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1、第四章 频频 率率 特特 性性 分分 析析4.1 频率特性概述频率特性概述4.2 频率特性的图示方法频率特性的图示方法4.3 闭环频率特性（自学）闭环频率特性（自学）4.4 频率特性的特征量频率特性的特征量4.5 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统4.6 利用利用MATLAB对系统进行频率特性分析对系统进行频率特性分析 时域分析的缺陷时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行；高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作
2、将无法进行。整个系统的分析工作将无法进行。频域分析：频域分析：频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系统特性的方法。统特性的方法。统特性的方法。统特性的方法。频域分析的目的：以输入信号的频率为变量，在频率域频域分析的目的：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。，研究系统的结构参数与性能的关系。频率特性包括频率特性包括频率特性包括频率特性包括幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性和和和和相频特性相频特性相频特性相频特性，它在
3、频率域里全面，它在频率域里全面，它在频率域里全面，它在频率域里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应是指系统对正弦输入的是指系统对正弦输入的是指系统对正弦输入的是指系统对正弦输入的稳态输出稳态输出稳态输出稳态输出。通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是
4、两个通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是两个通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是两个通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是两个联系密切但又有区别的概念。联系密切但又有区别的概念。联系密切但又有区别的概念。联系密切但又有区别的概念。频率特性分析方法具有如下特点：频率特性分析方法具有如下特点：这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。应来获得系统的动态特性。频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学获得。这对那些不能或难于用分析
5、方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。模型的系统或环节，具有非常重要的意义。不需要解闭环特征方程。由不需要解闭环特征方程。由开环频率特性开环频率特性即可研即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。优点：优点：无需求解微分方程，图解无需求解微分方程，图解(频率特性图频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向方向易于实验分析易于实验分析可推广应用于某些非线性系统（如含有可推广应用于某些非线性系统（如含有延延 迟环节的系统）；迟环节的系统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。可方便设计出能有效抑制噪声的
6、系统。4.1 频率特性概述频率特性概述解：解：例：求系统的传递函数为例：求系统的传递函数为当输入信号为当输入信号为xi(t)=Asin t时，系统的时，系统的稳态响应。稳态响应。由由Laplace反变换得：反变换得：系统的稳态输出为系统的稳态输出为幅值是频率的函数幅值是频率的函数相位是频率的函数相位是频率的函数输出频率不变输出频率不变系统系统xi(t)x0(t)Asin t稳态输出信号稳态输出信号2、频率特性、频率特性 线性系统在谐波信号输入时，其稳态输线性系统在谐波信号输入时，其稳态输出随频率变化的特性，称为该系统的频率特出随频率变化的特性，称为该系统的频率特性性.注意：注意：频率特性是系统
7、在频域的数学模型频率特性是系统在频域的数学模型幅频特性幅频特性A()相频特性相频特性()包括包括=输出相位输出相位-输入相位输入相位=()二、频率特性的求法二、频率特性的求法1、利用系统的频率响应来求利用系统的频率响应来求xo(t)(稳态响应稳态响应)频率响应频率响应Xo(s)=Xi(s)G(s)Laplace变换变换xo(t)=limxo(t)t2、用传函、用传函G(s)的的s换为换为j 来求来求复数表示法：复数表示法：（1）代数表示法：）代数表示法：a+jb（2）指数表示法：）指数表示法：|A|ej（3）极坐标表示法：极坐标表示法：|A|ImReabA-幅值幅值-相位相位复数的运算法则复数
8、的运算法则：已知复数：已知复数：A=a+jb=A1 1 B=c+jd=B1 21）两复数相加：实部相加，虚部相加）两复数相加：实部相加，虚部相加 A+B=(a+c)+j(b+d)2）两复数相减：实部相减，虚部相减）两复数相减：实部相减，虚部相减 A-B=(a-b)+j(b-d)3）两复数相乘：幅值相乘，相位相加）两复数相乘：幅值相乘，相位相加 AB=(A1B1)1+24）两复数相除：幅值相除，相位相减）两复数相除：幅值相除，相位相减相频特性：相频特性：()=-arctanT 例例 求惯性环节求惯性环节 的频率特性的频率特性例例 求闭环传函为求闭环传函为 的频率特性的频率特性3、实验方法求频率特
9、性进而求、实验方法求频率特性进而求G(s)(当传函未知时采用当传函未知时采用)正弦发生器正弦发生器被测系统被测系统改变频率改变频率图形显示器图形显示器系统系统s传递函数传递函数j 频率特性频率特性ddtsddtj sj 微分方程微分方程2、通过分析不同的谐波输入，以获得系统、通过分析不同的谐波输入，以获得系统 的动态特性的动态特性3、可方便的分析系统的结构及参数的变化、可方便的分析系统的结构及参数的变化对系统性能的影响对系统性能的影响4、可方便分析高阶系统的性能、可方便分析高阶系统的性能5、可设计出合适的通频带，以控制系统噪、可设计出合适的通频带，以控制系统噪音的影响音的影响4.2 频率特性的
10、图示方法频率特性的图示方法 一、频率特性的极坐标图一、频率特性的极坐标图1、定义、定义其中，其中，P()、Q()分别称为系统的分别称为系统的实频特性实频特性和和虚虚频特性频特性。显然：。显然：以频率特性以频率特性|G(j)|G(j)作为一矢量，作为一矢量，当当 由由0变化到变化到 时，矢量的端点在复平面时，矢量的端点在复平面上形成的轨迹称为上形成的轨迹称为Nyquist图。图。ReImA()()相角相角()的符号规定逆时针方向旋转为正。的符号规定逆时针方向旋转为正。2、典型环节的、典型环节的Nyquist图图（1）比例环节）比例环节传递函数：传递函数：G(s)=K频率特性：频率特性：G(j)=
11、K=Kej0=K0幅频特性：幅频特性：A()=K相频特性：相频特性：()=0实频特性：实频特性：P()=K虚频特性：虚频特性：Q()=0比例环节比例环节Nyquist图图（K,j0）ImRe（2）积分环节）积分环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：()=-90虚频特性：虚频特性：实频特性：实频特性：积分环节积分环节Nyquist图图ImRe积分环节具有恒定的相位滞后。积分环节具有恒定的相位滞后。（3）微分环节）微分环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：()=90微
12、分环节微分环节Nyquist图图9000 ImRe微分环节具有恒定的相位超前。微分环节具有恒定的相位超前。（4）惯性环节）惯性环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：相频特性：相频特性：()=-arctgT 幅频特性：幅频特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：注意到：注意到：即惯性环节的奈氏图为圆心在即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，处，半径为半径为1/2的一个圆。的一个圆。0ReIm（5）一阶微分环节）一阶微分环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：()=arctan无论无论 为何值为何值实频特性：实频特性：Re()=1相频特
13、性：相频特性：()=arctan 0ReIm =0 =arctan1（6）振荡环节）振荡环节传递函数：传递函数：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：几点说明几点说明 频率特性是传递函数的特例，是定义频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的
14、全部动态结构参数，因此，系或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。统动态过程的规律性也全寓于其中。应用频率特性分析系统性能的基本思路：应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数续频谱函数，因此根据控制系统对于正，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作算出它在任意周期信号或非周期信号作用
15、下的运动情况。用下的运动情况。三、频率特性的特点和作用三、频率特性的特点和作用1、对频率特性的分析就是对单位脉冲响应、对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析函数的频谱分析振荡环节的振荡环节的Nyquist图图 =0时时 =n时时 =时时 二阶系统的二阶系统的Nyquist图图 =0 =0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3 =n谐振现象谐振现象00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 1.8 201234 =0.05 =0.15 =0.20 =0.25 =0.30 =0.40 =0.50 =0.707 =1.
16、00/nA()由振荡环节的幅频特性曲线可见，当由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较较小时，在小时，在 =n附近，附近，A()出现峰值，即出现峰值，即发生发生谐振谐振。谐振峰值谐振峰值 Mr 对应的频率对应的频率 r 称为称为谐振频率谐振频率。由于：由于：由此可求出：由此可求出：显然显然 r 应大于应大于0，由此可得振荡环节出现，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：谐振的条件为：谐振峰值：谐振峰值：0 0.10.2 0.30.4 0.50.60.7 0.80.9 10123456789100102030405060708090100 Mr Mp()MrMp（7）二阶微分环节的）二阶微分环节的Nyq
17、uist图图当当 =0时时 当当 =1/时时 当当 =时时二阶微分环节二阶微分环节Nyquist图图G(j)=010 =ReIm =1/2，（8）延时环节）延时环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：延时环节延时环节Nyquist图图01 =0ReIm 3、Nyquist图的一般形状图的一般形状（1）Nyquist图的绘制步骤图的绘制步骤1）求出系统对应的频率特性）求出系统对应的频率特性2）分别求分别求=0和和=时的幅值和相位时的幅值和相位|G(j0)|=0.5 G(j0)=0|G(j)|=0 G(j)=-180o3）当曲线跨象限时，求曲线和实轴或虚
18、轴的交）当曲线跨象限时，求曲线和实轴或虚轴的交点；当曲线不跨象限时，求起始点的渐进线点；当曲线不跨象限时，求起始点的渐进线0(0.5,j0)ImRe4）勾画大致曲线）勾画大致曲线0(0,-j0.288)(0.5,j0)ImRe例：例：解：系统的频率特性为：解：系统的频率特性为：则有：则有：|G(j0)|=G(j0)=-900|G(j)|=0 G(j)=-180o确定渐近线：确定渐近线：当当=0时：时：实频特性：实频特性：u()=-KT虚频特性：虚频特性：v()=-ReIm0(-KT,j0)（2）Nyquist图的一般形状图的一般形状1）一般形状）一般形状0型系统：型系统：G(j0)=K0I型系
19、统：型系统：G(j0)=-90oII型系统：型系统：G(j0)=-180ob.当当=时时由于系统的分母的阶次由于系统的分母的阶次n分子的阶次分子的阶次m G(j)=0(n-m)(-90o)系统类型系统类型起点（起点（=0)终点终点(=)0正实轴上一个有限值正实轴上一个有限值按顺时针方向越过按顺时针方向越过若干象限与坐标轴若干象限与坐标轴相切而趋于原点相切而趋于原点I曲线渐进于与负虚轴曲线渐进于与负虚轴平行的直线平行的直线II第二象限的无穷大第二象限的无穷大0型型I型型ImReII型型2）当系统含有一阶微分环节（导前环节）时，）当系统含有一阶微分环节（导前环节）时，Nyquist曲线将发生曲线将
20、发生“弯曲弯曲”G(j0)=-90oG(j)=0-90oReIm=0=二、频率特性的对数坐标图二、频率特性的对数坐标图(Bode图）图）1、组成、组成1）由幅频对数坐标图和相频对数坐标图组成）由幅频对数坐标图和相频对数坐标图组成()L()1 2 3 4 lg L()2）坐标分度）坐标分度横坐标：横坐标：按按 lg 进行分度，但标注真值进行分度，但标注真值10 100 1000 10000 10倍频倍频dec纵坐标纵坐标幅频：按幅频：按20lg|G(j)|dB分度分度相频：按真实角度线性分度相频：按真实角度线性分度10 100 1000 10000 10 100 1000 10000 2040L
21、()dB904500()采用采用Bode图表示频率特性的优点：图表示频率特性的优点：可以将串联环节幅值的乘、除，化为幅可以将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减，简化了计算与作图过程；值的加、减，简化了计算与作图过程；可以用近似方法作图，方便了作图；可以用近似方法作图，方便了作图；可分别作出各个环节的可分别作出各个环节的Bode图，然后用图，然后用叠加方法得出系统的叠加方法得出系统的Bode图，并由此看图，并由此看出各环节对系统总特性的影响；出各环节对系统总特性的影响；对于横坐标采用对数分度，所以能把较对于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。宽频率范围的图形紧凑地表
22、示出来。2、典型环节的、典型环节的Bode图图（1）比例环节）比例环节 G(j)=K0 L()=20lgA()=20lgKL()(20lgK=0 1=-20dB 10=-40dB 100(-901 10 100L()20-20-20dB/decL()=-20lg （2）积分环节）积分环节L()20401 10 23.5-20dB/dec当当=1时，时，L()=20lgK(-90（3）微分环节）微分环节 G(s)=s与积分环节互为镜像与积分环节互为镜像90o+20dB/decL()(201 10 100-20-90o-20dB/dec（4）惯性环节）惯性环节低频段低频段(1/T)即高频段可近似为
23、斜率为即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为的直线，称为高频渐近线高频渐近线。一阶惯性环节一阶惯性环节BodeBode图图-30-20-10010-90-4501/TL()/(dB)()(rad/sec)实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线-20dB/dec转折频率（转折频率（1/T)低频渐近线和高频渐近线的相交处低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点的频率点 1/T，称为，称为转折频率（截止转折频率（截止频率）频率）。在转折频率处，在转折频率处，L()-3dB，()-45。惯性环节具有低通滤波特性。惯性环节具有低通滤波特性。渐近线误差渐近线误差-4-3-2-100.1110
24、T转折频率转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线L()-20dB/dec1T00-45o-90o(T0.1T10（5）一阶微分环节）一阶微分环节 G(s)=Ts+1与惯性环节互为镜像与惯性环节互为镜像0 10 2030904501/TL()/(dB)()(rad/sec)0.1/T10/T转折频率转折频率实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线20dB/dec一阶微分环节相当于高通滤波器一阶微分环节相当于高通滤波器因此，一阶微分环节对高频信号有较大因此，一阶微分环节对高频信号有较大的放大作用，这意味着系统抑制噪声能的放大作用，这意味着系统抑制噪声能力的下降。力
25、的下降。（6）振荡环节）振荡环节 对数幅频特性对数幅频特性 低频段低频段(n)即高频渐近线为斜率为即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。的直线。两条渐近线的交点为两条渐近线的交点为 n。即振荡环节的。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。转折频率等于其无阻尼固有频率。对数相频特性对数相频特性易知：易知：振荡环节振荡环节Bode图图-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)=0.5 =0.7 =1.0 =0.1 =0.2 =0.3-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec =0.3 =0.5 =0.7 =1.0 =0.1 =0.2渐近线
26、渐近线渐近线误差分析渐近线误差分析由图可见，当由图可见，当 较小时，由于在较小时，由于在 =n 附近存在谐振，附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，越小，越小，误差越大。误差越大。-8-40481216200.1110 =0.05 =0.10 =0.15 =0.20 =0.25 =0.30 =0.35 =0.40 =0.80 =0.90 =1.00 =0.50 =0.60 =0.707/nError (dB)当当0.38 0.7时，误差不超过时，误差不超过3dB。因此，在此。因此，在此 范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围范围内
27、，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。之外，应使用准确的对数幅频曲线。-8-40481216200.1110 =0.05 =0.10 =0.15 =0.20 =0.25 =0.30 =0.35 =0.40 =0.80 =0.90 =1.00 =0.50 =0.60 =0.707/nError (dB)准确的对数幅频曲线可在渐近线的基准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。算。（7）二阶微分环节）二阶微分环节 注意到二阶微分环节与振荡环节的频注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数率特性互
28、为倒数(1/n)，根据对数频率特，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性线对称，相频特性曲线关于零度线对称。曲线关于零度线对称。-40dB/dec90180-90-180+40dB/dec()L()11（8）延时环节（）延时环节（G(j)=1-T）L()=0 ()=-T-600-500-400-300-200-10000.1110 (rad/s)()/(deg)10L()/(dB)0-20-103、绘制系统、绘制系统Bode图的步骤图的步骤1）由）由G(s)确定系统的典型环节形式确
29、定系统的典型环节形式2）确定积分环节的个数和比例系数）确定积分环节的个数和比例系数K一个积分环节一个积分环节 起始直线斜率为起始直线斜率为-20dB/decK=5 在在=1处直线的值为处直线的值为20lgK=14dB3）确定各环节的转折频率（确定各环节的转折频率（=1/T）1=1 2=204）确定坐标的起始频率）确定坐标的起始频率(o0.1min)o=0.15）将传函按转折频率的大小依次由小到大排列）将传函按转折频率的大小依次由小到大排列-20-20-206）画出系统的）画出系统的Bode图的渐进线图的渐进线（依据：当直线和直线相加，则两直线的斜率相加）（依据：当直线和直线相加，则两直线的斜率
30、相加）0.1 1 10 100 20-20L()2014-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec-90-180-2700.1 1 10 100 4.3 闭环频率特性（自学）闭环频率特性（自学）4.4 频率特性的特征量频率特性的特征量 一、零频幅值一、零频幅值A(0)：反映系统的稳态精度：反映系统的稳态精度A(0)A()A(0)1 系统的误差系统的误差二、谐振频率二、谐振频率 r和相对谐振峰值和相对谐振峰值反映系统的相对平稳性反映系统的相对平稳性A(0)A()Amax r Mr系统的平稳性系统的平稳性三、截止频率三、截止频率 b和截止带宽和截止带宽0 b b-A()衰减到衰减到0.
31、707A(0)处的频率处的频率A(0)A()b0.707A(0)反映了系统的静态噪音滤波特性反映了系统的静态噪音滤波特性 b b系统的系统的tr 系统的滤波效果系统的滤波效果系统的系统的tr系统输出信号失真较大系统输出信号失真较大4.5 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统一、定义一、定义在复平面的右半平面上没有极点和零点在复平面的右半平面上没有极点和零点的传函为最小相位传函，对应的系统为的传函为最小相位传函，对应的系统为最小相位系统最小相位系统延迟环节通常视为非最小相位环节。延迟环节通常视为非最小相位环节。最小相位系统最小相位系统ImReReIm非最小相位系统非最小相位系统二、最小相位系统的特点二、最小相位系统的特点1、最小相位系统的相位变化范围最小最小相位系统的相位变化范围最小相位差：相位差：=(n-m)(-90o)