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1、 1 第二讲 第二讲 时间序列分析 时间序列分析 2 1 时间序列成分分析 1 时间序列成分分析 1.1 时间序列的构成因素 1.1 时间序列的构成因素 时间序列中的数据（也称为观测值），总是由各种不同的影响因素共同作用所至；换一句话说，时间序列中的数据，总是包含着不同的影响因素。我们可以将这些影响因素合并归类为几种不同的类型，并对各种类型因素的影响作用加以测定。对时间序列影响因素的归类，最常见的是归为 3 类：?长期趋势（SPSS 的名称为 Smoothed Trend-Cycle，3 缩写 stc），长期趋势是一种对事物的发展普遍和长期起作用的基本因素。受长期趋势因素的影响，事物表现出在一
2、段相当长的时期内沿着某一方向的持续发展变化。这种变化最常见的是一种向上的发展，对于经济现象而言，通常由各种经济投入（如技术进步、劳动力、资金等）所引起，因此，长期趋势有时也可视作经济成长的因素。4?季节周期因子（SPSS 的名称为 Season Factors Component）,缩写 saf，季节周期也称为季节变动，是一种现象以一定时期（如一年、一月、一周等）为一周期呈现较有规律的上升、下降交替运动的影响因素。通常表现为现象在一年内随着自然季节的更替而发生的较有规律的增减变化（如某些季节性商品的销售额、旅游客流量、各月的降雨量等）。形成季节周期的原因，5 除了自然因素，也有人为和社会因素。
3、?不规则变动因子（SPSS的名称为Irregular Component,缩写 err）。不规则变动是一种偶然性、随机性、突发性因素。受这种因素影响，现象呈现时大时小、时起时伏、方向不定、难以把握的变动。这种变动不同于前三种变动，它完全无规律可循，无法控制和消除，例如战争、自然灾害等。【例】【例】1993 年年 1 月至月至 2000 年年 12 月社会消费品月零售总额的各成分图如下。月社会消费品月零售总额的各成分图如下。x01000200030004000time01JAN93 01JUL93 01JAN94 01JUL94 01JAN95 01JUL95 01JAN96 01JUL96 0
4、1JAN97 01JUL97 01JAN98 01JUL98 01JAN99 01JUL99 01JAN00 01JUL00 01JAN01 1993 年年 1 月至月至 2000 年年 12 月社会消费品月零售总额曲线图月社会消费品月零售总额曲线图 6 T0100020003000time01JAN93 01JUL93 01JAN94 01JUL94 01JAN95 01JUL95 01JAN96 01JUL96 01JAN97 01JUL97 01JAN98 01JUL98 01JAN99 01JUL99 01JAN00 01JUL00 01JAN01 长期趋势成分长期趋势成分 7 I95
5、96979899100101102103104time01JAN9301JAN9401JAN9501JAN9601JAN9701JAN9801JAN9901JAN0001JAN0101JAN02 不规则变动因子图不规则变动因子图 8 S90100110120130time01JAN9301JAN9401JAN9501JAN9601JAN9701JAN9801JAN9901JAN0001JAN0101JAN02 季节因子图季节因子图 9 1.2 时间序列的组合模型 1.2 时间序列的组合模型 若以 Y 代表时间序列中的数据（观测值），则 Y 由上述四类因素所决定的组合模型为：Y=T+S+I （加
6、法模型）在加法模型中，各种影响因素是相互独立的，均为与 Y 同计量单位的绝对量。加法模型中，各因素的分解是根据减法进行（如 Y T=S+I）。10 Y=T S I （乘法模型）11 在乘法模型中，只有长期趋势是与 Y 同计量单位的绝对量；其余因素均为以长期趋势为基础的比率，表现为对于长期趋势的一种相对变化幅度，通常以百分数表示。乘法模型中，各因素的分解是根据除法进行（如 Y/T=S I）。乘法模型是时间序列构成因素分析的主要模型形式。1.3 SPSS 时间序列成分分解的实现及输出结果 1.3 SPSS 时间序列成分分解的实现及输出结果（一）SPSS 时间序列成分分解的实现（一）SPSS 时间序
7、列成分分解的实现 为了简单起见，我们先来看一个简单的时间序列例子。表 12 1 是 1984 年到 1988 年某机场每个季度通过安全检测门的人数，单位：万人。第一步：将数据输入 SPSS 的表格，记住现在只有一个变量序列，按时间顺序输成一列；记住现在只有一个变量序列，按时间顺序输成一列；第二步：定义时间。通过DATA的菜单，选择Define Dates定义时间变量（图 1）。选中后得如下的对话框（图 2），选择时间序列的频率，如年度数据，季度数据和月度数据等。表 1 84 到 88 年某机场季度过安全检测门的人数 表 1 84 到 88 年某机场季度过安全检测门的人数 13 t 一季度 二季
8、度 三季度 四季度 1984 318 380 358 423 1985 379 394 412 439 1986 413 458 492 493 1987 461 468 529 575 1988 441 548 561 620 图 1 操作图 图 1 操作图 14 图 2 操作图 图 2 操作图 15 16 第三步：进行时间序列的成分分解。通过 Analyze(分析)的菜单，选择Time-Series（时间序列），再在Time-Series的菜单选择 Seasonal Decomposition(季节分解)。如图 3。图 3 操作图 图 3 操作图 17 选中后有如下的对话框出现，如图 4。
9、图 4 操作图操作图 18 19 最后，最后，在【Variable(s)】（变量）处选择要分析的变量 在【Model】(模型)选择 Multiplicative(乘法模型)或Additive（加法模型）在【Moving Average Weight】选择 All points equal(等权移动平均)和 Endpoints Weighted by.5(端点为 0.5 为权数的移动平均)在【Display cesewise listing】处选中，要求列出中间 20 计算结构。完成后，数据文件增加了一些附加变量，如图 5。图 5 图 5 21 22 （二）输出结果的解释和展示（二）输出结果的解
10、释和展示 4 个新的附加变量序列分别是不规则成分（err_1）、季节调整后的序列（SAS_1）、季节因子（saf_1）和去掉季节和不规则变动的趋势循环成分（stc_1）。（1）saf_1 是用 122 的移动平均方法求出长期趋势的估计，然后用长期趋势去除X，得到的季节因子1；（2）sas_1 等于 x 除以 saf_1(x/saf_1)；1 方法可以参看统计学的书籍。统计学书中的时间序列一章均会介绍该方法。（3）stc_1 是由如下的公式给出2 2111()()2()3()2()()9ttttttstcsassassassassas+=+,22，3,4,tn=?211()()()s23()3)
11、tcsassassas=+121()()()s1()3nnnn)tcsassassas=+2 公式比较复杂，作为资料的完整性的需要，给出这些公式，初学的者可以不看。23 1221()()()()2stcstcstcstc=+3 111()()()2()2nnnstcstcstcstc=+)n（4）err_1 等于 SAS_1 除以 stc_1（SAS_1/stc_1）。（5）作图 24 Case Number10987654321Value X70060050040030020191817161514131211 图6 时间序列原始数据x图 图6 时间序列原始数据x图 25 Case Numb
12、er10987654321Value Seas factors for X from SEASON,MOD_1 MUL EQ20191817161514131211U1.081.061.041.021.00.98.96.94.92 图7 季节因子saf图图7 季节因子saf图 26 Case Number1110987654321Value Trend-cycle for X from SEASON,MOD_1 MUL EQ201918171615141312U600500400300 图8 图8 趋势循环stc成分图趋势循环stc成分图 27 Case Number1110987654321
13、Value Error for X from SEASON,MOD_1 MUL EQU 41.11.0.9.8201918171615141312 图9 不规则因子err图 图9 不规则因子err图 28 1.4 如何应用这些数据进行预测 1.4 如何应用这些数据进行预测 29 11.499t+从长期趋势数据stc的图形可以看出，随着时间的变化，呈现出直线的趋势，可以利用趋势数据stc和t，建立线性回归模型，预测出趋势的预测值。337.329stc=表2 预测结果 表2 预测结果 时间 stc t 趋势的预测值 1984.1 354.09695 1 348.82856 1984.2 359.0
14、4997 2 360.32792 30 1984.3 374.44139 3 371.82728 1984.4 388.22155 4 383.32664 1985.1 395.97579 5 394.82600 1985.2 403.62496 6 406.32536 1985.3 409.90770 7 417.82472 1985.4 421.92421 8 429.32408 1986.1 440.51240 9 440.82344 1986.2 458.24312 10.452.32280 31 1986.3 471.68611 11 463.82216 1986.4 476.113
15、37 12 475.32152 1987.1 483.85628 13 486.82088 1984.2 495.29080 14 498.32024 1987.3 506.60126 15 509.81960 1987.4 515.48815 16 521.31896 1988.1 519.66574 17 532.81832 1988.2 538.08290 18 544.31768 32 1988.3 565.61976 19 555.81704 1988.4 583.04718 20 567.31640 1989.1.21 578.81576 578.81576 1989.2.22 5
16、90.31512 590.31512 1989.3.23 601.81448 601.81448 1989.4.24 613.31384 613.31384 578.81576，590.31512，601.81448和613.31384分别是1989年一季度到四季度的趋势预测值，再根据季节因子一季 33 度到四季度的季节因子0.94519，0.98155，1.01254和1.06072，便可以比较快捷地估计出1989一季度到四季度的过安全检查门的人数。1989第一季度的预测值578.815760.94519 1989第二季度的预测值590.315120.98155 1989第三季度的预测值60
17、1.814481.01254 1989第四季度的预测值613.313841.06072 34 1.5 练习和理解 1.5 练习和理解 下表是北京市 1997 年 1 月到 2003 年 8 月接待海外旅游人数（单位：万人）。表 3 北京市接待海外旅游人数（单位：万人）年年 1 月月 2 月月 3 月月 4 月月 5 月月 6 月月 7 月月 8 月月 9 月月 10 月月 11 月月 12 月月 1997 1998 1999 2000 2001 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 9.6 11.7 15.8 19
18、.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 35 2002 2003 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 15.4
19、 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 完成下面的工作：1、练习输入数据和定义时间变量。2、作图，并观测数据在何处出现了非常值。3、去掉2003年的SPSS数据，做季节变动分析，请思考为何要去掉2003年的数据。4、观测输出的结果，给出12个月的季节因子。5、如果其趋势是直线，预测2003年1月到8月的可能人数，36 并计算由于非典的原因，2003年1月到8月，到北京的海外旅游人数可能共计少了多少人。37 2 平稳时间序列的 ARMA 模型 2 平稳时间序列的 ARMA 模型 2.1 平稳性 2.1 平稳性 一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就
20、是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严平稳和宽平稳。定义 1（严平稳）定义 1（严平稳）设 X(t)(tT)是一个随机过程,X(t)是在不同的时刻 t 的n 个变量 x1，x2，xn 组成的，在不同的时刻 t 是不同的随机变量，任取 n 个值 t1，t2，tn 和任意的实数 h，随机过程 X(t)(tT)n 维分布函数满足关系式 38;,)nn1111(,;,)(,nnnnF xx ttF xx=+?thth+?则称 X(t)(tT)为严平稳过程。这个定义是说将他们的观测时刻 t1，t2，tn 同时往前或往后
21、h,所得到的时刻 t1+h，t2+h，tn+h 两组时刻观测的联合分布相同。39 我们知道分布函数完整描述了随机变量的统计特征。但是严平稳过程的要求过分的严格，在实际中，要想知道X(t)(tT)所有可能的联合分布函数，这几乎是不可能的。由此我们考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。定义定义 2（宽平稳）（宽平稳）若随机变量 X(t)(tT)的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且满足：（1）任取 tT，有 E(X(t)常数；（2）任取 tT，（t）T，有 40)()()(E X ta X taR=+协方差是时间间隔的函数。则称 X(t)(tT)为宽平稳过程，其
22、中 R()为协方差函数。注 1：严平稳和宽平稳的关系。宽平稳严平稳 宽平稳严平稳 2.2 各种随机时间序列的表现形式各种随机时间序列的表现形式 白噪声过程白噪声过程（white noise，如图 10）。属于平稳过程。yt=ut,ut IID(0,2)-3-2-10123100 120 140 160 180 20 41 0 220 240 260 280 300white noise 图 10 白噪声序列（2=1）随机游走过程随机游走过程（random walk，如图 11）。属于非平稳过程。yt=yt-1+ut,ut IID(0,2)-10-5051020406080100 42 120
23、140 160 180 200y=y(-1)+u 图 11 随机游走序列（2=1）-2-1012220 240 260 280 300 320 43 340 360 380 400DJPY 44 图 12 日元兑美元差分序列 12001400160018002000220050100150200250300 图 13 深圳股票综合指数 45 20406080100400450500550600650 46 700750800 图 14 随机趋势非平稳序列（=0.1）-80-60-40-2002010020030040050 47 0600700800 图 15 随机趋势非平稳序列（=-0.1）
24、7.07.58.08.59.09.510.05560657075 48 808590Ln(Income)图 16 对数的中国国民收入序列 46810121450556065707580 49 85909500Y 图 17 中国人口序列 注 2：如果一个时间序列可以表示为白噪声的加权和，且权系数绝对收敛，则该系统是一个平稳的时间序列。（证从略）2.2 延迟算子延迟算子 50,1ptxp=延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记 B 为延迟算子，有。t pxB特别特别)是差分算子。是差分算子。1B（2.3 ARMA(p,q)模型及其平
25、稳性可逆性模型及其平稳性可逆性 2.3.1 模型类型及其表示模型类型及其表示 在平稳时间序列的分析中，应用最广泛的是有限参数模型，这种模型是在七十年代初发展活跃起来的，Box-Jinkins的理论提供了三种模型。51 tXptp p 阶自回归模型：(用自己的过去和现在的随机干扰表 X1122ttttXXXa=+?tatX+是白噪声。q 阶移动平均模型：（用现在和过去的随机干扰表 52 2tqqX112ttttaaaa=?tXXXX p 阶自回归和 q 阶移动平均模型：自己的过去及过去和现在的随机干扰表 1122tttptpX?22tqt qa=11ttaaa?pt pXXXX 其中t是白噪声序
26、列。2.3.2 平稳性平稳性 1122tttt=+?+是平稳时间序列的反映吗？如果它是平稳时间序列的模型，回归系数应该满足何种条件呢？53 t设x是一个 p 阶自回归模型 ttttXXXXtptpaX+=+?ttB Xa()1332211 或 ()=p其中：23123BpBB=?tBB。x平稳的充分必要条件是：2312310pp =?的根在单位圆外；1231230ppppp =?的根在单位圆内3。2.3.3 可逆性可逆性 54 tXta()ttaB我们可以考虑到一个时间序列是否可以用它的现在值和过去值来表示现在时刻的随机干扰呢？即 X=ItX 这种表达式称为“逆转形式”。如果一个时间序列具有逆
27、转形式，也就是说逆转形式存在且平稳，通常称该过程具 3证明请参看附录 1。有可逆性。55 tX1ttXaa例 设是一阶滑动平均模型，即1t=B=1 或a，其中()ttX1()BB=则11)aB=10jjt(1ttX（利用等比级数的通项和公式）B =jX=10jtjX =j=1ttXaa 对于一阶滑动平均模型1t=1，无论取何值，56 1Xaa1ttt=1Xaa是一个名副其实的平稳序列，但是对于1ttt=1 的“逆转形式”是否存在，则取决于|是否小于1。如果11|1jtjXXa=+t，1ttj j的系数随着Xj的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的原则，由此可见，1t1ttXaa=的逆转
28、形式存在的充分必要条件为1|1，11|11,tXX。注：偏自相关函数的概率意义是在给定t k+?X的条件下，和的相关系数。tXkt 73 ARMA(p,q)模型自相关和偏自相关均拖尾，但是快速收敛到零。模型自相关和偏自相关均拖尾，但是快速收敛到零。前面我们讨论了 ARMA 模型的统计特性。为了便于运用，将零均值平稳时间序列的自相关函数和偏自相关函数的统计特征归纳如下：模 型 AR（p）MA（q）ARMA（P，q）自相关函数（ACF）拖 尾截 尾拖 尾 74 偏自相关函数（PACF）截 尾拖 尾拖 尾 掌握了 ARMA 模型的统计特性，我们就可以依据这些统计特征，初步识别模型的类型。对一个实际时
29、间序列，我们能掌握的是一段样本数据，所以首先要利用样本数据估计模型的自相关函数和偏自相关函数。【例】【例】利用 1997 年 1 月2002 年 12 月到北京海外旅游人数资料绘制自相关和偏自相关图，在这里去掉了 2003 年的 75 数据是由于非典的流行使 2003 年到北京旅游的人数锐减，出现奇异值，不具有一般性。如图 26 所示。x010203040time01JAN9701JUL9701JAN9801JUL9801JAN9901JUL9901JAN0001JUL0001JAN0101JUL0101JAN0201JUL0201JAN0301JUL0301JAN04 76 图图 26 19
30、97 年年 1 月月2003 年年 8 月到北京海外旅游人数曲线图月到北京海外旅游人数曲线图 77 Autocorrelations Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 36.144257 1.00000|*|0 1 21.231018 0.58740|.|*|0.117851 2 12.946293 0.35818|.|*|0.153210 3 5.986126 0.16562|.|*.|0.164429 4 2.677453 0.07408|.|*.|0.1667
31、30 5 2.458099 0.06801|.|*.|0.167186 6 6.619209 0.18313|.|*.|0.167570 7 1.240676 0.03433|.|*.|0.170327 8 0.395215 0.01093|.|.|0.170423 9 3.442698 0.09525|.|*.|0.170433 10 9.133141 0.25269|.|*.|0.171171 11 15.438976 0.42715|.|*|0.176276 12 23.860598 0.66015|.|*|0.190109 13 13.954496 0.38608|.|*.|0.219
32、651 14 6.468463 0.17896|.|*.|0.228883 15 1.374799 0.03804|.|*.|0.230818 16 -0.790429 -.02187|.|.|0.230905 17-0.793183-.02194|.|.|0.230934 78 图图 27 97 年年 1 月到月到 03 年年 8 月到北京海外旅游人数自相关图月到北京海外旅游人数自相关图 图 27 显示滞后一期和滞后两期的自相关函数分别为0.5874 和 0.35818，超过了两倍标准差，显著不为零，以后的自相关函数均显著为零，直到滞后期为周期的长度 12 时，自相关函数出现了峰值，为 0.
33、66015，这是季节性时间序列的十分典型的特征，该序列从自相关函数看长期趋势并不十分显著。79 Partial Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0.58740|.|*|2 0.02008|.|.|3 -0.07996|.*|.|4 0.00272|.|.|5 0.06444|.|*.|6 0.19652|.|*.|7 -0.25550|*|.|8 0.03626|.|*.|9 0.22313|.|*.|10 0.24783|.|*|11 0.23918|.|*|12 0.
34、39145|.|*|13 -0.30474|*|.|14 -0.16485|.*|.|15 -0.04449|.*|.|16 -0.02916|.*|.|图图 28 97 年年 1 月到月到 03 年年 8 月到北京海外旅游人数偏自相关图月到北京海外旅游人数偏自相关图 80 12)ttX1313)tBBBBX=偏自相关函数图 28 显示滞后期为 1，7，12 和 13 的偏自相关函数分别为 0.5874、-0.2555、0.39145 和-0.30474，显著不为零，该时间序列的偏自相关函数显示该时间序列可能适应 a=或 112(1)(1BB7121712(1ta的模型。从图 26、图 27
35、和图 28，我们已经对 1997 年 1 月2003年 8 月到北京海外旅游人数的时间序列有了初步的了解，在滞后期为 1、7、12 和 13 的偏自相关系数显著不为零，自相关函数图趋势不明显。初步设定模型为 81 21313)ttBX711712(1BBBa=1313)tBBBBX 利用极大似然估计得参数估计，如表 4 所示。表表 4 模型模型ta7121712(1=的参数估计表的参数估计表 参数 参数估计 标准差 t 值 P 值 1 0.52143 0.10861 4.80.0001 7 0.05217 0.04886 1.07 0.2857 82 12 0.75205 0.07390 10
36、.18.0001 13-0.32729 0.12087-2.71 0.0068 该模型为 7121(10.5210.05210.752050.32729)ttXaBBBB=+12)tBBX13，从检验的 t 统计量看，滞后期为 7 的自回归参数不显著。改进模型为ta=，仔细观察改进的模型，你会发现这是一个自回归参数为疏系数的自回归模型。仍用极大似然估计的方法，可以得模型的估计。112(1)(1 83 122)tBBX表表 5 型型ta11(1)(1=的参数估计表的参数估计表 参数 参数估计 标准差 t 值 P 值 1 0.88874 0.05294 16.79.0001 12 0.78445
37、0.07719 10.16 时显著为零，则序列适应的模型是 MA()q。如果样本的偏自相关函数sss当p时显著为零，则序列适应的模型是 AR()p。若样本的自相关函数和偏自相关函数均拖尾，并且按负指数衰减，则序列是 ARMA序列，这时应该从高阶到低阶拟合模型，从中选择最佳的。当自相关函数缓慢下降，或是具有季节变化，那么观测的序列是具有趋势变动或季节变动的非平稳序列，则需要做差 89 s分或季节差分，如果差分后的序列的样本的自相关函数和偏自相关函数既不截尾又不拖尾，而在周期 的整倍数时出现峰值，则序列遵从乘积型季节模型，否则遵从 ARIMA 模型。（二）模型的估计 当模型的阶数确定之后，利用有效
38、的拟合方法。如最小二乘估计，极大似然估计等方法，估计模型各部分的参数。（三）诊断性检验模型选择 检验所许则的模型是否能较好地拟合数据。它包括模型过 90 拟合和欠拟合检验。通过检验的结果，修改模型。时间序列建模应该基于简约的原则，即用尽可能少的模型参数，对模型做出尽可能精确估计。所以在选择模型时应该反复试探，这是一个识别，建模，再识别，再建模的过程。附录 1 AR 模型平稳的充分必要条件。91 ttB Xa=由于()有1()B()ttXa=设0B=有1211,1,p?(p 个根，则)B可表示为 12()(1)(1)(1)pBcBBB=?，c 为常数，不妨假设为 1。则 1()ttXaB=121
39、(1)(1)(1)tpaBBB?用待定系数法，有 92 1()ttXaB=1(1)ptkaB=kAkkA（其中是有限实数）再用等比级数通项和公式，有 1()BttXa=1(1pk=)ktkAaBjjt=10()pkkkjABa=93 ja1()tjpjkkkA=0=1p jkkkA=是把表示为白噪声的加权和的系数，根据前面的结论，如果tX1()XB=ktta平稳，其充分必要条件为权系数绝对收敛，权系数绝对收敛的充分必要条件为所有的模小于1，所以其根1211,1,p?的模大于 1，即在单位圆外。1211,1p?12,的模大于 1，则p 的模小于 1。?可见自回归模型的自回归多项式如果有在单位圆上
40、的根，则可以称为时间序列是非平稳的，或存在趋势。附录 2 MA 模型可逆的充分必要条件 94 tXm()qt qtaB设时间序列是阶滑动平均模型，有 1122ttttXaaaa=?2qq=其中：12()1BBBB=?tX可逆的充分必要条件是：95 20qqz特征方程12()1zzz=?20qqzz的根在单位圆外。证：假 设12()1zz=?=m有个 根1211,2qq?，则 12()1BBB=B?(1)qv B=12(1)(1)v Bv B?故1211()(1)(1ttaXBv B)(1)tqXv Bv=?B 用待定系数法，有上式为：11()qtt(1)iiiCaXBv=jjiitB=qjiitjiC vXtXB（用等比级数通项和公式）=X 10mijCv =j01()=（1qjiiC v()qt qXaaaaBi=是加权和的权数）可见，ta1122tttt=?01(q可逆的充分必要条件为)jiiC v01(qji=绝对收敛，)jiijiC v=绝对收敛 96 的 充 分 必 要 条 件 为 诸iv0qqz=小 于1，故 特 征 方 程的根在单位圆外。212()1zzz=?97