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1、第二章系统的状态空间模型本讲稿第一页，共二十页分析设计系统的第一步就是建立描述系统的数学模型，即数学表达式。由于分析目的和分析方法的不同，可以用不同的数学方程描述同一系统。仅仅描述系统输入量和输出量之间关系的数学表达式称之为系统的外部描述或输入-输出描述。描述系统内部行为和输出行为的数学表达式称作系统的内部描述。本讲稿第二页，共二十页冲激响应，传递函数便是系统的输入-输出描述，状态空间描述或多项式矩阵描述便是系统的内部描述。本讲稿第三页，共二十页几个基本概念1.1.状态变量状态变量 动力学系统的状态是指能完整地、确定地描述系统的时域行动力学系统的状态是指能完整地、确定地描述系统的时域行为的最小
2、一组变量。如果给定了为的最小一组变量。如果给定了t=t0t=t0时刻这组变量的值和时刻这组变量的值和t=t0t=t0时输入的时间函数，那么系统在时输入的时间函数，那么系统在t=t0t=t0的任何瞬时的的任何瞬时的行为就完全确定了，这样的一组变量称为状态变量。行为就完全确定了，这样的一组变量称为状态变量。本讲稿第四页，共二十页2.2.状态向量状态向量 以状态变量为元所组成的向量，称为状态变量。以状态变量为元所组成的向量，称为状态变量。3.状态空间 以状态变量为坐标轴组成的n维正交空间，称为状态空间。本讲稿第五页，共二十页状态空间描述表达式 线性定常系统 线性时变系统本讲稿第六页，共二十页在经典控
3、制理论中，通常控制系统的时域模型表征为输出和输入间的一个单变量高阶微分方程，它具有如下一般形式 本讲稿第七页，共二十页 线性定常系数的状态空间表达式为：所以将一般时域描述化为状态空间表达式的关键问题是适当选择系统的状态变量，本讲稿第八页，共二十页 并由 定出相应的系数矩阵A、B、C、D。下面分两种情况进行讨论。一、方程中不包含输入函数的导数 线性微分方程中的输入函数为线性微分方程中的输入函数为u u，不包含各阶导数的微分方，不包含各阶导数的微分方程形式为程形式为1.选择状态变量 一个一个n n阶系统，具有阶系统，具有n n个状态变量，因为当给定个状态变量，因为当给定y(0),y(0),本讲稿第
4、九页，共二十页 和和 的输入的输入u(t)u(t)时，系统在时，系统在 时的运时的运动状态就完全确定了，所以可以取动状态就完全确定了，所以可以取为系统的一组状态变量，令本讲稿第十页，共二十页2.将高阶微分方程化为状态变量 的一阶微分方程系统输出关系式为本讲稿第十一页，共二十页3.将一阶微分方程组化为向量形式状态方程本讲稿第十二页，共二十页输出方程本讲稿第十三页，共二十页二、方程中包含输入函数的导数线性微分方程为将上面的微分方程化为状态空间描述的方法同上，但遇到的新问题是，因为方程式右边出现了u的导数项，使状态空间中的运动出现无穷大的跃变，方程项，使状态空间中的运动出现无穷大的跃变，方程解的存在
5、性和唯一性被破坏了，所以选择的状态变解的存在性和唯一性被破坏了，所以选择的状态变量要使导出的一阶微分方程组的等式右边不出现量要使导出的一阶微分方程组的等式右边不出现u u本讲稿第十四页，共二十页的导数项。为此，通常把状态变量取为输出的导数项。为此，通常把状态变量取为输出y y和输入和输入U的各阶导数的组合。1.1.选择状态变量选择状态变量本讲稿第十五页，共二十页式中的系数式中的系数 待定，可由下面方法定出：待定，可由下面方法定出：用用 分别乘上式中相应方程的两端，并移项，分别乘上式中相应方程的两端，并移项，得得本讲稿第十六页，共二十页不难看出，上述各方程左端相加等于线性微分方程不难看出，上述各方程左端相加等于线性微分方程的左端，因此，上述各方程右端相加也等于线性微的左端，因此，上述各方程右端相加也等于线性微分方程的右端。即分方程的右端。即等式两边等式两边 的系数应该相等，的系数应该相等，本讲稿第十七页，共二十页所以所以这是由这是由 和和 计算计算 的关系式的关系式本讲稿第十八页，共二十页2.导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式 本讲稿第十九页，共二十页3.化为向量形式状态方程输出方程本讲稿第二十页，共二十页