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1、矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波第一章矢量分析第一章矢量分析标和矢标和矢7 7无散场和无旋场无散场和无旋场1 1标标量量和矢和矢量量2矢量的代数运算2矢量的代数运算7 7 无散场和无旋场无散场和无旋场8 格林定理8 格林定理3矢量的标积和失积3矢量的标积和失积4 4标量场的方向导数与梯标量场的方向导数与梯度度9 矢量场的惟一性定理9 矢量场的惟一性定理1010 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理4 4 标量场的方向导数与梯标量场的方向导数与梯度度5 矢量场的通量与散度5 矢量场的通量与散度1010 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理11 正交曲面坐标系11 正交曲面坐标系6矢量场的环量与旋度6矢量场的
2、环量与旋度1矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波1.1 标量与矢量1.1 标量与矢量1 1 标量标量只有大小只有大小没有方向的物理量没有方向的物理量1 1.标量标量：只有大小只有大小，没有方向的物理量没有方向的物理量。如：温度 T、长度 L 等。如：温度 T、长度 L 等2.矢量：2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。不仅有大小，而且有方向的物理量。矢量矢量表示为表示为如:力 F 、速度 V 、电场 E 等如:力 F 、速度 V 、电场 E 等eAA=矢量矢量表示为表示为：eAA=其中其中：为矢量的模为矢量的模，表示该矢量的大小表示该矢量的大小。|Av其中其中为矢量的模为矢量的模，
3、表示该矢量的大小表示该矢量的大小为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。|e2所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波z在直角坐标系下的矢量表示:在直角坐标系下的矢量表示:vAvAzA三个方向的单位矢量用表示。三个方向的单位矢量用表示。exeyezoy根据矢量加法运算：根据矢量加法运算：vvvvAvyAvyxxyzAAAA=+xA其中其中：其中其中：eAAxxx=eAAyyy=eAAzzz=所以所以：eAeAeAAzzyyxx+=3所以所以yy矢量分析电磁
4、场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？e6图示法图示法：yex66图示法图示法xex6Fv力的图示法力的图示法FvFFF=+vvvNFfFv力的图示法力的图示法：NfFFF=+Gv4G矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波1.2 矢量的代数运算1.2 矢量的代数运算1 加法加法 矢量加法是矢量的几何和 服从平行四边形规则1.加法加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。BvCvCvCAB=+vvvBvCAvAva.满足交换律：a.满足交换律：ABBA+=+vvvvb b 满足结合律满足结合律：()()()()ABCDACBD+
5、=+vvvvvvvv5b b.满足结合律满足结合律：()()()()ABCDACBD+=+矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波矢量：矢量：?模的计算模的计算vzAvAveAeAeAAzzyyxx+=?模的计算模的计算：222|xyzAAAA=+v?单单位矢量：位矢量：AzAoyxAvyAveAeAeAezzyyxxAAAAA+=?方向角与方向余弦方向角与方向余弦：yxxeeezyxcoscoscos+=?方向角与方向余弦方向角与方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxvvv=|AAA6矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波2.减法：2.减法：换成加法运算换成加法
6、运算()DABAB=+vvvvv()逆矢量：逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。和的模相等，方向相反，互为逆矢量。Bv()BvDvAvDvBvAvBvDBvADABC+vvvvBvCv0=Av推论：在直在直角角坐坐标系标系中两矢量的中两矢量的减减法运法运算算：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。7角标系减算角标系减算eBAeBAeBABAzzzyyyxxx)()()(+=矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波1.3 矢量的标积与矢积1.3 矢量的标积与矢积（1）标量与矢量的乘积：（1）标量与矢量的乘积：0|0kkAk A ak=vv方向不变，大小为方向不变，大小为|
7、k|倍倍0k 0；若；若处处相反，则处处相反，则 0。可见，环量可以用来描述。可见，环量可以用来描述矢量场的矢量场的旋涡特性旋涡特性。32矢量场的矢量场的旋涡特性旋涡特性。矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波33矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度B B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线l l 的环量的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率与真空磁导率等于该闭合曲线包围的传导电流强度等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率与真空磁导率0的乘积。即的乘积。即0 dlI=Bl?I1 I2式中，
8、电流式中，电流I 的正方向与的正方向与 dl l 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。关系。环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的量代表的是闭合曲线包围的总总的源强度的源强度它不能显示它不能显示量代表的是闭合曲线包围的量代表的是闭合曲线包围的总总的源强度的源强度，它不能显示它不能显示源的源的分布分布特性。为此，需要研究矢量场的特性。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。34矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波旋度是一个矢量。以符号旋度是一个矢量。以符号 curlA A表示矢量表示矢量A A的旋的旋度度，其方向是使
9、矢量其方向是使矢量A A具有最大环量强度的方向具有最大环量强度的方向，度度，其方向是使矢量其方向是使矢量具有最大环量强度的方向具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即een maxn0 dcurl limlSS=AlAe?en1en2n0SS式中式中 curl 是旋度的英文字是旋度的英文字；e en为最大环量强度的为最大环量强度的式中式中 curl 是旋度的英文字是旋度的英文字；e en为最大环量强度的为最大环量强度的方向上的单位矢量，方向上的单位矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线l包围的面积。包围的面积。矢量场的旋度大小可以认为是包
10、围单位面积的闭合矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量曲线上的最大环量。35曲线上的最大环量曲线上的最大环量。矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为eeecurl xyzxyz=eeeA或者或者curl=AAxyzxyzAAA无论梯度无论梯度、散度或旋度都是微分运算散度或旋度都是微分运算，它们表示场在它们表示场在无论梯度无论梯度、散度或旋度都是微分运算散度或旋度都是微分运算，它们表示场在它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的的是场
11、的点特性点特性或称为或称为微分特性微分特性。函数的函数的连续性连续性是可微的必要条件是可微的必要条件。因此在场因此在场量量发发生生不不函数的函数的连续性连续性是可微的必要条件是可微的必要条件因此在场发因此在场发不不连续连续处，也就处，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。36矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波旋度与散度的区别旋度与散度的区别（一）一个矢量场的旋度是一个矢量函数；一个矢量场的（一）一个矢量场的旋度是一个矢量函数；一个矢量场的散度是散度是一一个标量函数个标量函数。散度是个标量函数散度是个标量函数。（二二）旋度表示场中各点的场与漩涡源的关系旋度表示
12、场中各点的场与漩涡源的关系;散度表示场散度表示场（）旋度表示场中各点的场与漩涡源的关系旋度表示场中各点的场与漩涡源的关系;散度表示场散度表示场中各点的场与通量源的关系。中各点的场与通量源的关系。（三）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律;散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律.（三）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律;散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律.37矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波旋度定理旋度定理（斯托克斯定理斯托克斯定理）(curl)d dSl=ASAl?()d dSl=ASAl?或者或者从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线
13、积分从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线积分的关系。的关系。从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域S中的场中的场从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域S中的场中的场和包围区域和包围区域S的边界的边界l 上的场之间的关系。因此，上的场之间的关系。因此，如果已知区域如果已知区域S 中的场，根据旋度定理即可求出边界中的场，根据旋度定理即可求出边界l上的场上的场反之亦然反之亦然38l 上的场上的场，反之亦然反之亦然。矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波例试证任何矢量场例试证任何矢量场A A均满足下列等式均满足下列
14、等式 ()d dVSV=AAS?Se式中，式中，S 为包围体积为包围体积V 的闭合表面。此的闭合表面。此式又称为矢量旋度定理，式又称为矢量旋度定理，VA Ane或矢量斯托克斯定理。或矢量斯托克斯定理。证证V证证ACACCAAC=)(设设C C 为任一为任一常常矢量，则矢量，则ACACCAAC=)(39矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波ACACCAAC=)(那么对于任一体积那么对于任一体积V，得，得=VVVV d d)(ACAC根据散度定理，上式左端根据散度定理，上式左端()d()dVC ACAS?(d)dC ASCAS?()d ()dVSV=C ACAS?(d)dSS=C ASCAS
15、?()dd求得求得 ()d dVSV=CACAS?求得求得40矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波1.7 无散场和无旋场1.7 无散场和无旋场散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场的矢量场称为无旋场。的矢量场称为无旋场的矢量场称为无旋场。可以证明可以证明0)(=A可以证明可以证明0)(A结论结论：任任一一矢量场矢量场A A 的旋度的散度的旋度的散度一一定等于零定等于零。因此因此，结论结论任矢量场任矢量场的旋度的散度定等于零的旋度的散度定等于零因此因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任任一无散场可以表示为
16、另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场定是散场何旋度场定是散场何旋度场何旋度场一一定是定是无无散场散场。41矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波0)(=又可证明又可证明结论：任一标量场结论：任一标量场的梯度的旋度一定等于零。的梯度的旋度一定等于零。因此因此任无旋场定可以表示为个标量场的任无旋场定可以表示为个标量场的因此因此，任任一一无旋场无旋场一一定可以表示为定可以表示为一一个标量场的个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。42矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波格林定理格林定理1.8 1.8 格林定理格林定理设任意两个标量场设任意两
17、个标量场及及，若在若在设任意两个标量场设任意两个标量场及及，若在若在区域区域V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，S,ne可以证明该两个标量场可以证明该两个标量场及及满满足下列等式足下列等式V足下列等式足下列等式2()ddVS+=?()VSn?式中式中S为包围为包围V 的闭合曲面的闭合曲面；为标量场为标量场在在S 表表式中式中为包围为包围的闭合曲面的闭合曲面；为标量场为标量场在在表表面的外法线面的外法线e en方向上的偏导数。方向上的偏导数。n43矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成2 ()d()
18、dVSV+=S?上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。基于上式还可获得下列两式基于上式还可获得下列两式：()22()d dVSV=S?基于上式还可获得下列两式基于上式还可获得下列两式：22 ()ddVSVSnn=?()VS?上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。44矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波设任意两个矢量场设任意两个矢量场P P与与QQ，若在区域，若在区域V中具有连续中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场P P及及QQ满满足下列等式足下列等式：足下列等式足下列等式：()()()ddV=PQPQPQS?
19、()()()d dVSV=PQPQPQS?式中式中S为包围为包围V的闭合曲面；面元的闭合曲面；面元 dS S 的方向为的方向为S的外法线方向。上式称为的外法线方向。上式称为矢量第一格林定理矢量第一格林定理。45矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波基于上式还可获得下式基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式基于上式还可获得下式：()(dV QPPQ ()(dVS=QQPQQPS?此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。46矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波格林定格林定理理建建立立了区域了区域V中的场与边界中的场与边界S上上的场之间的场之间格林定建了区域格林定建了区域
20、中的场与边界中的场与边界的场之间的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题问题转变为边界上场的求解问题问题转变为边界上场的求解问题问题转变为边界上场的求解问题。格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系关系。因此因此，如果已知其中如果已知其中一一种场的分布特性种场的分布特性，即可即可关系关系。因此因此，如果已知其中种场的分布特性如果已知其中种场的分布特性，即可即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。利用格林定理求解另一种场的分布特性。47矢量分析电磁场与电
21、磁波矢量分析电磁场与电磁波现现在我在我们们必必需考需考虑虑如如下问题下问题现们需考如现们需考如（1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的（1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性特性？特性特性？（2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场（2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？的激励源？（3）如何唯一的确定一个矢量场？（3）如何唯一的确定一个矢量场？48矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波1.9 矢量场的惟一性定理1.9 矢量场的惟一性定理位于某位于某一一区域中的矢量场区域中的矢量场，当其散度当其散度、旋度以及边界上旋度以及边界上位于某区域中的矢量场位于某区域
22、中的矢量场，当其散度当其散度、旋度以及边界上旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。场被惟一地确定。S SF F(r r)FFFF和 及或知散度和旋度代表产生矢量场的源知散度和旋度代表产生矢量场的源惟性定理惟性定理Vtn FF或已已知散度和旋度代表产生矢量场的源知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见，可见惟惟一一性定理性定理表明，矢量场被其表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定。共同决定。49矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波若矢量场若矢量场F F(r r)在无限区域中处处是单值的，且其导在
23、无限区域中处处是单值的，且其导1.10 亥姆霍兹定理1.10 亥姆霍兹定理数连续有界，源分布在有限区域数连续有界，源分布在有限区域V 中，则当矢量场的中，则当矢量场的散度及旋度给定后散度及旋度给定后该矢量场该矢量场F F(r r)可以表示为可以表示为散度及旋度给定后散度及旋度给定后，该矢量场该矢量场F F(r r)可以表示为可以表示为)()()(rArrF+=)()()()(1rF式中式中V zr rF(r)=VVd)(41)(rrrFryrOrVV=d)(41)(rrrFrAx50矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波)()()(rArrF+=)()()(rArrF+=该定理表明任一矢
24、量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。究矢量场的首要问题。51矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波8.正交曲面坐标系8.正交曲面坐标系直角坐标系直角坐标系()直角坐标系直角坐标系(x,y,z)zz=z0ex=x0y=y0P0zexeyeyOx52矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波直角坐标系直角坐标系zyxzyxddddeeel+=yzyxyxzxzyzyxddddd ddeeeS+=zyxVdddd=53zyxVdddd=矢量分析电磁场与电磁波
25、矢量分析电磁场与电磁波圆柱坐标系圆柱坐标系(r,z)z zPz=z0zeeP0=r=r0reeOy0=0Oyx054矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系zrrzrdd ddeeel+=d d d dd d drrzrzrzreeeS+=55zrzrrVd d d d=矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波球坐标系球坐标系(r,)z=00e=0r=r0ereeP0y0eOxy56矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波球坐标系球坐标系d sin d ddrrrreeel+=d dd d sin d d sind2rrrrrreeeS+=d
26、 d d sind2rrV=57矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波微分微分单元单元的表示的表示直角坐标系直角坐标系zyxzyxddddeeel+=yzyxyxzxzyzyxddddd ddeeeS+=zyxVdddd=圆柱坐标系圆柱坐标系zrrzrdd ddeeel+=zyxVdddd=d d d dd d drrzrzrzreeeS+=zrrVd d d d=球坐标系球坐标系d sin d ddrrrreeel+=ddddiddid2Sddddsind dsind2rrrrrreeeS+=d d d sind2rrV=58矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波坐标坐标变量变量
27、的转换的转换=ryrxsincos22arctanrxyy=+=zzrysinarctanxzz=222rxyz=+=sinsincossinryrx22arctanxyz+=cosrzarctanzyx=59x矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波矢量矢量分量分量的转换的转换=yxrAAAA 0cossin0sincoszyzAA100AAcossinsincossin=yxrAAAAAA 0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinzArrAAAAi0cos0sin=zAAAA 010sin0cos60矢量分析电磁场与电磁波矢量分析电磁场与电磁波已知矢量已知矢量A A 在在直角直角坐标系中可表示为坐标系中可表示为式中式中b均为常数均为常数A A是是常常矢量吗矢量吗？zyxcbaeeeA+=又知又知矢矢量量A A 在在圆柱圆柱坐坐标系和标系和球球坐坐标系标系中中可分别可分别式中式中，a,b,c均为常数均为常数。A A 是是常常矢量吗矢量吗？zrcbaeeeA+=矢矢在在圆柱圆柱标系和标系和球球标系可分别标系可分别表示为表示为zreeeAcbar+=式中式中b均为常数均为常数A A是是常常矢量吗矢量吗？式中式中，a,b,c均为常数均为常数。A A 是是常常矢量吗矢量吗？61