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1、2011-4-1912011-4-191第二章第二章第二章第二章 状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论(Modern Control Theory)教材：教材：王万良，现代控制工程，高等教育出版社，王万良，现代控制工程，高等教育出版社，20112011-4-1922011-4-192控制科学的重要性控制科学的重要性控制科学的重要性控制科学的重要性控制理论的产生与发展控制理论的产生与发展控制理论的产生与发展控制理论的产生与发展现代控制理论的研究内容现代控制理论的研究内容现代控制理论的研究内容现代控制理论的研究内容现代控制
2、理论与经典控制理论的现代控制理论与经典控制理论的现代控制理论与经典控制理论的现代控制理论与经典控制理论的对比对比对比对比现代控制理论的应用与挑战现代控制理论的应用与挑战现代控制理论的应用与挑战现代控制理论的应用与挑战现代控制理论的现代控制理论的现代控制理论的现代控制理论的课程要求和评价方式课程要求和评价方式课程要求和评价方式课程要求和评价方式第第 1 章 绪论章 绪论2011-4-1932011-4-193现代控制理论的现代控制理论的现代控制理论的现代控制理论的学习内容及时间安排学习内容及时间安排学习内容及时间安排学习内容及时间安排1、绪论（、绪论（2时）时）2、状态空间数学模型（、状态空间数
3、学模型（7时）时）3、控制系统的稳定性分析（、控制系统的稳定性分析（6时）时）4、线性系统的动态性能分析（、线性系统的动态性能分析（6时）时）5、线性系统的能控性和能观性分析（、线性系统的能控性和能观性分析（7时）时）6、状态反馈设计与观测器（、状态反馈设计与观测器（2时）时）7、线性二次型最优控制（、线性二次型最优控制（2时，备选）时，备选）8、习题课（、习题课（2时）时）2011-4-1942011-4-194第二章第二章第二章第二章 状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型2.1 2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念状态与状态空间的
4、概念2.2 2.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型2.3 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换2.4 2.4 控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现2.5 2.5 多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵2.6 2.6 控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型2011-4-1952011-4-195两类系统：例：比例放大器例：带有储能
5、元件的电路输入输入代数方程输出代数方程输出输入初始状态输入初始状态微分方程输出微分方程输出动态系统或动力学系统动态系统或动力学系统()()di tLu tdt=001()()tti tudIL=+220200()()()()()()1()()()()2d y tdv tma mmf tdtdtf tv tt v tmf ty ty tv t ttm=+=+2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念2011-4-1962011-4-196?状态状态状态：状态：是描述系统运动行为的一些信息集合，在已知是描述系统运动行为的一些信息集合，在已知是描述系统运动行为的一些信息集合，在已知是描述系统运
6、动行为的一些信息集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是为是为是为是充分且必要的充分且必要的充分且必要的充分且必要的。?状态变量状态变量状态变量状态变量：指足以：指足以完全描述完全描述系统运动行为的系统运动行为的最小最小变量组。变量组。最大线性无关变量组最大线性无关变量组最大线性无关变量组最大线性无关变量组2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念完全描述完全描述完全描述完全描述：如果给定了：如果给定了t=tot=
7、to时刻这组变量值，和时刻这组变量值，和t t=toto时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了。最小变量组时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了。最小变量组最小变量组最小变量组：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。2011-4-1972011-4-197?状态空间状态空间状态空间：状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻，状态向量是状态空间的一个点。
8、维空间。在某一特定时刻，状态向量是状态空间的一个点。)(),.,(),(21txtxtxnt)(tX X?状态轨迹状态轨迹状态轨迹状态轨迹：以为起点，随着时间的推移，在状态空间绘出的一条轨迹。以为起点，随着时间的推移，在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX X)()(0ttXXXX=?状态向量状态向量状态向量状态向量：把这把这n个状态变量看成是向量的分量，则称为状态向量。记作：个状态变量看成是向量的分量，则称为状态向量。记作：)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X=)()(1txtxn?X(t)X(t)().,(),()(21txtxtxtnT=X X或：或：分量之间分量之
9、间的关系？的关系？2011-4-1982011-4-198例：图例：图例：图例：图2.12.1所示弹簧所示弹簧所示弹簧所示弹簧-阻尼器系统阻尼器系统阻尼器系统阻尼器系统在外作用力在外作用力在外作用力在外作用力F(tF(t)已知的情况下，如果知已知的情况下，如果知已知的情况下，如果知已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度道了物体在某一时刻的位移及速度道了物体在某一时刻的位移及速度道了物体在某一时刻的位移及速度,就能就能就能就能确定系统未来的动态响应。确定系统未来的动态响应。确定系统未来的动态响应。确定系统未来的动态响应。如果仅知道物体的位移或速度，就不能如果仅知道物体的位移或速度，就
10、不能如果仅知道物体的位移或速度，就不能如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。确定系统未来的动态响应。确定系统未来的动态响应。确定系统未来的动态响应。物体的位移、速度及加速度这三个量显物体的位移、速度及加速度这三个量显物体的位移、速度及加速度这三个量显物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，可以根据其中两个量确定然是不独立的，可以根据其中两个量确定然是不独立的，可以根据其中两个量确定然是不独立的，可以根据其中两个量确定另外一个量，因此这个量对于描述系统状另外一个量，因此这个量对于描述系统状另外一个量，因此这个量对于描述系统状另外一个量，因此这个量对于描述系统状态是多余
11、的。态是多余的。态是多余的。态是多余的。可选择物体在某一时刻的位移及速度为可选择物体在某一时刻的位移及速度为可选择物体在某一时刻的位移及速度为可选择物体在某一时刻的位移及速度为弹簧弹簧弹簧弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态。阻尼器系统在某一时刻的状态。阻尼器系统在某一时刻的状态。阻尼器系统在某一时刻的状态。2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念1 1、描述物体动态的状、描述物体动态的状、描述物体动态的状、描述物体动态的状态变量还有其它选择态变量还有其它选择态变量还有其它选择态变量还有其它选择吗？吗？吗？吗？2 2、动态行为规律？、动态行为规律？、动态行为规律？、动态行为规律？2011-
12、4-1992011-4-199?状态方程状态方程：由系统的状态变量构成的由系统的状态变量构成的一阶微分方程组一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：1212(,;,),1,2,.,iinmxf x xx u uuin=?输出方程输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关
13、系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：1212(,;,),1,2,.,jjnmyx xx u uujp=?是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。if是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。j2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念2011-4-19102011-4-1910第二章第二章第二章第二章 状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型2.1 2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念2.2 2.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型2.3 2.
14、3 线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换2.4 2.4 控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现2.5 2.5 多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵2.6 2.6 控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型2.2.1 状态空间模型的建立状态空间模型的建立2.2.2 由动态方程转换为微分方程模型由动态方程转换为微分方程模型2011-4-19112011-4-1911方法方法方法方法：通
15、过系统的物理模型建立动态方程通过系统的物理模型建立动态方程适用对象适用对象：系统结构和参数已知。系统结构和参数已知。核心问题核心问题合理选择系统的状态变量合理选择系统的状态变量状态变量的选择规则状态变量的选择规则：选择系统中储能元件的输出物理量选择系统中储能元件的输出物理量选择系统的输出及其各阶导数选择系统的输出及其各阶导数选择能使状态方程成为某种标准形式的变量选择能使状态方程成为某种标准形式的变量注意事项注意事项：同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同；同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同；两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同。2
16、.2.1 2.2.1 系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立问题：若系统的结构和参数未知，如何建模呢？问题：若系统的结构和参数未知，如何建模呢？2011-4-19122011-4-1912例例2.1：求图示：求图示RLC回路的状态空间表达式回路的状态空间表达式分析如下系统：分析如下系统：分析如下系统：分析如下系统：方法：方法：方法：方法：1 1、根据物理定律建立系统的物理模型。、根据物理定律建立系统的物理模型。、根据物理定律建立系统的物理模型。、根据物理定律建立系统的物理模型。2 2 选择系统中储能元件的输出作为状态变量，将物理模型选择系统中储
17、能元件的输出作为状态变量，将物理模型选择系统中储能元件的输出作为状态变量，将物理模型选择系统中储能元件的输出作为状态变量，将物理模型转化为状态方程和输出方程。转化为状态方程和输出方程。转化为状态方程和输出方程。转化为状态方程和输出方程。2.2.1 2.2.1 系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立2011-4-19132011-4-19132）根据基尔霍夫定律，列写2个回路的方程2）根据基尔霍夫定律，列写2个回路的方程：整理得：整理得：111111211222211211212cdiRRdtLLLdiRRRcdtLLLdudtCiiuiiui+
18、=+=1211212211222()()0cdicdtdicdtdudtLiiRuLii Ri RuCi+=+=如何选取状态如何选取状态如何选取状态如何选取状态变量？变量？变量？变量？写出相应的状态方程写出相应的状态方程写出相应的状态方程写出相应的状态方程2.2.1 2.2.1 系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立2011-4-19142011-4-1914112231111111112222223312301100100001cxixixuRRLLLxxRRRxxuLLLxxCxyxx=+=+=?令、，则 系 统 的为：状 态 方 程输 出
19、 方 程 为：ABC此为此为SISO系统，状态变量与系统的储能元件个数相同系统，状态变量与系统的储能元件个数相同问题：上述描述是否是唯一的？问题：上述描述是否是唯一的？问题：上述描述是否是唯一的？问题：上述描述是否是唯一的？2.2.1 2.2.1 系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立2011-4-19152011-4-1915 例例例例 2.2 2.2 试列出在外力试列出在外力f作用下，以质量作用下，以质量M1、M2 的位移的位移y1 和和y2 为输出的动态方程。为输出的动态方程。机械阻尼运动模型机械阻尼运动模型机械阻尼运动模型机械阻尼运动模
20、型隔离受力分析隔离受力分析隔离受力分析隔离受力分析2.2.1 2.2.1 系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立2011-4-19162011-4-1916则据牛顿第二定律有：则据牛顿第二定律有：221121122222()()M yk yyB yyB yk y=+?11112112()()M yfB yyk yy=?选状态变量选状态变量1122311422,xy xyxyv xyv uf=?代入上式并整理得：代入上式并整理得：=2211xyxy输出方程：输出方程：1324111231234111111121124123422221xxxxkk
21、BBxxxxxuMMMMMkkkBBBxxxxxMMMM=+=+?状态方程：状态方程：2011-4-19172011-4-1917写成矩阵形式：写成矩阵形式：1111111111121122222001000001010kkBBXXuMMMMMkkkBBBMMMM=+?=432100100001xxxxyABCSIMOSIMO系统，系统，系统，系统，四个储能元件四个储能元件四个储能元件四个储能元件四个状态变量四个状态变量四个状态变量四个状态变量问题：上述描述是否是唯一的？问题：上述描述是否是唯一的？问题：上述描述是否是唯一的？问题：上述描述是否是唯一的？2011-4-19182011-4-19
22、18从上述例题可以看出从上述例题可以看出从上述例题可以看出从上述例题可以看出：（1 1）状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）；（但在相似意义下是唯一的）；（但在相似意义下是唯一的）；（但在相似意义下是唯一的）；（2 2）状态变量的个数一定，储能元件的个数；状态变量的个数一定，储能元件的个数；状态变量的个数一定，储能元件的个数；状态变量的个数一定，储能元件的个数；（3 3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是）状态变量可以是有明显物理
23、意义的量，也可以是）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。（参见课本例量，也可以是不可测的量。（参见课本例量，也可以是不可测的量。（参见课本例量，也可以是不可测的量。（参见课本例2.22.2）(4)(4)很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相很多系统虽然具有不同的物理特性
24、，但却具有相同形式的数学模型。同形式的数学模型。同形式的数学模型。同形式的数学模型。2.2.1 2.2.1 系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立系统状态空间模型的建立2011-4-19192011-4-1919例例例例2.3 2.3 已知弹簧已知弹簧已知弹簧已知弹簧-阻尼器系统的状阻尼器系统的状阻尼器系统的状阻尼器系统的状态空间模型如下：态空间模型如下：态空间模型如下：态空间模型如下：2.2.2 2.2.2 由系统的动态方程求微分方程模型由系统的动态方程求微分方程模型由系统的动态方程求微分方程模型由系统的动态方程求微分方程模型21xx=?FMxMfxMKx1212
25、+=?1xy=消去状态变量即可得微分方程：消去状态变量即可得微分方程：消去状态变量即可得微分方程：消去状态变量即可得微分方程：FMyMKyMfy1=+?2011-4-19202011-4-1920第二章第二章第二章第二章 状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型2.1 2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念2.2 2.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型2.3 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间
26、模型与线性变换2.4 2.4 控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现2.5 2.5 多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵2.6 2.6 控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2.3.2 线性系统的线性系统的线性系统的线性系统的线性变换线性变换线性变换线性变换2011-4-19212011-4-1921状态变量（状态变量（x1,x2,xn）u1u2ury1y2ymFig.
27、1 MIMO 系统系统()(),(),)()(),(),)tftt tttt t=?状态方程：状态空间模型表达式输出方程：xxuyxu系统的完全描述系统的完全描述系统的完全描述系统的完全描述“动态方程动态方程动态方程动态方程”问题：何为线性系统和非线性系统？线性系统有何特点？问题：何为线性系统和非线性系统？线性系统有何特点？问题：何为线性系统和非线性系统？线性系统有何特点？问题：何为线性系统和非线性系统？线性系统有何特点？2.3.1 2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2011-4-19222011-4-1922线性系统的状态空间
28、表达式线性系统的状态空间表达式()()()()()()()()()()tA ttB tttC ttD tt=+=+?xxuyxu(),(),(),()A tB t C tD t可记为可记为 状态向量维状态向量维1,21=nTnxxxx?T12,1ruuuur=?维输入向量其中其中其中其中：T121,myyyym=?维输出向量2.3.1 2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2011-4-19232011-4-1923,212222111211=nnnnnnaaaaaaaaaA?,n n 维表征各状态变量系统矩阵间的关系,212222
29、111211=nrnnrrbbbbbbbbbB?,n r 维输入矩阵表征输入对每个变量的作用()()()()()tA ttB tt=+?xxu2.3.1 2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2011-4-19242011-4-1924,212222111211=mnmmnncccccccccC?m n 维表征输出和每个状态变输出矩阵量的关系,212222111211=mrmmrrdddddddddD?,D 0m r 维又称为表征输入对输出前馈矩阵直接的关系直接通递转阵传常移矩()()()()()tC ttD tt=+yxu2.3.
30、1 2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2011-4-19252011-4-1925111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnrrnnrrmmmmnnmmmrryc xc xc xd ud ud uyc xc xc xd ud ud uyc xcxc xb udud u=+=+=+?输出方程的通式为：输出方程的通式为：输出方程的通式为：输出方程的通式为：rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax+=+=+=+
31、=+=?22112211222212122221212121211112121111状态方程的通式为：状态方程的通式为：状态方程的通式为：状态方程的通式为：(),(),(),()A tB tCtD t可简记为可简记为2.3.1 2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2011-4-19262011-4-1926线性时不变线性时不变(定常定常)系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式SISO线性定常系统的状态空间表达式线性定常系统的状态空间表达式()()()()()()tA tB ttC tD t=+=+?xxuyxu()()tABtC
32、=+=?xxuyx可简记为：线性系统线性系统线性系统线性系统线性时变系统线性时变系统线性时变系统线性时变系统线性时不变系统线性时不变系统线性时不变系统线性时不变系统2.3.1 2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型BuAxx+=?duCxy+=2011-4-19272011-4-1927为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用代表一个动力代表一个动力代表一个动力代表一个动力学系统。学系统。学系统。学系统。状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式非唯一性非唯一性非唯一性非
33、唯一性,这是和传递函数明显区别这是和传递函数明显区别这是和传递函数明显区别这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵的地方。状态变量非唯一，导致矩阵的地方。状态变量非唯一，导致矩阵的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,DA,B,C,D非唯非唯非唯非唯一。一。一。一。主要研究主要研究主要研究主要研究线性时不变系统线性时不变系统线性时不变系统线性时不变系统的分析和综合问题：的分析和综合问题：的分析和综合问题：的分析和综合问题：线性系统是实际非线性对象的线性化近似；线性系统是实际非线性对象的线性化近似；线性系统是实际非线性对象的线性化近似；线性系统是实际非线性对象的线性化近似；线性
34、系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决提供思路。提供思路。提供思路。提供思路。),(DCBA2.3.1 2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2011-4-19282011-4-1928 系统的矩阵方框图系统的矩阵方框图：B BC CADADU UXXXXY Y+常用符号：常用符号：常用符号：常用符号：积分器积分器ik比例器比例器+加法器加法器模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：+=+=+
35、=+=DUCXYBUAXXDUCXYBUAXXSISO SystemMIMO System2.3.1 2.3.1 线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2011-4-19292011-4-1929线性变换的意义线性变换的意义线性变换的意义线性变换的意义是一种交换基底的坐标变换是一种交换基底的坐标变换，虽然改变了数学模型的形式，但模型的固有性质不变；，虽然改变了数学模型的形式，但模型的固有性质不变；同一系统具有不同的状态空间模型，相互之间同一系统具有不同的状态空间模型，相互之间同一系统具有不同的状态空间模型，相互之间同一系统具有不同的状态空间模型
36、，相互之间可以通过线性变换而得到，说明这些模型在可以通过线性变换而得到，说明这些模型在可以通过线性变换而得到，说明这些模型在可以通过线性变换而得到，说明这些模型在相似意相似意相似意相似意义下是等价的，又称等价变换义下是等价的，又称等价变换义下是等价的，又称等价变换义下是等价的，又称等价变换；可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范的标准型，从而单规范的标准型，从而单规范的标准型，从而单规范的标准型，从而简化系统的分析和设计简化系统的分析和设计简化系统的分析和设计简化系统
37、的分析和设计。2.3.2 2.3.2 系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换2011-4-19302011-4-1930()()()()()()x tAx tBu ty tCx tDu t=+=+?设 两 个 系 统 状 态 模 型 为：设 两 个 系 统 状 态 模 型 为：()()()()()()tAtBttCtDt=+=+?xxuyxu则称两个系统模型是则称两个系统模型是则称两个系统模型是则称两个系统模型是代数等价代数等价代数等价代数等价的，的，的，的，且且且且线性非奇异变换线性非奇异变换线性非奇异变换线性非奇异变换称为称为称为称为等价变换等价变换等价变换等价变换xP
38、x=?P?2.3.2 2.3.2 系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换若存在若存在若存在若存在,使如下关系成立：使如下关系成立：使如下关系成立：使如下关系成立：xP x=?1xP xxP x=?11AP APBP B=?CCPDD=?2011-4-19312011-4-1931线性变换的性质：线性变换的性质：线性变换的性质：线性变换的性质：改变了系统数学模型的形式，但系统的固有性质不变。改变了系统数学模型的形式，但系统的固有性质不变。改变了系统数学模型的形式，但系统的固有性质不变。改变了系统数学模型的形式，但系统的固有性质不变。2.3.2 2.3.2 系统的线性变换系统的线
39、性变换系统的线性变换系统的线性变换定理：线性变换后系统的特征值不变。定理：线性变换后系统的特征值不变。证明：证明：证明：证明：变换后系统的特征多项式变换后系统的特征多项式变换后系统的特征多项式变换后系统的特征多项式1111|IAP PP APPIPP AP=?11|()|PIA PPIA P=1|PPIAIIAIA=变换前后的特征多项式相同，故特征值不变。得证。变换前后的特征多项式相同，故特征值不变。得证。特征值是系统的不变量。特征值是系统的不变量。特征值是系统的不变量。特征值是系统的不变量。2011-4-19322011-4-1932例例例例2.4 2.4 已知系统的状态方程为已知系统的状态
40、方程为已知系统的状态方程为已知系统的状态方程为uxxxxxx+=1006116100010321321?取线性变换为取线性变换为取线性变换为取线性变换为=321321941321111xxxxxx求变换后系统的状态方程。求变换后系统的状态方程。求变换后系统的状态方程。求变换后系统的状态方程。2.3.2 2.3.2 系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换2011-4-19332011-4-1933解：=941321111P=5.05.111435.05.231P=94132111161161000105.05.111435.05.231APPA=3000200012781941
41、3215.05.111435.05.23=5.015.01005.05.111435.05.231BPB2.3.2 2.3.2 系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换P P-1 1？uxx+=5.015.0300020001?此模型有何此模型有何此模型有何此模型有何特点？特点？特点？特点？2011-4-19342011-4-1934内容小结内容小结内容小结内容小结重要概念：重要概念：重要概念：重要概念：状态、状态变量、状态空间、状态向量、状态、状态变量、状态空间、状态向量、状态、状态变量、状态空间、状态向量、状态、状态变量、状态空间、状态向量、状态轨迹、状态轨迹、状态轨迹、状
42、态轨迹、状态空间模型（动态方程）状态空间模型（动态方程）状态空间模型（动态方程）状态空间模型（动态方程）线性变换线性变换线性变换线性变换状态空间模型的建立方法状态空间模型的建立方法状态空间模型的建立方法状态空间模型的建立方法线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换系统的线性变换课后作业：课后作业：课后作业：课后作业：P24 2.1P24 2.1题题题题2011-4-19352011-4-1935第二章第二章第二章第二章 状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型状态空间数学模型2.1 2.1 2.1
43、 2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念2.2 2.2 2.2 2.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型2.3 2.3 2.3 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换2.4 2.4 2.4 2.4 控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现2.5 2.5 2.5 2.5 多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵2.6 2.6 2.6 2.6 控制系统的离散
44、状态空间模控制系统的离散状态空间模控制系统的离散状态空间模控制系统的离散状态空间模型型型型2011-4-19362011-4-19362.4 2.4 2.4 2.4 控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现系统的实现问题系统的实现问题系统的实现问题系统的实现问题概念：由系统的外部数学模型（概念：由系统的外部数学模型（概念：由系统的外部数学模型（概念：由系统的外部数学模型（微分方程、传递微分方程、传递微分方程、传递微分方程、传递函数或矩阵）函数或矩阵）函数或矩阵）函数或矩阵）确定等价内部数学模型（确定等价内部数学模型（确定等价内部数学模型（确定等价内部数学模型（状态空间模状态空间
45、模状态空间模状态空间模型型型型）。）。）。）。本质：本质：本质：本质：根据系统的外部描述构造一个内部结构根据系统的外部描述构造一个内部结构根据系统的外部描述构造一个内部结构根据系统的外部描述构造一个内部结构，要求：要求：要求：要求：既保持外部描述的输入输出关系，又要将既保持外部描述的输入输出关系，又要将既保持外部描述的输入输出关系，又要将既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的内部结构确定下来，故常称为系统的实现问题。系统的内部结构确定下来，故常称为系统的实现问题。系统的内部结构确定下来，故常称为系统的实现问题。系统的内部结构确定下来，故常称为系统的实现问题。本节分析对象：本节分析对象：本节
46、分析对象：本节分析对象：SISOSISOSISOSISO系统。系统。系统。系统。系统的实现问题是否具有唯一解？系统的实现问题是否具有唯一解？系统的实现问题是否具有唯一解？系统的实现问题是否具有唯一解？学习思路：从简单入手，学习思路：从简单入手，学习思路：从简单入手，学习思路：从简单入手，归纳总结，推广至复杂归纳总结，推广至复杂归纳总结，推广至复杂归纳总结，推广至复杂2011-4-19372011-4-1937线性定常系统的状态空间表达式为线性定常系统的状态空间表达式为ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(+=+=+?在经典控制理论中,SISO控制系统的时域
47、模型为：在经典控制理论中,SISO控制系统的时域模型为：解决思路解决思路解决思路解决思路:选取适当的状态变量选取适当的状态变量选取适当的状态变量选取适当的状态变量,并由并由并由并由确定相应的系数矩阵确定相应的系数矩阵确定相应的系数矩阵确定相应的系数矩阵A A A A、B B B B、C C C C、D.D.D.D.),1,0(),1(njbniaji?=+=+=+=+=DuCxyBuAxx?两类问题两类问题两类问题两类问题：1、微分方程中不包含输入函数的导数项1、微分方程中不包含输入函数的导数项2、微分方程中包含输入函数的导数项2、微分方程中包含输入函数的导数项如何转换？如何转换？如何转换？如
48、何转换？2.4 2.4 2.4 2.4 控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现从简单入手，先解从简单入手，先解从简单入手，先解从简单入手，先解决第一类问题决第一类问题决第一类问题决第一类问题2011-4-19382011-4-1938 例例例例 设系统输入设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。uyyyy5342=+?解解解解：若选，可导出系数矩阵若选，可导出系数矩阵A，B，Cyxyxyx?=321,=243100010A 001=C=500B53 2x1uy1x 3x42 3x?模拟结构图模拟结构图模拟结构图模拟结构图20
49、11-4-19392011-4-1939微分方程形式微分方程形式:推广一般（微分方程中不包含输入函数的导数项）推广一般（微分方程中不包含输入函数的导数项）推广一般（微分方程中不包含输入函数的导数项）推广一般（微分方程中不包含输入函数的导数项）buyayayaynnn=+=+01)1(1)(?1.1.）选择状态变量选择状态变量选择状态变量选择状态变量.若给定初始条件则系统行为若给定初始条件则系统行为被完全确定被完全确定故选择为系统的一组状态变量故选择为系统的一组状态变量输出及其各阶导数输出及其各阶导数)1(,nyyyy?)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的输入及的输入及?=)1(
50、21nnyxyxyx?令令:2.2.）将上两边对将上两边对将上两边对将上两边对t t求导求导求导，化为状态变量的一阶微分方程组求导，化为状态变量的一阶微分方程组.nxxx,21?2011-4-19402011-4-1940+=+=ubxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnn12110)1(13221?系统矩阵系统矩阵A特点：友矩阵主对角线上方的第特点：友矩阵主对角线上方的第1个元素为个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，。，。3.3.）化为向量矩阵形式：）化为向量矩阵形式：）化为向量矩阵形式：状态方程为）化为向量矩阵形