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1、第一章矢量分析基础第1页，本讲稿共19页本章内容安排本章内容安排1.1 1.1 标量与矢量标量与矢量1.2 1.2 矢量的运算矢量的运算1.3 1.3 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.4 1.4 矢量场的散度及高斯散度定理矢量场的散度及高斯散度定理1.5 1.5 矢量场的旋度及斯托克斯定理矢量场的旋度及斯托克斯定理第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础第2页，本讲稿共19页1.1 标量与矢量标量与矢量1.1.1 标量与矢量标量与矢量标标量量:仅仅用用大大小小就就能能表表述述的的物物理理量量，例例如如长长度度、面面积积、体积、温度等。体积、温度等。矢矢量量:不不仅仅具具有有大大小
2、小而而且且具具有有方方向向特特征征的的物物理理量量，例例如如力力、电场强度、磁场强度、速度、位移等。电场强度、磁场强度、速度、位移等。第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础第3页，本讲稿共19页矢量矢量A的表示方法的表示方法（1）（2）（3）第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础矢量矢量A的空间表示的空间表示第4页，本讲稿共19页1.2 矢量的运算矢量的运算1.2.1 矢量的代数运算矢量的代数运算令令 和和 ，则，则矢量相加：矢量相加：矢量相减矢量相减:第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 矢量相加的几何表示矢量相加的几何表示矢量相减的几何表示矢量相减的几何表示第5页，本讲稿共19页1.2.
3、2矢量乘矢量乘矢量的点乘矢量的点乘：或者或者矢量的叉乘：矢量的叉乘：或者或者 第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 矢量的点乘矢量的点乘矢量的叉乘矢量的叉乘第6页，本讲稿共19页1.3 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.3.1 标量场的方向导数标量场的方向导数设设点点M0(x0,y0,z0)是是标标量量场场u(x,y,z)所所在在空空间间内内的的一一个个固固定定点点，过过M0点点引引出出一一条条射射线线l，并并在在该该射射线线上上靠靠近近M0点点一一个个动动点点M(x0+x,y0+y,z0+z)，而且点，而且点M0与与M之间的距离为之间的距离为l。第一章第一章 矢量分析基础矢量
4、分析基础 第7页，本讲稿共19页方向导数方向导数定义如下定义如下1.3.2 标量场的梯度标量场的梯度我我们们定定义义一一个个矢矢量量G，令令其其方方向向就就是是标标量量函函数数u在在定定点点处处最最大大变变化化率率的的方方向向，而而其其大大小小则则为为最最大大变变化化率率的的值值，称称这这个个矢矢量量G为标量函数为标量函数u在定点在定点M0处的处的梯度梯度，记为，记为 第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第8页，本讲稿共19页1.3.3 哈密尔顿算子哈密尔顿算子(Hamilton)在在直直角角坐坐标标系系中中，定定义义算算子子与与标标量量函函数数u的的乘乘积积为为该该函数的梯度，即函数的梯
5、度，即 第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第9页，本讲稿共19页1.4 矢量场的散度及高斯散度定理矢量场的散度及高斯散度定理1.4.1 矢量场的通量矢量场的通量通过闭合曲面的通过闭合曲面的总通量总通量可表示为可表示为 第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 曲面法向单位矢量的确定曲面法向单位矢量的确定第10页，本讲稿共19页说明说明：若若0，则则表表示示S面面中中有有净净通通量量流流入入，即即穿穿出出S面面的的矢矢量量线线多多于于穿穿入入S面面的的矢矢量量线线，说说明明在在S面面中中必必有有产产生生矢矢量量线线的的源，称之为源，称之为正源正源；若若0，则则表表示示穿穿入入S面面的的矢矢量
6、量线线要要多多于于穿穿出出S面面的的矢矢量量线线，说说明明 面面内内必必有有吸吸收收矢矢量量线线的的源源，我我们们称称之之为为负负源源（也也称之为称之为沟沟）；）；当当=0时时，则则表表示示流流穿穿出出S面面的的矢矢量量线线与与穿穿入入的的矢矢量量线线相相等等，此此时时在在S面面内内正正源源和和负负源源完完全全抵抵消消，或或者者说说S内内没没有有源源。第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第11页，本讲稿共19页把与通量有关的正源或者负源，统称为把与通量有关的正源或者负源，统称为通量源通量源。1.4.2 矢量场的散度矢量场的散度矢量场矢量场A在点在点M处的散度，记作处的散度，记作物物理理意意
7、义义：矢矢量量场场中中任任意意点点处处通通量量对对体体积积的的变变化化率率，即即从从点点M单单位位体体积积内内散散发发的的通通量量，所所以以，又又可可以以将将散散度度称称为为“通通量量源源密密度度”或或者者“通通量量源源强强度度”。在在无无源源区区中中，矢矢量量场场A在在各各点点处的散度均为零。处的散度均为零。第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第12页，本讲稿共19页在直角坐标系中，在直角坐标系中，散度散度的表达式为的表达式为或者或者 第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 矢量场的散度及通量源矢量场的散度及通量源第13页，本讲稿共19页把与通量有关的正源或者负源，统称为把与通量有关的正
8、源或者负源，统称为通量源通量源。1.4.3 矢量场的散度矢量场的散度矢量场矢量场A在点在点M处的散度，记作处的散度，记作物物理理意意义义：矢矢量量场场中中任任意意点点处处通通量量对对体体积积的的变变化化率率，即即从从点点M单单位位体体积积内内散散发发的的通通量量，所所以以，又又可可以以将将散散度度称称为为“通通量量源源密密度度”或或者者“通通量量源源强强度度”。在在无无源源区区中中，矢矢量量场场A在在各各点处的散度均为零。点处的散度均为零。第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第14页，本讲稿共19页1.4.4 高斯散度定理高斯散度定理说明说明：它是在矢量分析中一个非常重要的定理；它是在矢量
9、分析中一个非常重要的定理；从从数数学学上上看看，利利用用高高斯斯散散度度定定理理可可以以将将矢矢量量函函数数的的面面积积分转化为标量函数的体积分，或反之；分转化为标量函数的体积分，或反之；从从场场的的观观点点来来看看，高高斯斯散散度度定定理理建建立立了了某某一一区区域域中中的的场场与与包围该区域边界上的场的关系。包围该区域边界上的场的关系。第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第15页，本讲稿共19页1.5 矢量场的旋度及斯托克斯定理矢量场的旋度及斯托克斯定理1.5.1 环量环量定定义义矢矢量量A沿沿某某一一个个封封闭闭曲曲线线的的线线积积分分称称为为该该矢矢量量沿沿此此封封闭闭曲线的曲线的
10、环量环量，可以表示为，可以表示为 第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第16页，本讲稿共19页说明说明：环量和通量一样，也是一个环量和通量一样，也是一个代数量代数量，它是标量积的线积，它是标量积的线积分。分。其大小和正负不仅与其大小和正负不仅与矢量场的分布矢量场的分布有关，而且还取决于封有关，而且还取决于封闭曲线的闭曲线的形状和取向形状和取向。如果矢量沿封闭曲线的环量不为零，则说明该封闭曲线如果矢量沿封闭曲线的环量不为零，则说明该封闭曲线内存在另一种源内存在另一种源涡流源涡流源，又叫做，又叫做旋涡源旋涡源，对应的矢量，对应的矢量场则称为场则称为有旋场有旋场或或涡流场涡流场；反之，若环量为零，则表示；反之，若环量为零，则表示封闭曲线内不存在旋涡源，称相应的矢量场为封闭曲线内不存在旋涡源，称相应的矢量场为无旋场无旋场，也叫做也叫做保守场保守场。第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第17页，本讲稿共19页1.5.2旋度旋度环量面密度环量面密度：旋度旋度：直角坐标系中旋度的表达式直角坐标系中旋度的表达式 第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 第18页，本讲稿共19页1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理第一章第一章 矢量分析基础矢量分析基础 矢量场的旋度以及旋涡源矢量场的旋度以及旋涡源第19页，本讲稿共19页