第7章相平面法精选文档.ppt

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1、第7章 相平面法1本讲稿第一页，共九十六页 相平面法是分析非线性系统的另一种常用的方法，相平面法是分析非线性系统的另一种常用的方法，主要用于分析非线性系统的响应性能主要用于分析非线性系统的响应性能 相平面的相平面的“相相”是指相变量。相变量是一组特定的是指相变量。相变量是一组特定的“状态变量状态变量”状态变量是指状态变量是指“足以完全表征系统运动状态的最小个足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量数的一组变量”2本讲稿第二页，共九十六页 例如图所示的二阶线性控制系统例如图所示的二阶线性控制系统y(t)y(t)和和 c(t)c(t)是一是一组状态变量，组状态变量，e(t)e(t)和和 y(t

2、)y(t)也是一组状态变量。可也是一组状态变量。可见，状态变量是不唯一的见，状态变量是不唯一的 其中其中y(t)y(t)与与c(t)c(t)两个状态变量之间满足导函数关两个状态变量之间满足导函数关系系 将相变量定义为满足导函数关系的一组状态变将相变量定义为满足导函数关系的一组状态变量。显然，相变量也不唯一量。显然，相变量也不唯一 相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统3本讲稿第三页，共九十六页4本讲稿第四页，共九十六页 图图c c是响应的时域曲线，图是响应的时域曲线，图b b是它的导函数曲线，图是它的导函数曲线，图a a是以是以t t为参变量为参变量,将输出响应特

3、性及其导函数特性绘在将输出响应特性及其导函数特性绘在相平面上的曲线相平面上的曲线-输出响应特性的输出响应特性的“相轨迹相轨迹”曲线曲线 输出特性上既包含输出量大小的信息，也包含它的输出特性上既包含输出量大小的信息，也包含它的导函数信息，特性上点的切线斜率就是该点的导数导函数信息，特性上点的切线斜率就是该点的导数 结论：结论：控制系统的输出响应性能可由它的相轨迹控制系统的输出响应性能可由它的相轨迹来获得，由响应特性曲线来获得，由响应特性曲线c(t)c(t)可读得响应的最大超可读得响应的最大超调量、延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间调量、延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间等时域指标等时域指

4、标5本讲稿第五页，共九十六页 相平面法相平面法 一种求解二阶常微分方程的图解方法一种求解二阶常微分方程的图解方法 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 （7-97-9）令 则则（7-117-11）6本讲稿第六页，共九十六页相平面相平面:描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。迹。方程（方程（7 79 9）称为相轨迹微分方程式，简称相）称为相轨迹微分方程式，简称相轨迹方程。轨迹方程。（7 71111）式的积分结果称为相轨迹表达式。）式的积分结果称为相轨迹表达式。相轨迹相轨迹:把具有直角坐标把具有直角坐标 的平面叫做相

5、平面的平面叫做相平面。7本讲稿第七页，共九十六页一、线性系统的相轨迹一、线性系统的相轨迹设系统的微分方程为设系统的微分方程为（7-127-12）系统（系统（7-127-12）的特征方程为）的特征方程为 特征方程的根为特征方程的根为 n式（7-12）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。8本讲稿第八页，共九十六页取相坐标取相坐标 、，式（，式（7-127-12）可化为：）可化为：（7-14）或9本讲稿第九页，共九十六页（1）无阻尼运动）无阻尼运动由方程（由方程（7-147-14），相轨迹方程为），相轨迹方程为其中其中相轨迹如图相轨迹如图7 72424所示，在相平面上是为一族同心的

6、椭圆。所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。每个椭圆相当于一个简谐振动每个椭圆相当于一个简谐振动（7-16）10本讲稿第十页，共九十六页图图7-24 7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹系统无阻尼运动时的相轨迹n相轨迹的方向如图相轨迹的方向如图7-247-24中箭头所示。中箭头所示。n相轨迹垂直穿过横相轨迹垂直穿过横轴。轴。n坐标原点处相轨迹坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。这种点叫做奇点。图图7-247-24的奇点的奇点(0,0)(0,0)通通常称为常称为 中心中心 11本讲稿第十一页，共九十六页（2）欠阻尼运动）欠阻尼运动其中其

7、中（7-17）方程（方程（7-127-12）的解为）的解为12本讲稿第十二页，共九十六页相轨迹如图相轨迹如图7 72525所示。所示。从图中可以看出，欠阻从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这于它的对数螺旋线，这种奇点称为种奇点称为 稳定的焦点稳定的焦点。图图7-25 7-25 系统欠阻尼运动时的相轨迹系统欠阻尼运动时的相轨迹13本讲稿第十三页，共九十六页（3）过阻尼运动）过阻尼运动 方程（方程

8、（7 71212）的解为）的解为 相轨迹如图相轨迹如图7 72626所示所示 14本讲稿第十四页，共九十六页图图7-26 7-26 过阻尼时的相轨迹过阻尼时的相轨迹A A2 2=0=0，曲线，曲线1 1；A A1 1=0=0，曲线，曲线2 2图图7-27 7-27 过阻尼运动的时间响应过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，坐标原点是一个奇点，这种奇点称为这种奇点称为 稳定的节点稳定的节点。15本讲稿第十五页，共九十六页（4）负阻尼运动）负阻尼运动 相轨迹图如图相轨迹图如图7 72828所示，所示，此时相轨迹仍是对数螺旋此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向线，但相轨迹的运动方向与图与图

9、7 72525不同，随着不同，随着 t t 的增长，运动过程是振荡的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为发散的。这种奇点称为 不稳定的焦点不稳定的焦点 。图7-2816本讲稿第十六页，共九十六页系统的相轨迹图如图系统的相轨迹图如图7-7-2929所示，奇点称为所示，奇点称为不稳定的节点。不稳定的节点。图7-2917本讲稿第十七页，共九十六页此时相轨迹如图此时相轨迹如图 7-30 7-30所示。奇点称所示。奇点称为为 鞍点鞍点 该奇点是不稳定的。图图7-30 7-30 斥力系统的相轨迹斥力系统的相轨迹18本讲稿第十八页，共九十六页图图7-31 7-31 特征根和奇点的对应关系特征根和奇点的对

10、应关系19本讲稿第十九页，共九十六页 二、相轨迹作图法设系统微分方程如设系统微分方程如 化为化为表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是上的点时所取的斜率都是这条曲线就称为这条曲线就称为 等倾线等倾线。令令其中其中 为某个常数为某个常数1 等倾线法等倾线法20本讲稿第二十页，共九十六页例子例子微分方程微分方程 或或等倾线是直线，它的方程为等倾线是直线，它的方程为21本讲稿第二十一页，共九十六页 取不同值时，可在取不同值时，可在相平面上画出若干不相平面上画出若干不同的等倾线，在每条同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线上画出表示该等倾

11、线斜率值的小线等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线起点按顺序将各小线段连接起来，就得到段连接起来，就得到了所求的相轨迹了所求的相轨迹 。图图7-327-3222本讲稿第二十二页，共九十六页极限环极限环在图在图7-337-33中，出现了中，出现了一种孤立的简单的封一种孤立的简单的封闭相轨迹。这种相轨闭相轨迹。这种相轨迹称为稳定的迹称为稳定的极限环极限环。图图7-337-3323本讲稿第二十三页，共九十六页图图7-34 7-34 各种类型的极限环各种类型的极限环 a a稳定，稳定，b b不稳

12、定，不稳定，c c、d d半稳定半稳定24本讲稿第二十四页，共九十六页三、由相平面图求时间解三、由相平面图求时间解相轨迹上坐标 点移动到 点所需的时间，可按下式计算（7-327-32）这个积分可用通常近似计算积分的方法求出，这个积分可用通常近似计算积分的方法求出，因此求时间解的过程是近似计算的过程。因此求时间解的过程是近似计算的过程。25本讲稿第二十五页，共九十六页1 1、用、用 曲线计算时间曲线计算时间利用式（利用式（7 73232）计算）计算时间，在某些情况下可时间，在某些情况下可直接进行积分运算直接进行积分运算 。图图7-357-3526本讲稿第二十六页，共九十六页2 2、用小圆弧逼近相

13、轨迹计算时间、用小圆弧逼近相轨迹计算时间在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。如图如图7-36AD7-36AD段，可用段，可用轴上的轴上的P P、Q Q、R R点为圆心，以点为圆心，以、为半径的小圆弧来逼近，为半径的小圆弧来逼近，这样就有这样就有27本讲稿第二十七页，共九十六页 代入（代入（7-327-32）式得）式得令（7-33）28本讲稿第二十八页，共九十六页图图7-36 7-36 用小圆弧逼近相轨迹计算时间用小圆弧逼近相轨迹计算时间29本讲稿第二十九页，共九十六页例例7-27-2图示相平面上

14、有两图示相平面上有两条封闭的相轨迹，条封闭的相轨迹，已知已知ABAB和和A A1 1B B1 1均是均是圆弧的一部分，试圆弧的一部分，试计算这两条封闭相计算这两条封闭相轨迹所对应的周期轨迹所对应的周期运动的周期。运动的周期。图图7-377-3730本讲稿第三十页，共九十六页相轨迹相轨迹ABCDABCD和和A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 对应的周期运动，他对应的周期运动，他们的周期分别为们的周期分别为T T和和T T1 1 秒（角度：弧度）秒（角度：弧度）则有则有31本讲稿第三十一页，共九十六页7-3B 7-3B 非线性系统相轨迹分析非线性系统相轨迹分析根据系统结构形式选取相坐

15、标，列写微分方程根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程画相轨迹图画相轨迹图根据相轨迹图分析系统的运动情况根据相轨迹图分析系统的运动情况 返回子目录返回子目录32本讲稿第三十二页，共九十六页一、继电型系统系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统称为继电型系统。系统称为继电型系统。图图7-38 7-38 继电型非线性特性继电型非线性特性33本讲稿第三十三页，共九十六页若继电系统的方框图如图若继电系统的方框图如图7-397-39所示所示研究图中继电特性为图研究图中继电特性为图7-387-38（b)b)的情况的情况图图7-397-3934本讲稿第三

16、十四页，共九十六页很明显，相平面以直线很明显，相平面以直线 为界被分成三为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定全由一个线性微分方程所确定35本讲稿第三十五页，共九十六页 1、在在 ch的区域的区域系统方程为系统方程为其中其中36本讲稿第三十六页，共九十六页所以所以当37本讲稿第三十七页，共九十六页2、在|c|h区域系统方程为系统方程为（7-42）38本讲稿第三十八页，共九十六页3、在c-h区域相轨迹方程为相轨迹方程为当 时39本讲稿第三十九页，共九十六页图图7-40 7-40 系统当系统当 m=+1 m=+1

17、时的相轨迹时的相轨迹40本讲稿第四十页，共九十六页当m=-1时，系统微分方程为对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无关。的参数，而和初始条件的大小无关。41本讲稿第四十一页，共九十六页图图7-41 7-41 系统当系统当m=-1m=-1时的相轨迹时的相轨迹42本讲稿第四十二页，共九十六页图图7-42 m7-42 m+1+1 振荡趋势加大示意图振荡趋势加大示意图43本讲稿第四十三页，共九十六页图图7-43 m7-43 m逐渐

18、减少时的相平面逐渐减少时的相平面44本讲稿第四十四页，共九十六页二、速度反馈对继电系统自由运动的影响二、速度反馈对继电系统自由运动的影响图图7-44 7-44 有速度反馈的继电器系统有速度反馈的继电器系统45本讲稿第四十五页，共九十六页系统的微分方程为系统的微分方程为将此相轨迹图与图将此相轨迹图与图7-40 7-40 比较可看出两者主要比较可看出两者主要是开关线不同。是开关线不同。可以通过改变开关线的位置来改善系统的可以通过改变开关线的位置来改善系统的性能。性能。46本讲稿第四十六页，共九十六页图图7 745 45 速度反馈对系统运动过程的影响速度反馈对系统运动过程的影响47本讲稿第四十七页，

19、共九十六页三、含有间隙非线性的系统三、含有间隙非线性的系统图图7-46 7-46 间隙非线性和非线性控制系统间隙非线性和非线性控制系统48本讲稿第四十八页，共九十六页方程式：方程式：49本讲稿第四十九页，共九十六页式中式中相轨迹方程相轨迹方程（7-54）（7-55）50本讲稿第五十页，共九十六页图图7-47 7-47 式（式（7-547-54）和式（）和式（7-557-55）的相轨迹）的相轨迹51本讲稿第五十一页，共九十六页图图7-48 7-48 图图7-467-46系统的相平面系统的相平面52本讲稿第五十二页，共九十六页图图7-49 7-49 判断开关线所判断开关线所用的对应关系用的对应关系

20、53本讲稿第五十三页，共九十六页四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的相平面相平面图图7-50 7-50 具有非线性放大器的系统具有非线性放大器的系统54本讲稿第五十四页，共九十六页图图7-527-52（a a）表示的系统方程为）表示的系统方程为得到得到假定假定55本讲稿第五十五页，共九十六页（1 1）阶跃输入）阶跃输入 r(t)=R r(t)=R系统方程变为系统方程变为图图7-51 7-51 阶跃输入下得相轨迹阶跃输入下得相轨迹56本讲稿第五十六页，共九十六页（2）输入信号）输入信号r(t)=Vt+R系统方程为系统方程为57本讲稿第五十七页，共九十六页图图7

21、-52 VkKe7-52 Ve Re0 0时的相轨迹时的相轨迹58本讲稿第五十八页，共九十六页图图7-53 kKe7-53 kKe0 0VKeVKe7-54 VKe0,0,R=0R=0时的相轨迹时的相轨迹59本讲稿第五十九页，共九十六页返回子目录返回子目录 7-5 描述函数描述函数描述函数可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比。若输出的一次谐波分量为 输入的正弦量为则描述函数描述函数的数学表达式如式（7-75）所示：（7-75）60本讲稿第六十页，共九十六页图7-57 理想继电特性在正弦输入时的输出波形和振幅频谱61本讲稿第六十一页，共九十六页其中为非线性特性在输入信号作用

22、下的输出。62本讲稿第六十二页，共九十六页例7-3若非线性特性为 （7-76）其特性曲线如图7-58。63本讲稿第六十三页，共九十六页令 则有64本讲稿第六十四页，共九十六页图7-58 式（7-76）的输入-输出特性 图7-59 描述函数65本讲稿第六十五页，共九十六页一、不灵敏区特性的描述函数66本讲稿第六十六页，共九十六页（7-83）根据描述函数的定义，可求出不灵敏区的描述函数为67本讲稿第六十七页，共九十六页图7-60 不灵敏区特性及其输入-输出波形68本讲稿第六十八页，共九十六页 二、饱和特性的描述函数69本讲稿第六十九页，共九十六页图761表示了饱和特性和它在正弦信号作用下的输出波形

23、。饱和特性的描述函数为从上式可知，饱和特性的描述函数是输入幅值的实值函数，与输入频率无关。70本讲稿第七十页，共九十六页图7-61 饱和特性及其输入-输出波形71本讲稿第七十一页，共九十六页三、间隙特性的描述函数72本讲稿第七十二页，共九十六页73本讲稿第七十三页，共九十六页间隙特性的描述函数为图762表示了间隙特性和它在正弦信号作用下的输出波形74本讲稿第七十四页，共九十六页图7-62 间隙特性及其输入-输出波形75本讲稿第七十五页，共九十六页四、继电型特性的描述函数图763表示了具有滞环和不灵敏区的继电特性和它在正弦信号作用下的输出波形76本讲稿第七十六页，共九十六页77本讲稿第七十七页，

24、共九十六页78本讲稿第七十八页，共九十六页继电特性的描述函数为可知具有滞环和不灵敏区的继电特性的描述函数，和输入信号的频率无关，只是输入幅值的复数值函数。79本讲稿第七十九页，共九十六页图7-63继电特性及其输入-输出波形80本讲稿第八十页，共九十六页当 h=0,两位置理想继电特性的描述函数当m=1,三位置理想继电特性的描述函数当m=-1,得到具有滞环的两位置继电特性的描述函数81本讲稿第八十一页，共九十六页返回子目录返回子目录 7-6 用描述函数法分析非线性系统非线性控制系统可化为下列结构形式 图7-64 非线性控制系统82本讲稿第八十二页，共九十六页用描述分析非线性系统时两个基本假设：系统

25、的线性部分G(j)具有很好的低通滤波性。系统若发生自激振荡（稳定的周期运动），假定非线性环节N的输入端的振荡为正弦波。83本讲稿第八十三页，共九十六页一、特征方程的解法图764所示系统的特征方程为（7-90）如果对于某一个和，式（790）成立，那么非线性环节N输入端将有 的周期运动。此时相当于将整个曲线当作临界点。84本讲稿第八十四页，共九十六页二、自激振荡的确定 图7-65 周期运动的确定及稳定性判别分别将 和 曲线画在复平面上,如图765所示。85本讲稿第八十五页，共九十六页M1对应的周期运动为X01sin01tM2对应的周期运动为X02sin02t。M1的周期运动是不稳定的。M2的周期运

26、动是稳定的。上述方法适用于上述方法适用于G(s)G(s)无右半复平面极点的情形。无右半复平面极点的情形。图中 曲线和 曲线分别相交于M1点和M2点。86本讲稿第八十六页，共九十六页图7-66 不稳定的和稳定的周期运动87本讲稿第八十七页，共九十六页M1对应周期运动稳定，M2对应周期运动不稳定图7-67当 有不稳定根时，周期解的稳定性判断，需要用乃奎斯特判据。88本讲稿第八十八页，共九十六页解析法 式（798）中的偏导数均在X0、处取值。则X0、对应的周期运动是稳定的,否则就是不稳定的周期运动。令（7-97）设式（797）有解X0和，若有下式成立（7-98）89本讲稿第八十九页，共九十六页三、分

27、析系统自激振荡的例题例例7-47-4 研究如图所示非线性系统。试判断系统是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。图7-6890本讲稿第九十页，共九十六页解：描述函数为91本讲稿第九十一页，共九十六页计算数据表-2-1.64-1.57-1.6410.90.80.6-1.81-2.14-2.74-4.18-7.890.50.40.30.20.1 92本讲稿第九十二页，共九十六页0.4780.9421.4062.2342.7493.8675.708-211-198.4-190.2-180-175.2-166.9-156.90.197 0.388 0.579 0.920 1.132 1.593 2.351 400 300 250 200 180 15012093本讲稿第九十三页，共九十六页图7-69 图7-68系统的曲线94本讲稿第九十四页，共九十六页四、系统稳定性分析图7-72 非线性系统的稳定性分析95本讲稿第九十五页，共九十六页本章主要知识点与主要线索 作图积分求解开关线结构归化计算查表非线性系统典型结构乃氏曲线线性部分分段线性的非线性系统分段相迹方程奇点类型相迹方程等倾线法稳定性,自振,求自振参数求时间相迹时间响应96本讲稿第九十六页，共九十六页