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1、阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与向量阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与向量阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与向量【微点综述】涉及线段定比的有些平面向量题，或是涉及数量积的等式，可以转化成三点共线问题，构造阿波罗尼斯圆，建立平面直角坐标系，利用阿波罗尼斯圆解决问题【典例刨析】1.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足|c-a|=12，则|a+b-c|+2|c-b|最小值为_.2.已知 BC=6，AC=2AB，点 D 满足 AD=2xx+yAB+y2 x+yAC，设 f x,y=AD，若 f x,yf x0,y0恒成立，则 f x0,y0的最大值为_3.(2022浙江省宁波市鄞州
2、中学高三其他)(2022浙江省宁波市鄞州中学高三其他)已知向量a,b,c满足|a|=12|b|=|c|=1,ab=1，则 c+12a+12|c-b|的取值范围是_.4.已知等边ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足PA PB-2+1=0的点P恰有两个，则实数的取值范围是_5.已知 A,B 是平面上两个定点，平面上的动点 C,D 满足|CA|CB=|DA|DB=m，若对于任意的 m 3，不等式CD k AB 恒成立，则实数k的最小值为_6.已知点A(0,1)，B(1,0)，C(t,0)，点D是直线AC上的动点，若|AD|2|BD|恒成立，则最小正整数t=_.【针对训练】7.(2022广东广州
3、高二期末)(2022广东广州高二期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值(0且1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 xOy 中，A-2,0，B 2,0，点P满足PAPB=3，则点P的轨迹方程为_.(答案写成标准方程)，PA PB 的最小值为_.8.(2022江苏高邮一中高二期末)(2022江苏高邮一中高二期末)阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点 P 到两定点 A，B 的距离之比满足PAPB=t(
4、t 0 且 t 1，t 为常数)，则 P 点的轨迹为圆已知在平面直角坐标系 xOy 中，A(-3,0)，B(3,0)，动点 P 满足PAPB=2，则P点的轨迹为圆，该圆方程为 _；过点A的直线交圆于两点C,D，且AC=CD，则 CD=_9.阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数2023届高考数学专项练习k k0,k1的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为4，动点P满足PAPB=3，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为 _；PA PB 最大值是_.10.在平面四边形 ABCD 中，BAD=90，AB=2，AD=1若
5、AB AC+BA BC=43CA CB，则 CB+12CD的最小值为_11.在ABC中，A=120，AB=2AC=6，点D满足AD=x3x+3yAB+2yx+yAC，则 AD 的最小值为 _.12.已知圆C的圆心在直线3x-y=0上，与x轴正半轴相切，且被直线l：x-y=0截得的弦长为2 7.(1)求圆C的方程；(2)设点A在圆C上运动，点B 7,6，且点M满足AM=2MB，记点M的轨迹为.求的方程，并说明是什么图形；试探究：在直线l上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有POPT为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.参考答案参考答案1.【答案】
6、【答案】52【分析】【分析】建立坐标系，设A(1,0)，B(0,1)，D(1,1)，设OA=a，OB=b，则|a+b-c|+2|c-b|=CD+2BC，构造相似三角形，设E 1,14，可得AECACD，所以|a+b-c|+2|c-b|=CD+2BC=2(BC+CE)2BE=52【详解】【详解】如图，A 1,0,B 0,1,D 1,1，设OA=a,OB=b，则向量c满足|c-a|=12，设OC=c，所以点C为以A为圆心，以12为半径的圆上的一点，所以|a+b-c|=|OD-OC|=|CD|，同理2|c-b|=2|BC|，取点E 1,14，则AEAC=ACAD，又因CAE=DAC，所以AECACD
7、，所以CECD=12，即CD=2CE，所以|a+b-c|+2|c-b|=CD+2BC=2CE+2BC=2 BC+CE，由三角形的三边关系知2 BC+CE2BE=212+342=254=52.故填：52.【点睛】【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题2.【答案】【答案】4【分析】【分析】将已知AD=2xx+yAB+y2 x+yAC 变形为xx+y2AB+yx+y12AC，设延长AB至点F，使得 AF=2 AB,取AC的中点E，并通过xx+y+yx+y=1
8、得出点D在EF上，再通过AEFABC与已知条件得出 f x0,y0=AD min=AG，设 AB=m，再通过面积法与正、余弦定理得出 AG即可利用一元二次方程最值与根式性质得出答案.【详解】【详解】延长AB至点F，使得 AF=2 AB,取AC的中点E，连接EF，则AD=2xx+yAB+y2 x+yAC，=xx+y2AB+yx+y12AC，=xx+yAF+yx+yAE,xx+y+yx+y=1,点D在EF上，过点A作AGEF于点G，由“边角边”公理可得：AEFABC，EF=BC=6，f x,y=AD，且 f x,y f x0,y0恒成立，f x0,y0=AD min=AG，设 AB=m，根据面积法
9、知：AG=AEAFsinAEF，=m2msinA6，=m23sinA，=m231-m2+4m2-362m2m2，=13-916m2-20+144 1312=4，当且仅当m=2 5 时等号成立，f x0,y0max=4，故答案为：4.3.【答案】【答案】3,7【解析】【解析】根据几何关系，设点A,B,D的坐标，点C在单位圆上，故M=c+12a+12c-b=12EC+BC，当B,E,C三点共线时，即点C在C1处时，取最小值，以及数形结合分析出最大值，计算得到答案.【详解】【详解】因为|a|=1,|b|=2,ab=1，所以a,b=3，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=-12a，即A(1,0),B
10、(1,3),D-12,0，点C在单位圆x2+y2=1上，因为 c+12a+12c-b=OC-OD+12OC-OB=DC+12BC，设|DC|=12|EC|,C(x,y),E(m,n)，即x+122+y2=12(x-m)2+(y-n)2，故E(-2,0)，所以M=c+12a+12c-b=12EC+BC，如图，(1)当B,E,C三点共线，即点C在C1处时，取最小值.因为M=c+12a+12c-b=12EC+BC 12BE=3，所以Mmin=3，(2)当C位于C2处时，取最大值，M=12(|EC2|+|C2B|)=7，因为2(|EC|2+|BC|2)=(2CC1)2+(EB)2(4)2+(2 3)2
11、=28，即 EC 2+BC 214，所以|EC|+|BC|2|EC|2+|BC|227，当且仅当|EC|=|BC|取等号，综上，c+12a+12|c-b|3,7.故答案为：3,7.【点睛】【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最值问题，主要考查转化分析，数形结合分析，属于中档题型，本题的关键是根据根据条件设出定点和动点的坐标，根据数形结合分析，转化为点C位置讨论的问题.4.【答案】【答案】380f 0=-2+10f 2=3-200122，解得3812实数的取值范围是38,12【点睛】【点睛】(1)用定义进行向量的数量积运算时，有时要注意选择合适的基底，将所有向量用同一基底表示，然后再根据数量积的
12、运算律求解(2)对于一元二次方程根的分布问题，可根据“三个二次”间的关系，结合二次函数的图象转化为不等式(组)，通过解不等式(组)可得所求5.【答案】【答案】34【分析】【分析】建立坐标系，得点C,D的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】【详解】不妨设 AB=1，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A 0,0,B 1,0，设C x,y,x2+y2x-12+y2=m x-m2m2-12+y2=m2m2-12故动点C,D的轨迹为圆，由 CD k AB 恒成立，则k CDmax=2mm2-1=2m-1m34故答案为34【点睛】【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题
13、6.【答案】【答案】4【解析】【解析】设点D x,y,根据|AD|2|BD|列出关于D x,y的关系式,再数形结合分析即可.【详解】【详解】设点D x,y,因为点D是直线AC上的动点,故y-1x=-1tx+ty-t=0.由|AD|2|BD|得x2+y-124x-12+y2,化简得 x-432+y+13289.依题意可知,直线AC与圆 x-432+y+132=89至多有一个公共点,所以43-43t1+t289,解得t2+3 或t2-3.所以最小正整数t=4.故答案为：4【点睛】【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解.属
14、于中档题.7.【答案】【答案】x-522+y2=94-3【分析】【分析】设点P坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对PA PB 化简，结合轨迹方程可得x的范围，然后可解.【详解】【详解】设P点坐标为(x,y)，则由PAPB=3，得(x+2)2+y2(x-2)2+y2=3，化简得x2+y2-5x+4=0，即x-522+y2=94.因为PA=(-2-x,-y),PB=(2-x,-y)，x2+y2=5x-4所以PA PB=(-2-x)(2-x)+y2=x2+y2-4=5x-8因为点P 在圆 x-522+y2=94上，故1x4所以-3PA PB 12，故PA PB 的最小值为-3.故
15、答案为：x-522+y2=94，-38.【答案】【答案】(x-5)2+y2=16 2 6【分析】【分析】设P x,y，根据PAPB=2可得圆的方程，利用垂径定理可求 CD=2 6.【详解】【详解】设P x,y，则x+32+y2x-32+y2=2，整理得到x2+y2-10 x+9=0，即(x-5)2+y2=16.因为AC=CD，故C为AD的中点，过圆心 5,0作AD的垂线，垂足为M，则M为CD的中点，则 AM=32CD，故64-94CD2=16-14CD2，解得 CD=2 6，故答案为：(x-5)2+y2=16，2 6.9.【答案】【答案】12 24+16 3【分析】【分析】以经过A，B的直线为
16、x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，求出阿氏圆方程，可得半径，从而得面积由P(x,y)，利用向量数量积的坐标表示求出PA PB，结合P在圆上可得最大值【详解】【详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图，则A-2,0，B 2,0，设P x,y，PAPB=3，x+22+y2x-22+y2=3，得：x2+y2-8x+4=0 x-42+y2=12，点P的轨迹为圆(如图)，其面积为12.PA PB=x2-4+y2=OP2-4，如图当P位于点D时，OP2最大，OP2最大值为 4+2 32=28+16 3，故PA PB 最大值是24+16 3.故答案为：
17、12；24+16 3.10.【答案】【答案】262【分析】【分析】以AB的中点O为坐标原点，以AB方向为x轴正向，建立如下平面直角坐标系.设C(x,y)，根据已知条件可求得C点在以O为圆心，2为半径的圆上，取B1(4,0)，可得OBCOCB1，从而有CB1=2CB，因此CB+12CD=12(2CB+CD)=12(CB1+CD)，因此只要CB1+CD最小即可【详解】【详解】如图，以AB的中点O为坐标原点，以AB方向为x轴正向，建立如下平面直角坐标系.则A(-1,0)，B(1,0)，设C(x,y)，则AB=(2,0)，AC=(x+1,y)，BC=(x-1,y)因为AB AC+BA BC=AB AC
18、+AB CB=AB AB=43CA CB 所以AB AB=43AC BC，即：4=43(x-1)(x+1)+y2整理得：x2+y2=4，所以点C在以原点为圆心，半径为2的圆上.在x轴上取B1(4,0)，连接B1C可得OBCOCB1，所以BCB1C=OBOC=2，所以B1C=2BCCB+12CD=12(2CB+CD)=12B1C+CD由图可得：当B1,C,D三点共线时，即点C在图中的M位置时，B1C+CD最小.此时CB+12CD最小为DB1=12(4+1)2+12=262.故答案为262【点睛】【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的几何应用解题关键点有二，一是建立坐标系，求出C点在一个
19、圆上，二是取点B1，构造出OBCOCB1，于是B1C=2BC，问题转化为求CD+CB1的最小值11.【答案】【答案】3 3913【分析】【分析】令AE=13AB，AF=2AC，可得AD=xx+yAE+yx+yAF，即D在直线EF上，从而当ADEF时 AD 最小，结合三角形知识得到结果.【详解】【详解】AD=x3x+3yAB+2yx+yAC=xx+y13AB+yx+y2AC，令AE=13AB，AF=2AC，则AD=xx+yAE+yx+yAF，因为xx+y+yx+y=1，所以D在直线EF上，从而当ADEF时 AD 最小，在AEF中，AE=13AB=2，AF=2AC=6，A=120，由余弦定理得EF
20、=2 13，又SAEF=12AEAFsinA=12EF AD min，得 AD min=AEAFsinAEF=26322 13=3 3913.故答案为：3 3913【点睛】【点睛】本题综合考查了平面向量与解三角形知识，考查三点共线、余弦定理，三角形面积公式等知识，考查转化能力与计算能力，属于中档题.12.【答案】【答案】(1)x-12+y-32=9；(2)x-52+y-52=1，是圆；存在，D4910,4910.【分析】【分析】(1)设圆心 t,3t，根据题意，得到半径r=3 t，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出t=1，从而可得圆心和半径，进而可得出结果；(2)设M(x,y)
21、，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到xA=-14+3xyA=-12+3y，代入圆C的方程，即可得出结果；假设存在一点D t,t满足POPT=(其中为常数)，设P x,y，根据题意，得到x2+y2x-t2+y-t2=，再由，得到 x-52+y-52=1，两式联立化简整理，得到x 10-102+2t2+y 10-102+2t2-49+492-22t2=0，推出10-102+2t2=0492-22t2=49，求解得出t，即可得出结果.【详解】【详解】(1)设圆心 t,3t，则由圆与x轴正半轴相切，可得半径r=3 t.圆心到直线的距离d=t-3t2=2t，由7+2t2=r2，解得t=1.故圆心为 1
22、,3或-1,-3，半径等于3.圆与x轴正半轴相切圆心只能为 1,3故圆C的方程为 x-12+y-32=9；(2)设M(x,y)，则：AM=x-xA,y-yA，MB=7-x,6-y，x-xA=14-2xy-yA=12-2y xA=-14+3xyA=-12+3y 点A在圆C上运动 3x-14-12+3y-12-32=9即：3x-152+3y-152=9 x-52+y-52=1所以点M的轨迹方程为 x-52+y-52=1，它是一个以 5,5为圆心，以1为半径的圆；假设存在一点D t,t满足POPT=(其中为常数)设P x,y，则：x2+y2x-t2+y-t2=整理化简得：x2+y2=2x2-2tx+t2+y2-2ty+t2，P在轨迹上，x-52+y-52=1化简得：x2+y2=10 x+10y-49，所以10 x+10y-49=210 x+10y-49-2tx-2ty+2t2整理得x 10-102+2t2+y 10-102+2t2-49+492-22t2=010-102+2t2=0492-22t2=49，解得：t=4910；存在D4910,4910满足题目条件.【点睛】【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型.