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1、第18讲 二阶电路1本讲稿第一页，共四十二页第七章第七章 二阶电路二阶电路7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡7-2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析2本讲稿第二页，共四十二页本章教学要求本章教学要求l1、了解二阶电路的基本概念；、了解二阶电路的基本概念；l2、了解二阶电路的一般分析方法。、了解二阶电路的一般分析方法。重点重点 RLC串联串联二阶电路的全响应二阶电路的全响应难点难点 微分方程求解微分方程求解3本讲稿第三页，共四十二页第七章第七章 二阶电路二阶电路二阶电路：用二阶微分方程
2、描述的电路。二阶电路：用二阶微分方程描述的电路。二阶电路的特点：电路中的元件除电阻外，一般含有二阶电路的特点：电路中的元件除电阻外，一般含有二个电感或电容或各一个电感和电容。二个电感或电容或各一个电感和电容。分析二阶电路的方法：首先建立描述电路的二阶微分分析二阶电路的方法：首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。所以，方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。必要的数学基础是必不可少的。4本讲稿第四页，共四十二页7.1 LC振荡电路振荡电路1、LC振荡回路的电量振荡回路的电量 根据图中的参考方根据图中的参考方向，容易得出：向，容易得出：
3、根据正弦函数、余弦函根据正弦函数、余弦函数的求导公式及电路的数的求导公式及电路的初始值，不难得出：初始值，不难得出：LCLC振荡回路振荡回路 结论：具有初始储能的无损耗结论：具有初始储能的无损耗LC电路，将产生按正弦电路，将产生按正弦方式变化的等幅振荡。方式变化的等幅振荡。5本讲稿第五页，共四十二页2、LC振荡回路的能量振荡回路的能量 LC回路的总瞬时储能回路的总瞬时储能 结论：无损耗结论：无损耗LC回路所储存的能量，将以磁场和电场的形回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式在电感和电容之间相互交换，永不消失。式在电感和电容之间相互交换，永不消失。LCLC振荡回路振荡回路 LC回路的初始储能回路
4、的初始储能6本讲稿第六页，共四十二页7.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7.2.1 RLC串联电路的数学描述串联电路的数学描述KVL方程方程 元件元件VCR 代入后变换得：代入后变换得：7本讲稿第七页，共四十二页这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，令的零输入响应，令uS(t)=0，得二阶齐次微分方程，得二阶齐次微分方程 其特征方程为其特征方程为 由此解得特征根由此解得特征根 8本讲稿第八页，共四十二页特征根决定电路的响应特点，其实部决定电路特征根决定电路的响应特点，其实部决定电路能量衰减的快慢，虚部
5、决定电路振荡的频率。能量衰减的快慢，虚部决定电路振荡的频率。1 时，时，s1,s2为不相等的负实根。为不相等的负实根。2 时，时，s1,s2 为共轭复数根。为共轭复数根。3 时，时，s1,s2 为相等的负实根。为相等的负实根。当电路元件参数当电路元件参数R,L,C的量值不同时，特征根的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：可能出现以下三种情况：9本讲稿第九页，共四十二页1、当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过、当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；阻尼的；3、当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界、当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的。阻尼的。2、当两个特征
6、根为共轭复数根时，称电路是欠阻、当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的；尼的；令令 ，由于由于Rd 具有电阻的量纲，是阻尼状态的分界具有电阻的量纲，是阻尼状态的分界标准，故称为阻尼电阻。标准，故称为阻尼电阻。10本讲稿第十页，共四十二页7.2.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应1、过阻尼响应、过阻尼响应条件：条件：电路的固有频率电路的固有频率s1,s2不相同的实数，齐次微分方程的解不相同的实数，齐次微分方程的解为：为：式中的常数式中的常数A1，A2由初始条件确定。令上式中的由初始条件确定。令上式中的t=0+得得 对对uC(t)求导，再令求导，再令t=0+得得 11本讲稿第
7、十一页，共四十二页联立求解，可得联立求解，可得:将将A1，A2代入代入uC(t)得到电容电压的零输入得到电容电压的零输入响应，再利用响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得可以得到电感电流的零输入响应。到电感电流的零输入响应。12本讲稿第十二页，共四十二页当当uC(0+)=U0,iL(0+)=0时时t 013本讲稿第十三页，共四十二页例例1 已已知知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求求uC(t)和和iL(t)的的零零输输入响应。入响应。则有：则有：解：由解：由R,L,C的值，计算出特征根的值，计算出特征根14本讲稿第十四页，共四十二页
8、利用初始值利用初始值uC(0+)=2V和和iL(0+)=1A，得，得：解得解得:K1=6和和K2=-4最后得到电路的零输入响应为最后得到电路的零输入响应为 15本讲稿第十五页，共四十二页过阻尼响应曲线（波形图）过阻尼响应曲线（波形图）uC20tiL10t16本讲稿第十六页，共四十二页从波形可看出，在从波形可看出，在t0以后，电感电流以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感零时，电容电压
9、达到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大变为磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。能全部消耗完为止。物理过程物理过程uC20tiL10t17本讲稿第十七页，共四十二页2、临界阻尼响应、临界阻尼响应条件条件 固有频率固有频率s1,s2相同的实数相同的实数s1=s2=-。齐次解。齐次解 式中常数式中常数K1
10、,K2由初始条件由初始条件iL(0+)和和uC(0+)确定。确定。对对uC(t)求导，再令求导，再令t=0+,得到得到 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 令令t=0+得到得到 18本讲稿第十八页，共四十二页代入代入uC(t)表达式，得到电容电压的零输入响应，再利表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入可以得到电感电流的零输入响应。响应。当当uC C(0(0+)=)=U0 0,iL L(0(0+)=)=0 0时时19本讲稿第十九页，共四十二页例例2 已已知知R=1,L=0.25H,C=1F,uC(0+)=-
11、1V,iL(0+)=0，求求电电容电压和电感电流。容电压和电感电流。利用初始值，得利用初始值，得则有：则有：解：先求特征根解：先求特征根20本讲稿第二十页，共四十二页求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2。电感的电流为：电感的电流为：电容的电压为：电容的电压为：21本讲稿第二十一页，共四十二页临界阻尼响应曲线临界阻尼响应曲线iL0t物理过程：物理过程：电感初始储能为电感初始储能为0，电容放电，一部分能量，电容放电，一部分能量变成磁场能量，另一部分被电阻消耗；电感储能达到最变成磁场能量，另一部分被电阻消耗；电感储能达到最大值后，电容、电感都释放能量，这些能量全部
12、消耗到大值后，电容、电感都释放能量，这些能量全部消耗到电阻上，直至耗尽。电阻上，直至耗尽。uC-10t22本讲稿第二十二页，共四十二页3、欠阻尼响应、欠阻尼响应条件条件 特征根特征根s1,s2为两个共轭复数根，即：为两个共轭复数根，即：其中其中 23本讲稿第二十三页，共四十二页齐次微分方程的解为：齐次微分方程的解为：(用欧拉公式用欧拉公式)式中式中 由初始条件由初始条件iL(0+)和和uC(0+)确定常数确定常数K1,K2后，可后，可以得到电容电压的表达式，再利用以得到电容电压的表达式，再利用KCL和和VCR方程，可以得到电感电流的表达式。方程，可以得到电感电流的表达式。24本讲稿第二十四页，
13、共四十二页例例3已知已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输，求电容电压和电感电流的零输入响应。入响应。于是有于是有 利用初始值利用初始值uC(0+)=3V和和iL(0+)=0.28A得得:解：先求特征根解：先求特征根25本讲稿第二十五页，共四十二页解得解得 K1=3和和K2=4。电容电压和电感电流的表达式分别为：电容电压和电感电流的表达式分别为：26本讲稿第二十六页，共四十二页(a)=3的电容电压波形的电容电压波形 (b)=3的电感波形的电感波形(c)=0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d)=0.5的电感电流的波形
14、的电感电流的波形欠阻尼波形图欠阻尼波形图27本讲稿第二十七页，共四十二页物理过程物理过程：欠阻尼情况的特点是欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之能量在电容与电感之间交换，形成衰减振间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。曲线衰减越慢。本例中，当电阻由本例中，当电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变变为为0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无
15、衰减的等幅振荡。电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。28本讲稿第二十八页，共四十二页例例4 已已知知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求求电电容电压和电感电流的零输入响应。容电压和电感电流的零输入响应。则：则：利用初始条件得：利用初始条件得：解：先求特征根：解：先求特征根：29本讲稿第二十九页，共四十二页解得：解得：K1 1=3=3和和K2 2=1.4=1.4，得电容电压和电感电流，得电容电压和电感电流的零输入响应的零输入响应 波形图波形图 30本讲稿第三十页，共四十二页 当电阻为0时，由于电路中没有损耗，能量在电容由于电路中没有损耗，能量在电容
16、和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。物理过程物理过程 电容电压和电感电流的相位差为电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为，当电容电压为零时，电场储能为零，此时电感电流达到最大值，全部能量零时，电场储能为零，此时电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零时，磁场储能为零，此时储存于磁场中；而当电感电流为零时，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。31本讲稿第三十一页，共四十二页RLC二阶电路的零输入响应一揽二阶电路的零输入响应一揽32本讲稿第三十二页
17、，共四十二页1.过过阻阻尼尼情情况况，s1和和s2是是不不相相等等的的负负实实数数，响响应应按按指指数数规规律律衰减。衰减。2.临临界界阻阻尼尼情情况况，s1=s2是是相相等等的的负负实实数数，响响应应按按指指数数规规律律衰衰减。减。3.欠欠阻阻尼尼情情况况，s1和和s2是是共共轭轭复复数数，响响应应是是振振幅幅随随时时间间衰衰减减的的正正弦弦振振荡荡，其其振振幅幅随随时时间间按按指指数数规规律律衰衰减减，衰衰减减系系数数 越越大大，衰衰减减越越快快。衰衰减减振振荡荡的的角角频频率率 d 越越大大，振振荡荡周周期期越越小小，振振荡荡越越快快。图图中中按按Ke-t画画出出的的虚虚线线称称为为包包
18、络络线线，它它限限定了振幅的变化范围。定了振幅的变化范围。4.无无阻阻尼尼情情况况，s1和和s2是是共共轭轭虚虚数数，=0，振振幅幅不不再再衰衰减减，形形成角频率为成角频率为 0的等幅振荡。的等幅振荡。可可以以推推断断，当当特特征征根根的的实实部部为为正正时时，响响应应的的振振幅幅将将随随时时间间增增加加，电电路路是是不不稳稳定定的的。也也就就是是说说，只只有有当当特特征征根根具具有有负负实部时，电路才是稳定的。实部时，电路才是稳定的。33本讲稿第三十三页，共四十二页7.3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 1、直流激励的、直流激励的RLC串联电路串联电路 对于直流激励的对于直流激励的R
19、LC串联电路，串联电路，当当uS(t)=US时，可以利用初始条件时，可以利用初始条件uC(0+)=U0和和iL(0+)=I0来求解以下来求解以下非齐次微分方程非齐次微分方程,从而得到全响从而得到全响应。应。电路的微分方程：电路的微分方程：34本讲稿第三十四页，共四十二页2、RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成的特解之和组成 电路的特征根为电路的特征根为 当当s1 s2时，对应齐次微分方程的通解为时，对应齐次微分方程的通解为 特解为特解为 35本讲稿第三十五页，共四十二页全响应为全响应为 利用初始条
20、件，可以得到利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数联立求解，得到常数K1和和K2后，就可得到电容后，就可得到电容电压的全响应，再利用电压的全响应，再利用KCL和电容元件和电容元件VCR可以求得电感电流的全响应。可以求得电感电流的全响应。36本讲稿第三十六页，共四十二页类似地，当类似地，当s1=s2时，全响应为时，全响应为 求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似：于是，电容电压确定。再根据元件的于是，电容电压确定。再根据元件的VCR或或KVL，计算其它响应。计算其它响应。37本讲稿第三十七页，共四十二页类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为
21、 求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似：类似地，可根据元件的类似地，可根据元件的VCR或或KVL计算其它响应。计算其它响应。38本讲稿第三十八页，共四十二页7.4 GCL并联电路分析并联电路分析 RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程 GCL并联电路的微分方程并联电路的微分方程 提示：提示：GCL并联电路并联电路的分析，可以应用对偶的分析，可以应用对偶规则，通过与规则，通过与RLC串串联电路的对偶关系求联电路的对偶关系求得。得。39本讲稿第三十九页，共四十二页其特征方程为其特征方程为 解得特征根解得特征根 对偶地，特征根可能出现以下三种情况：对偶地，特征根可能出现以下三种
22、情况：1、时，时，s1,s2为不等的负实数。为不等的负实数。2、时，时，s1,s2为相等的负实数。为相等的负实数。3、时，时，s1,s2是实部为负的共轭复数。是实部为负的共轭复数。40本讲稿第四十页，共四十二页 同样地，当两个特征根为不相等的负实数时，同样地，当两个特征根为不相等的负实数时，称电路是过阻尼的；称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的负实数时，称电路当两个特征根为相等的负实数时，称电路是临界阻尼的；是临界阻尼的；当两个特征根为实部为负的共轭复数时，称当两个特征根为实部为负的共轭复数时，称电路是欠阻尼的。电路是欠阻尼的。这三种情况响应的计算方法和公式与这三种情况响应的计算方法和公式与RLC串联电路完全对偶。串联电路完全对偶。41本讲稿第四十一页，共四十二页课外作业课外作业 P262 7-2，7-6END42本讲稿第四十二页，共四十二页