数学建模-时间序列分析.ppt

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1、时间序列分析时间序列分析华中农业大学数学建模基地系列课件华中农业大学数学建模基地系列课件7000年前的古埃及人把年前的古埃及人把 尼罗尼罗河涨落的情况逐天记录下来，河涨落的情况逐天记录下来，就构成所谓的时间序列。对这就构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观察使他们个时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌握了尼罗河泛滥的规律，由于掌握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速发展，使得古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文从而创建了埃及灿烂的史前文明。明。引例引例引例引例时间序列：时间序列：某一系统在不同的时间（地点或其他条件某一系统在

2、不同的时间（地点或其他条件等）的响应（数据）。等）的响应（数据）。时间序列是按时间序列是按一定的顺序一定的顺序排列而成，排列而成，“一定顺序一定顺序”既既可以是时间顺序，也可以是具有不同意义的物理量。可以是时间顺序，也可以是具有不同意义的物理量。如：如：研究高度与气压的关系，这里的高度就可以看作研究高度与气压的关系，这里的高度就可以看作“时间时间”总而言之，时间序列只是强调顺序的重要性，因此又被总而言之，时间序列只是强调顺序的重要性，因此又被称为称为“纵向数据纵向数据”，相对于，相对于“横向数据横向数据”而言的。而言的。什么是时间序列什么是时间序列时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理 平稳

3、性检验平稳性检验 纯随机性检验纯随机性检验 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析非平稳时间序列数据分析非平稳时间序列数据分析 内容提要内容提要时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理基本概念基本概念平稳性检验平稳性检验纯随机性检验纯随机性检验概率分布概率分布的意义的意义随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数或随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定联合密度函数决定 时间序列时间序列概率分布族概率分布族的定义的定义几个重要几个重要数字特征数字特征：均值：均值 、方差、自协方差、自相关系、方差、自协方差、自相关系数数时间序列数

4、据的预处理时间序列数据的预处理1 基本概念基本概念1.1 基本的数字特征基本的数字特征特征统计量特征统计量均值均值 方差方差自协方差自协方差自相关系数自相关系数时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理1.2 平稳时间序列的定义平稳时间序列的定义严平稳严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。宽平稳宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平

5、稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶）矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。，就能保证序列的主要性质近似稳定。时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理满足如下条件的序列称为满足如下条件的序列称为宽平稳序列宽平稳序列时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理常数均值和方差常数均值和方差 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度，而与时间的起止点无关度，而与时间的起止点无关 延迟延迟k自协方差函数自协方差函数 延迟延迟k自相关系数

6、自相关系数平稳时间序列的统计性质平稳时间序列的统计性质 时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理平稳时间序列的意义平稳时间序列的意义 时间序列数据结构的特殊性时间序列数据结构的特殊性可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察值察值平稳性的重大意义平稳性的重大意义极极大大地地减减少少了了随随机机变变量量的的个个数数，并并增增加加了了待待估估变变量的样本容量量的样本容量极极大大地地简简化化了了时时序序分分析析的的难难度度，同同时时也也提提高高了了对对特征统计量的估计精度特征统计量的估计精度时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理平稳性检验主要有平稳性检验

7、主要有两种两种方法：方法：根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图图检验检验方法方法构造检验统计量进行构造检验统计量进行假设检验假设检验的方法。的方法。时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理2 平稳性检验平稳性检验时序图检验时序图检验 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征。显趋势及周期特征。自相关图检验自相关图检验 平稳序

8、列通常具有短期相关性。该性质用自相关平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零。的自相关系数会很快地衰减向零。2.1 平稳性的图检验平稳性的图检验时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理例例1检验检验1964年年1999年中国纱年产量序列的平稳年中国纱年产量序列的平稳性性例例2检验检验1962年年1月月1975年年12月平均每头奶牛月月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性产奶量序列的平稳性例例3检验检验1949年年1998年北京市每年最高气温序列年北京市每年最高气温序列的平稳性的平稳性平

9、稳性检验平稳性检验时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理例例1 平稳性检验平稳性检验时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理平稳性检验平稳性检验时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理平稳性检验平稳性检验时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理例例2 自相关图自相关图时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理例例3 时序图时序图时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理例例3 自相关图自相关图时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理等间隔时间数据的录入等间隔时间数据的录入程序说明（数据的录入）程序说明（数据的录入）时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理等

10、间隔时间数据的录入等间隔时间数据的录入程序说明（数据的录入）程序说明（数据的录入）时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理数据的变换数据的变换程序说明（数据的录入）程序说明（数据的录入）时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理取数据中的子集取数据中的子集程序说明（数据的录入）程序说明（数据的录入）时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理缺失数据的插入缺失数据的插入程序说明（数据的录入）程序说明（数据的录入）data a;input sha;year=intnx(year,1964,_n_-1);format year year4.;dif=dif(sha);cards;97 130 156.5

11、 135.2 137.7 180.5 205.2 190 188.6 196.7180.3 210.8 196 223 238.2 263.5 292.6 317 335.4 327321.9 353.5 397.8 436.8 465.7 476.7 462.6 460.8501.8 501.5 489.5 542.3 512.2 559.8 542 567;proc gplot;plot sha*year=1 dif*year=2;symbol1 v=circle i=join c=black;symbol2 v=star i=join c=red;proc arima data=a;id

12、entify var=sha nlag=22;run;时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理1964年年1999年中国纱年产量年中国纱年产量SAS程序程序时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理1962年年1月月1975年年12月平均每头奶牛月产奶量月平均每头奶牛月产奶量SAS程序程序时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理1949年年1998年北京市每年最高气温年北京市每年最高气温SAS程序程序纯随机序列的纯随机序列的定义定义纯随机性的纯随机性的性质性质纯随机性纯随机性检验检验时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理3 纯随机性检验纯随机性检验3.1 纯随机序列的定义纯随机序列的定义纯随机

13、序列也称为纯随机序列也称为白噪声序列白噪声序列，它满足如下两条性，它满足如下两条性质质 时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理标准正态白噪声序列时序图标准正态白噪声序列时序图 时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理3.2 白噪声序列的性质白噪声序列的性质 纯随机性纯随机性 各序列值之间没有任何相关关系，即为各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有没有记忆记忆”的序列的序列 方差齐性方差齐性 根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的线性无偏估计的、有效的线性无

14、偏估计时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理3.3 纯随机性检验纯随机性检验 检验原理检验原理假设条件假设条件检验统计量检验统计量 判别原则判别原则时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理Barlett定理定理 如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为为 的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观察自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布期数倒数的正态分布时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理假设条件假设条件原假设：延迟期数小于或等于原假设

15、：延迟期数小于或等于 期的序列值之间相期的序列值之间相互独立互独立备择假设：延迟期数小于或等于备择假设：延迟期数小于或等于 期的序列值之间期的序列值之间有相关性有相关性 时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理检验统计量检验统计量Q统计量统计量 LB统计量统计量 时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理判别原则判别原则拒绝原假设拒绝原假设当检验统计量大于当检验统计量大于 分位点，或该统计分位点，或该统计量的量的P值小于值小于 时，则可以以时，则可以以 的置信水平的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列接受原假设接受原假设当检验统计量小于当检验统计量小于

16、 分位点，或该统计量分位点，或该统计量的的P值大于值大于 时，则认为在时，则认为在 的置信水平的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定纯随机序列的假定 时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理样本自相关图样本自相关图例例4 随机生成的随机生成的100个服从标准正态的白噪声序列纯个服从标准正态的白噪声序列纯随机性检验随机性检验时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理检验结果检验结果延迟延迟统计量检验统计量检验统计量值统计量值P值值延迟延迟6期期2.360.8838延迟延迟12期期5.350.9454由于由于P值显著大于显著性水平值显著

17、大于显著性水平 ，所以该序列，所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。换句话说可以认为不能拒绝纯随机的原假设。换句话说可以认为该序列的波动没有任何统计规律可循，因此可该序列的波动没有任何统计规律可循，因此可以停止对该序列的统计分析。以停止对该序列的统计分析。时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理数据预处理部分的小结：数据预处理部分的小结：序列平稳性与纯随机性检验的基本步骤：序列平稳性与纯随机性检验的基本步骤：1.绘绘制制该该序列序列时时序序图图；2.自相关自相关图检验图检验；3.该该序列若是平序列若是平稳稳序列，序列，进进行行纯纯随机性随机性检验检验.实实例：例：对对1950年年1998年北京市城

18、年北京市城乡乡居民定期居民定期储储蓄所占比例序列的平蓄所占比例序列的平稳稳性与性与纯纯随机性随机性进进行行检验检验。时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理data a;input year prop;cards;/*数据省略*/;proc gplot;plot prop*year=1;/*所画的图记为图1*/symbol1 v=diamond i=join c=red;proc arima data=a;identify var=prop;run;相应的相应的SAS程序程序时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理1.绘制时序图绘制时序图该序列显示北京市

19、城乡居民定期储蓄所占比例序列波动该序列显示北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列波动“貌似貌似”比较平稳比较平稳 时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理2.自相关图进一步检验平稳性自相关图进一步检验平稳性样本自相关图延迟样本自相关图延迟3阶后，自相关系数都落在阶后，自相关系数都落在2倍标准差范围以内，而且自相倍标准差范围以内，而且自相关系数向零衰减的速度非常快。综合前两个步骤，可知北京市城乡居民定期储关系数向零衰减的速度非常快。综合前两个步骤，可知北京市城乡居民定期储蓄所占比例为平稳序列蓄所占比例为平稳序列 时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理3.序列纯随机性检验序列纯随机性检验结论：结论：

20、由于统计量的由于统计量的P值值0.0001，远远小于，远远小于 0.05，即拒绝，即拒绝序列为纯随机序列的假定。因而认为京市城乡居民序列为纯随机序列的假定。因而认为京市城乡居民定期储蓄所占比例的变动不属于纯随机波动，各序定期储蓄所占比例的变动不属于纯随机波动，各序列值之间有相关关系。列值之间有相关关系。这说明我们可以根据历史信息预测未来年份的北京市这说明我们可以根据历史信息预测未来年份的北京市城乡居民定期储蓄所占比例，该平稳序列属于非白城乡居民定期储蓄所占比例，该平稳序列属于非白噪声序列，可以对其继续进行研究。噪声序列，可以对其继续进行研究。时间序列数据的预处理时间序列数据的预处理平稳时间序列

21、数据分析平稳时间序列数据分析方法性工具与两种相关系数方法性工具与两种相关系数自回归自回归(AutoRegression,AR)模型模型移动平均移动平均(Moving Average,MA)模型模型ARMA模型模型平稳序列建模平稳序列建模 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析1.1 方法性工具方法性工具 差分运算差分运算一阶差分一阶差分 阶差分阶差分 步差分步差分平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析1.方法性工具与两种相关系数方法性工具与两种相关系数延迟算子延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间

22、向一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻过去拨了一个时刻 记记 B为延迟算子，有为延迟算子，有 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析延迟算子的性质延迟算子的性质平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析则有（用延迟算子表示差分）：则有（用延迟算子表示差分）：1.2 两种样本相关系数的基本概念与计算两种样本相关系数的基本概念与计算样本自相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数样本偏自相关系数平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析所谓滞后所谓滞后k阶偏自相关系数就阶偏自相关系数就是指在给定中间是指在给定中间k-1个随机变个随机变量量 xt-1,xt-2,xt-k+1的条件下，

23、的条件下，或者说，在剔除了中间或者说，在剔除了中间k-1个个随机变量的干扰之后，随机变量的干扰之后，xt-k对对xt影响的相关度影响的相关度量。量。样本偏自相关系数的计算样本偏自相关系数的计算平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析2.AR模型的定义模型的定义具有如下结构的模型称为具有如下结构的模型称为 阶阶自回归模型自回归模型，简记，简记为为特别当特别当 时，称为中心化时，称为中心化 模型模型平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析均均 值值 如果如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序为白噪声序列，有列，

24、有推导出推导出平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析 AR(P)序列中心化变换序列中心化变换称称 为为 的中心化序列的中心化序列 ，令，令平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析中心化中心化AR(P)模型模型引进延迟算子，中心化引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为模型又可以简记为 自回归系数多项式自回归系数多项式平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析AR模型自相关系数的性质模型自相关系数的性质拖尾性拖尾性呈负指数衰减呈负指数衰减平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例5 考察如下考察如下AR模型的自相关图模型的自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析自相关系数按复指数单调收敛

25、到零自相关系数按复指数单调收敛到零平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析自相关系数正负相间的衰减自相关系数正负相间的衰减平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析自相关系数呈现出自相关系数呈现出“伪周期伪周期”性性平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析自相关系数不规则衰减自相关系数不规则衰减平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析偏自相关系数的截尾性偏自相关系数的截尾性AR(p)模型偏自相关系数模型偏自相关系数P阶截尾阶截尾平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例5续续 考察如下考察如下AR模型的偏自相关图模型的偏自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析理论偏自相关系数理论偏自相

26、关系数样本偏自相关图样本偏自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析理论偏自相关系数理论偏自相关系数样本偏自相关图样本偏自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析理论偏自相关系数理论偏自相关系数样本偏自相关图样本偏自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析理论偏自相关系数理论偏自相关系数样本偏自相关系数图样本偏自相关系数图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析3.MA模型的定义模型的定义具有如下结构的模型称为具有如下结构的模型称为 阶阶移动平均模型移动平均模型，简，简记为记为特别当特别当 时，称为中心化时，称为中心化 模型模型平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析移动平均

27、系数多项式移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化引进延迟算子，中心化 模型又可以简模型又可以简记为记为 阶移动平均系数多项式阶移动平均系数多项式平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析MA模型的统计性质模型的统计性质常数均值常数均值常数方差常数方差平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析MA模型的统计性质模型的统计性质MA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相关系数拖尾平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例6 考察如下考察如下MA模型的相关性质模型的相关性质平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析MA模型的自相关系数截尾模型的自相关系数截尾平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析MA模型的自

28、相关系数截尾模型的自相关系数截尾平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析MA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相关系数拖尾平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析MA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相关系数拖尾平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析4.ARMA模型的定义模型的定义具有如下结构的模型称为具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型自回归移动平均模型，简记为简记为特别当特别当 时，称为中心化时，称为中心化 模型模型平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析系数多项式系数多项式引进延迟算子，中心化引进延迟算子，中心化 模型又可以简模型又可以简记为记为 阶自回归系数多项式阶自回归系数多项式

29、阶移动平均系数多项式阶移动平均系数多项式平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析ARMA(p,q)模型的统计性质模型的统计性质均值均值协方差协方差自相关系数自相关系数平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析ARMA模型的相关性模型的相关性自相关系数拖尾自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例7 考察考察ARMA模型的相关性模型的相关性 拟合模型拟合模型ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。性质。平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析自相关系数和偏自相关系数拖尾性自相关

30、系数和偏自相关系数拖尾性样本自相关图样本自相关图样本偏自相关图样本偏自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析自相关系数和偏自相关系数拖尾 ARMA模型相关性特征模型相关性特征模型模型自相关系数自相关系数偏自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾拖尾P阶截尾阶截尾MA(q)q阶截尾阶截尾拖尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾拖尾拖尾平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析平稳时间序列的理论基础平稳时间序列的理论基础对于任何一个离散平稳过程对于任何一个离散平稳过程 它都可以分解它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和，其中一个为确为两个不相关的平稳序列之和，其

31、中一个为确定性的，另一个为随机性的，不妨记作定性的，另一个为随机性的，不妨记作 其中：其中：为确定性序列，为确定性序列，为随机序列，为随机序列，它们需要满足如下条件它们需要满足如下条件（1）（2）（3）Wold分解定理（分解定理（1938）：）：平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析ARMA模型分解模型分解确定性序列确定性序列随机序列随机序列5.5.平稳序列建模平稳序列建模 建模步骤建模步骤模型识别模型识别参数估计参数估计模型检验模型检验模型优化模型优化序列预测序列预测平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析建模步骤建模步骤平平稳稳非非白白噪噪声声序序列列计计算算样样本本相相关关系系数数模型

32、模型识别识别参数参数估计估计模型模型检验检验模模型型优优化化序序列列预预测测YN平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析模型定阶的困难模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的出理论截尾的完美情况，本应截尾的 或或 仍会仍会呈现出小值振荡的情况呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数迟阶数 ，与与 都会衰减至零值附近作小都会衰减至零值附近作小值波动值波动当当 或或 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，在延迟若干阶之后衰减为小值波动时

33、，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？附近作拖尾波动呢？平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析样本相关系数的近似分布样本相关系数的近似分布BarlettQuenouille平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析模型定阶经验方法模型定阶经验方法95的置信区间的置信区间模型定阶的经验方法模型定阶的经验方法如如果果样样本本(偏偏)自自相相关关系系数数在在最最初初的的d阶阶明明显显大大于于两两倍倍标标准准差差范范围围，而而后后几几乎乎95的的

34、自自相相关关系系数数都都落落在在2倍倍标标准准差差的的范范围围以以内内，而而且且通通常常由由非非零零自自相相关关系系数数衰衰减减为为小小值值波波动动的的过过程程非非常常突突然然。这这时时，通通常视为常视为(偏偏)自相关系数截尾。截尾阶数为自相关系数截尾。截尾阶数为d。平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例8 选择合适的模型选择合适的模型ARMA拟合拟合1950年年1998年北年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。京市城乡居民定期储蓄比例序列。平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析序列偏自相关图序列偏自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析拟合模型识别拟合模型识别自相关图显示延迟自相

35、关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减阶之后，自相关系数全部衰减到到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾为不截尾 偏自相关图显示除了延迟偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著阶的偏自相关系数显著大于大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系标准差范围内作小值随机波动，而且由非

36、零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾关系数可视为一阶截尾 所以可以考虑拟合模型为所以可以考虑拟合模型为AR(1)平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例9 美国科罗拉多州某一加油站连续美国科罗拉多州某一加油站连续57天的天的OVERSHORT序列序列 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析序列自相关图序列自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析序列偏自相关图序列偏自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析拟合模型识别拟合模型识别自相关图显示除了延迟自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在阶的自相关

37、系数在2倍标倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数可以认为该序列自相关系数1阶截尾阶截尾偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为为拟合模型定阶为MA(1)平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例10 1880-1985年

38、全球气表平均温度改变值差分序列年全球气表平均温度改变值差分序列 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析序列自相关图序列自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析序列偏自相关图序列偏自相关图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析拟合模型识别拟合模型识别自相关系数显示出不截尾的性质自相关系数显示出不截尾的性质偏自相关系数也显示出不截尾的性质偏自相关系数也显示出不截尾的性质综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列模型拟合该序列平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析参数估计参数估计待估参数待

39、估参数 个未知参数个未知参数常用估计方法常用估计方法矩估计矩估计极大似然估计极大似然估计最小二乘估计最小二乘估计平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例8续续 确定确定1950年年1998年北京市城乡居民定期储年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径蓄比例序列拟合模型的口径 拟合模型：拟合模型：AR(1)估计方法：极大似然估计估计方法：极大似然估计模型口径模型口径平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例9续续 确定美国科罗拉多州某一加油站连续确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径序列拟合模型的口径 拟合模型：拟合模型：MA(1)估计方法

40、：条件最小二乘估计估计方法：条件最小二乘估计模型口径模型口径平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例10续续 确定确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径序列拟合模型的口径 拟合模型：拟合模型：ARMA(1,1)估计方法：条件最小二乘估计估计方法：条件最小二乘估计模型口径模型口径平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析模型检验模型检验模型的显著性检验模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分整个模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验参数的显著性检验模型结构是否最简模型结构是否最简平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析模型的显著性检验

41、模型的显著性检验目的目的检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）检验对象检验对象残差序列残差序列判定原则判定原则一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列该为白噪声序列 反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效取，这就说明拟合模型不够有效.平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析假设条件假设条件

42、原假设：残差序列为白噪声序列原假设：残差序列为白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析检验统计量检验统计量LB统计量统计量平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例8续续 检验检验1950年年1998年北京市城乡居民定期储蓄年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性比例序列拟合模型的显著性 残差白噪声序列检验结果残差白噪声序列检验结果延迟阶数延迟阶数LB统计量统计量P值值检验结论检验结论65.830.3229拟合模型拟合模型显著有效显著有效1210.280.50501811.380.8361平稳时间序列数据分析平

43、稳时间序列数据分析参数显著性检验参数显著性检验目的目的检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简参数使模型结构最精简 假设条件假设条件检验统计量检验统计量平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例8续续 检验检验1950年年1998年北京市城乡居民定期储蓄年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型的参数是否显著比例序列极大似然估计模型的参数是否显著 参数检验结果参数检验结果检验参数检验参数t统计量统计量P值值结论结论均值均值46.120.0001显著显著6.720.0001显著显著平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析模型

44、优化模型优化问题提出问题提出当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。优化的目的优化的目的选择相对最优模型选择相对最优模型 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析AIC准则准则最小信息量准则最小信息量准则（An Information Criterion）指导思想指导思想似然函数值越大越好似然函数值越大越好 未知参数的个数越少越好未知参数的个数越少越好 AIC统计量统计量平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分

45、析SBC准则准则AIC准则的缺陷准则的缺陷在样本容量趋于无穷大时，由在样本容量趋于无穷大时，由AIC准则选择准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多模型所含的未知参数个数要多 SBC统计量统计量平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例11 连续读取连续读取70个某次化学反应的过程数据，构成一个某次化学反应的过程数据，构成一时间序列。对该序列进行两个模型拟合，并用时间序列。对该序列进行两个模型拟合，并用AIC准准则和则和SBC准则评判例两个拟合模型的相对优劣。准则评判例两个拟合模型的相对优劣。结果结果AR(1)优于优于MA(2

46、)模型模型AICSBCMA(2)536.4556542.2011AR(1)535.7896540.2866平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析序列预测序列预测线性预测函数线性预测函数预测方差最小原则预测方差最小原则平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例例8续续 北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析ARMA模型综合举例模型综合举例平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析例：例：现有现有201个连续的生产纪录，选择适当模型拟合该个连续的生产纪录，选择适当模型拟合该序列的发展并写出拟合模型，最后预测该序列

47、后序列的发展并写出拟合模型，最后预测该序列后5年的年的95%预测的置信区间。预测的置信区间。步骤：步骤：1、平稳性检验、平稳性检验 2、纯随机性检验（白噪声检验）、纯随机性检验（白噪声检验）3、模型识别（前提是平稳非白噪声序列）、模型识别（前提是平稳非白噪声序列）4、拟合模型、拟合模型 5、显著性检验（包括模型和参数的显著性检验）、显著性检验（包括模型和参数的显著性检验）6、模型优化、模型优化 7、预测、预测 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析1.平稳性检验平稳性检验 data a;input factory;time=_n_;cards;/*数据省略数据省略*/;proc gplot;

48、plot factory*time;symbol v=diamond i=join c=blue;proc arima data=a;identify var=factory nlag=18;run;平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析1.平稳性检验平稳性检验 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析1.平稳性检验平稳性检验 由时序图和自相关图可知，序列是平稳序列 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析2.纯随机性检验（白噪声检验）纯随机性检验（白噪声检验）由p值都小于0.05可知，序列不是白噪声序列，各序列值之间有相关关系，可以对其进行研究。平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析3.

49、模型识别模型识别 SAS系统提供了相对最优模型识别，只要在系统提供了相对最优模型识别，只要在identify命令中增加一个可选择命令命令中增加一个可选择命令minic，就，就可以获得一定范围内最优模型定阶。故可将模可以获得一定范围内最优模型定阶。故可将模型识别和模型优化一起考虑。型识别和模型优化一起考虑。平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析3.模型识别模型识别data a;input factory;time=_n_;cards;/*数据省略数据省略*/;proc gplot;plot factory*time;symbol v=diamond i=join c=blue;proc ari

50、ma data=a;identify var=factory nlag=18 minic p=(0:5)q=(0:5);/*模型定阶*/run;平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析3.模型识别模型识别BIC最小信息值为最小信息值为1.960692，根据，根据BIC最小信息准最小信息准则，选择则，选择MA(1)模型是相对最优的模型是相对最优的 平稳时间序列数据分析平稳时间序列数据分析4.拟合模型拟合模型data a;input factory;time=_n_;cards;/*数据省略数据省略*/;proc gplot;plot factory*time;symbol v=diamond i