two holes withr1=1.5,r2=2.0m,C=(5.0,0.0)M Pa对应点孔1孔2荷载P1=5P2=20P1=10P2=20P1=20P2=20P1=20P2=10P1=20P2=5孔1孔2孔1孔2孔1孔2孔1孔2孔1孔2018068.7861.7366.5761.3962.1560.7126.6529.688.9014.169090-4.12-4.978.088.6132.4835.7640.6445.0344.7249.66180060.2657.5655
28、.9952.9547.4643.7215.2012.63-0.93-2.91270270-4.12-4.978.088.6132.4835.7640.6445.0344.7249.66图4 P1=5MPa,P2=20MPa,C=(5.0,0.0)时两孔间拉应力区Fig.4The tensile zone withP1=5MPa,P2=20MPa,C=(5.0,0.0)图5 P1=20MPa,P2=5MPa,C=(5.0,0.0)时两孔间拉应力区Fig.5T he tensile zone withP1=20MPa,P2=5MPa,C=(5.0,0.0)图6 P1=5MPa,P2=20MPa,C
29、=(3.0,4.0)时两孔间拉应力区Fig.6The tensile zone with P1=5MPa,P2=20MPa,C=(3.0,4.0)图7 P1=20MPa,P2=5MPa,C=(3.0,4.0)时两孔间拉应力区Fig.7T he tensile zone with P1=20MPa,P2=5MPa,C=(3.0,4.0)541第17卷第5期张路青等.双孔圆形洞室围岩应力分析的交替法研究应力系数(P1/P2)的加大,最大应力集中的位置由两孔边内侧两点转向上下顶底部位;在等径孔情况下,两孔边对应点?的微小差别是孔2周边的多余面力所引起(表5),在不等径孔情况下,两孔边对应点?的不同主
30、要是由于孔径的不同所引起的(表6)。从表5,6还可发现,在侧应力系数很小的情况下,两孔的上下顶底4个区域出现拉应力区,最大拉应力在上下4个孔边顶点上;在侧应力系数很大的情况下,两孔外侧两个区域出现拉应力区,最大拉应力发生在外侧2个孔边顶点上。对于孔心不在同一水平线或竖直线上时,拉应力出现的位置和最大拉应力值有所不同。图47表示出了 r1=r2=1.5m 的两孔洞室在不同荷载和孔心位置时拉应力区出现的位置和最大拉应力值;因最大拉应力值只发生在孔边,所以图中表示?最大值的位置以 X1,X2轴正向逆时针转角来计算。6结论(1)当两孔洞室相距很近时,由一次迭代求出的围岩应力不能满足精度要求,其结果与精
31、确解相差甚远。(2)二次迭代结果的精度远远高于一次迭代结果的精度,即使在两孔相距很近的情况下,二次迭代仍然有很高的精度。(3)由于岩石的抗拉强度小,为了维护围岩,必须知道拉应力出现的位置和大小,利用本文所给出的二次迭代结果可以准确地找到各种条件下拉应力出现的位置和大小,为工程的开挖和支护提供依据。(4)两孔洞室的空间位置不同,所产生的拉应力区和最大拉应力值也不同。由图47可见,当孔心布置不在同一水平线或竖直线上时(图6,7),孔边拉应力区范围和最大拉应力值要比同一水平线或竖直线上两孔洞室(图4,5)大得多。(5)本文利用 Schwarz 交替法对双圆洞室围岩应力分析进行了研究,为求解两个任意形
32、状洞室的应力分析奠定了基础。参考文献1Salerno V L,Mahoney J B.Stress solution for an infinte plate containing two arbirary circular holes under equal biax-ial stresses.Journal of Engineering for Industry,T rans,ASME,Series B,1968,90:4194262Ukadgaonker V G.Stress analysis of a plate containing two circular holes having
33、 tangential stresses.AIAA Journal,1980,18:1251283Kim T J,Ukadgaonker V G.Plane stress analysis of two rigid circular inclusions.AIAA Journal,1971,9:229422964Ukadgaonker V G.Interaction effect of two arbitranily oriented crackspart I.Int.Journal of Fracture,1991,51:2192305陈子荫.围岩力学分析中的解析方法.北京:煤炭工业出版社,
34、1994542岩石力学与工程学报1998年STUDY OF ALTERNATION METHOD FOR STRESS ANALYSISON SURROUNDING ROCKS OF TWO CIRCULAR HOLESZhang LuqingLu Aizhong(Shandong Institute of Mining and Technology,Taian271019)AbstractStress analysis is made for the surrounding rocks of two circular holes usingSchwarz s alternating methods.By calculating,it is found that the satisfying results withhigh precision can be acquired after the second iteration.Key wordsSchwarz s alternating methods,two circular holes,the residual surface force,the second iteration543第17卷第5期张路青等.双孔圆形洞室围岩应力分析的交替法研究