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1、第一章第一章 行列式习题课行列式习题课 .排列的逆序数及计算方法排列的逆序数及计算方法2.对换及对换对排列的影响对换及对换对排列的影响3.n阶行列式的定义阶行列式的定义4.n阶行列式的性质阶行列式的性质）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质5.行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开1)余子式与代数余子式余子式与代数余子式6.克拉默法则克拉默法则(注意前提与结论）注意前提与结论）由此可得由此可得（对方程个数与未知数个数相同的方对方程个数与未知数个数相同的方程组来说）程组来说）（1）若非齐次线性方程组无解或多解，则）若非齐次线性方程组无解或多解，则其系数行列式必为零。其系数行列式必
2、为零。（2）若齐次线性方程组有非零解，则其系）若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式必为零。数行列式必为零。一、填空题一、填空题1、当、当i=，j=时，时，19的排列的排列1i25j4897为为奇排列；奇排列；2、四阶行列式中，含有、四阶行列式中，含有a11a23的项为的项为 ；3、如果行列式、如果行列式D中的零元素的个数大于中的零元素的个数大于n2-n个，则个，则D=；4、若行列式每行元素之和为零，则、若行列式每行元素之和为零，则D=；5.已知四阶行列式已知四阶行列式D的第二列元素为的第二列元素为-1,2,0,1，它们对应的余子式分别为它们对应的余子式分别为5,3,-7,4,则则D=。7、
3、n为奇数时为奇数时=；=；8、已知四阶行列式、已知四阶行列式Mij是元素是元素aij的余子式，则的余子式，则M41-M42+M43+M44=.9.已知已知则则x3 的系数为的系数为 。二、计算行列式二、计算行列式（除掌握概念与性质外还（除掌握概念与性质外还（除掌握概念与性质外还（除掌握概念与性质外还有技巧）有技巧）有技巧）有技巧）方法一：三角形法方法一：三角形法例例1解：原式解：原式=另解：原式另解：原式=方法二：拆项法方法二：拆项法。看例。看例1解：原式解：原式=方法三：升级法方法三：升级法。看例。看例1解：原式解：原式=例例2 计算计算解：构造解：构造（这是一个范德蒙行列式）（这是一个范德
4、蒙行列式）=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)另外另外f(x)按最后一列展开，可得按最后一列展开，可得上两式是恒等式，故同次幂系数相等。上两式是恒等式，故同次幂系数相等。而而D=-A45，故，故D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)方法四：降级法方法四：降级法。（行列式中某一行（列）只有一、（行列式中某一行（列）只有一、二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）例例3 证明证明证法一：按最后一行展开证法一：按最后一行展开=右
5、边右边证法二：按第一列展开，得证法二：按第一列展开，得Dn=xDn-1+an再根据上面的递推公式或数学归纳法再根据上面的递推公式或数学归纳法可得结果。可得结果。按第一列展开即可得结果。按第一列展开即可得结果。证法四：从第一列开始，前一列乘证法四：从第一列开始，前一列乘1/x加加到后一列上去，化成下三角行列式到后一列上去，化成下三角行列式方法五递推法方法五递推法如例如例1的第二种解法；例的第二种解法；例3的第二种解法的第二种解法方法六用数学归纳法方法六用数学归纳法例例4证明证明证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法练习练习1、计算、计算解解上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行
6、列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知2、计算计算解解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得解解证证例例6有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要克若把此三种化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三种化克，问三种化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解第一章第一章 测试题测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共3636分分)二、计算下列行列式二、计算下列行列式(每小题每小题1010分，共分，共2020分分)有非零解？有非零解？三、解答题三、解答题(10(10分分)四、证明四、证明(每小题每小题1212分，共分，共2424分分)五、五、(10(10分分)设设 行列式行列式求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和测试题答案测试题答案