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1、历史因你而改变历史因你而改变 学习因你而精彩学习因你而精彩第十七章第十七章 勾股定理勾股定理1 17.1 7.1 勾股定理勾股定理(一)一)看看一一看看 相相传传两两千千五五百百年年前前,一一次次毕毕达达哥哥拉拉斯斯去去朋朋友友家家作作客客,发发现现朋朋友友家家用用砖砖铺铺成成的的地地面面反反映映直直角角三三角角形形三三边边的的某某种种数数量量关关系系,同同学学们们,我我们们也也来来观观察察一一下下图图案案,看看看看你你能能发发现现什什么么?数学家毕达哥拉斯的发现:数学家毕达哥拉斯的发现:A、B、C的面积有什么关系?的面积有什么关系?直角三角形三边有什么关系?直角三角形三边有什么关系?SA+S
2、B=SC两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方ABCABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)(图中每个小方格代表一个单位面积)图图1图图2探究一:等腰直角三角形三边关系等腰直角三角形三边关系A的面的面积积(单位单位面积面积)B的面的面积积(单位单位面积面积)C的面的面积积(单位单位面积面积)图图1图图299ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)(图中每个小方格代表一个单位面积)图图1图图2分分“割割”成若干个直成若干个直角边为整数的三角形角边为整数的三角形(单位面积)(单位面积)ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)(图中每个小方格代表一个单位面积)图图
3、1图图2 SA+SB=SCA的面的面积积(单位单位面积面积)B的面的面积积(单位单位面积面积)C的面的面积积(单位单位面积面积)图图19918图图2A、B、C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系448两直角边的平方和等于斜边的平方ABC图图3ABC图图4分割成若干个直角边为分割成若干个直角边为整数的三角形整数的三角形(单位面积)(单位面积)一般的直角三角形一般的直角三角形三边关系三边关系探究二:A AB BC Ca ac cb bS SA A+S+SB B=S=SC C如果直角三角形的两条直角如果直角三角形的两条直角边长分别是边长分别是a、b,斜边长斜边长为为c.猜想猜想:两直
4、角边两直角边a、b与斜边与斜边c之间的关系?之间的关系?a a2 2+b+b2 2=c=c2 2结论:结论:直角三角形中,两条直角边的平方和,直角三角形中,两条直角边的平方和,等于斜边的平方等于斜边的平方.读一读读一读 我我国国古古代代把把直直角角三三角角形形中中较较短短的的直直角角边边称称为为勾勾,较较长长的的直直角角边边称称为为股股,斜斜边边称称为为弦弦.图图1-1称称为为“弦弦图图”,最最早早是是由由三三国国时时期期的的数数学学家家赵赵爽爽在在为为周周髀髀算算经经作作法法时时给给出出的的.图图1-2是是在在北北京京召召开开的的2002年年国国际际数数学学家家大大会会(TCM2002)的的
5、会会标标,其其图图案案正正是是“弦弦图图”,它标志着中国古代的数学成就,它标志着中国古代的数学成就.图1-1图1-2 这是这是2002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标赵爽弦图赵爽弦图 ab4+(b-a)=c a+b=cabc2ab+(b-2ab+a)=c此结论被称为“勾股定理”.在RtABC中,C=900,边BC、AC、AB所对应的边分别为a、b、c则存在下列关系,结论:结论:直角三角形中,两条直角边的平方和,等于斜边的平方.a2+b2=c2勾勾股股弦弦cabBCA如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为斜边为c,那么那么a2+b2=c2.即直角三角形
6、两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股定理 C C90 90 a2+b2=c2cabBCA 两千多年前,古希腊有个哥拉两千多年前,古希腊有个哥拉 斯学派,他们首先发现了勾股定理,因此斯学派,他们首先发现了勾股定理,因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派,定理。为了纪念毕达哥拉斯学派,1955勾勾 股股 世世 界界国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早
7、在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前,国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前,古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前,古希腊有个毕达哥拉斯学派,他们发现了勾股定理,因此在国外学派,他们发现了勾股定理,因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派,为了纪念毕达哥拉斯学派,1955年希腊年希腊曾经发行了一枚纪念邮票曾经
8、发行了一枚纪念邮票.我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前,周国家之一。早在三千多年前,周朝数学家商高就提出,将一根直朝数学家商高就提出,将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”,它被记,它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经中周髀算经中.勾股定理的运用一勾股定理的运用一已知直角三角形的任意两条边长,已知直角三角形的任意两条边长,求第三条边长求第三条边长.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2结论变形结论
9、变形c2=a2 +b2abcABC在直角三角形在直角三角形ABCABC中,中,C=90C=900 0,A A、B B、C C所对的边分别为所对的边分别为a a、b b、c c(1 1)已知已知a=1a=1,b=2b=2,求,求c c(2 2)已知已知a=10a=10,c=15c=15,求,求b bACBbac求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值.8181144144x xy yz z625625576576144144169169X=15Y=5Z=7比比一一比比看看谁谁算算得得又又快快又又准准!求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长x
10、 x:8 8x x171716162020 x x12125 5x xX=15X=12X=13活 动 2一个门框尺寸如下图所示一个门框尺寸如下图所示若有一块长若有一块长3米,宽米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过?米的薄木板,问怎样从门框通过?若薄木板长若薄木板长3米,宽米,宽1.5米呢?米呢?若薄木板长若薄木板长3米,宽米,宽2.2米呢?为什么?米呢?为什么?ABC1 m2 m木板的宽木板的宽2.2米大于米大于1米,米,横着不能从门框通过;横着不能从门框通过;木板的宽木板的宽2.2米大于米大于2米,米,竖着也不能从门框通过竖着也不能从门框通过 只能试试斜着能否通过,只能试试斜着能否通过,
11、对角线对角线AC的长最大,因此需的长最大,因此需要求出要求出AC的长,怎样求呢?的长,怎样求呢?例1:一个2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙Ac上,这时Ac的距离为2.4m如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m,那么梯子底端B也外移0。4m吗?DE解:在RtABC中,ACB=90 AC2+BC2AB2 2.42+BC22.52 BC0.7m由题意得:DEAB2.5mDCACAD2.40.42m在RtDCE中,BE1.50.70.8m0.4m答;梯子底端答;梯子底端B不是外移不是外移0.4m DCE=90 DC2+CE2DE2 22+BC22.52 CE1.5m练习练习:如图,一个如图,一个3米长的梯
12、子米长的梯子AB,斜着靠在,斜着靠在竖直的墙竖直的墙AO上,这时上,这时AO的距离为的距离为2.5米米求梯子的底端求梯子的底端B距墙角距墙角O多少米?多少米?如果梯子的顶端如果梯子的顶端A沿墙角下滑沿墙角下滑0.5米至米至C,请同学们请同学们:猜一猜,底端也将滑动猜一猜,底端也将滑动0.5米吗?米吗?算一算,底端滑动的距离近似值算一算,底端滑动的距离近似值是多少是多少?(结果保留两位小数)(结果保留两位小数)、本节课我们经历了怎样的过程?、本节课我们经历了怎样的过程?经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理,再到探经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理,再到探索定理,最后学会验证定理及应用定
13、理解决实际问题的过程索定理,最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.、本节课我们学到了什么?、本节课我们学到了什么?通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理,还通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理,还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想验证数学结论的数形结合思想.、学了本节课后我们有什么感想?、学了本节课后我们有什么感想?很多的数学结论存在于平常的生活中,需要我们用数学很多的数学结论存在于平常的生活中,需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现,这节课我们还受到了数学文化的眼光去观察、思考、发现,这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育辉煌历史的教育.小结小结