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1、2023年高考数学专项练习阿波罗尼斯圆及其应用微专题专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点1 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用专题1 阿波罗尼斯圆及其应用微点1 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法阿波罗尼斯（Apollonius约公元前262192），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠阿波罗尼斯年青时到亚历
2、山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆（时点的轨迹是线段的中垂线）2、阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆证明：由及两点间距离公式，可得，化简可得，（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；（2）当时，方程两边都除以得，化为标准形式即为：，点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆 图 图 图阿波罗尼斯圆的另一种形式
3、：【定理2】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为证明：以为例如图，设，则，过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，圆上任意一点到两点的距离之比恒为同理可证的情形3、阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外性质2：因，故是圆的一条切线若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为性质4：过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线性质5
4、：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角证明：如图，由已知可得（且），又，平分由等角的余角相等可得，平分的外角性质6：过点作圆不与重合的弦，则AB平分证明：如图，连结，由已知（且），又，平分平分【典例刨析】例1（2022河北盐山中学高二期中）1已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于_.例2（2022四川涪陵月考）2若满足条件，则面积的最大值为_3已知圆O：，点，在直线OB上存在定点A（不同于点B），满足对于圆O上任意一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点A的坐标，并求4在平面直角坐标中，已知点，
5、若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_5阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（）ABCD例6（2022四川成都外国语学校高二月考）6古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，圆，在圆上存在点满足，则
6、实数的取值范围是（）ABCD【针对训练】7在平面直角坐标系中，已知圆，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是_8已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为_9已知点，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则最小正整数_.10在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线：上（），过分别作圆，的切线，切点分别为，若满足的点有且只有一个，则实数的值为_.11在平面直角坐标系中，是两定点，点是圆：上任意一点，满足：，则的长为.（2022辽宁高二期中）12古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得阿基米德齐名，他发现：“
7、平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，动点满足.设点的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点1 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用专题1 阿波罗尼斯圆及其应用微点1 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与
8、化归、化繁为简的数学思想方法阿波罗尼斯（Apollonius约公元前262192），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆（时点的轨迹是线段的中垂线）2、阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆证明：由及两点间距离公式，可得，化简可得，（
9、1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；（2）当时，方程两边都除以得，化为标准形式即为：，点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆 图 图 图阿波罗尼斯圆的另一种形式：【定理2】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为证明：以为例如图，设，则，过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，圆上任意一点到两点的距离之比恒为同理可证的情形3、阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外性质2：因，故是圆的一
10、条切线若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为性质4：过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角证明：如图，由已知可得（且），又，平分由等角的余角相等可得，平分的外角性质6：过点作圆不与重合的弦，则AB平分证明：如图，连结，由已知（且），又，平分平分【典例刨析】例1（2022河北盐山中学高二期中）1已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于_.例2（2022四川涪陵月考）2若满足条件，则面积的
11、最大值为_3已知圆O：，点，在直线OB上存在定点A（不同于点B），满足对于圆O上任意一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点A的坐标，并求4在平面直角坐标中，已知点，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_5阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（）ABCD例6（2022四川成都外国语学校高二月考）6古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的
12、著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（）ABCD【针对训练】7在平面直角坐标系中，已知圆，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是_8已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为_9已知点，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则最小正整数_.10在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线：上（），过分别作圆，的切线，切点分别为，若满足的点有且只有一个，则实数的
13、值为_.11在平面直角坐标系中，是两定点，点是圆：上任意一点，满足：，则的长为.（2022辽宁高二期中）12古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，动点满足.设点的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.参考答案：1【分析】设，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设，由题设得：，故的轨迹是半径为的圆，图形的面积等于.故答案为：2【分析】设，则，由余弦
14、定理得出，根据三角形任意两边之和大于第三边得出的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设，则，由余弦定理可得由三角形任意两边之和大于第三边得，解得，即当时，面积取最大值故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形面积的最值，涉及余弦定理的应用，属于中档题.3，【分析】根据两点距离的坐标运算可得，进而得，即可求解.【详解】设，设故，且，化简得：，该式对任意的恒成立，故 ，解得 或（舍去），故，4【分析】根据得出点的轨迹方程，又点在直线上，则点的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设则，因为，所以有，同时平方，化简得，故点的轨迹为圆心在（0,0），半径2为的圆，又
15、点在直线上，故圆与直线必须有公共点，所以，解得.【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的轨迹，并能求出点的轨迹方程.5A【分析】设，由，可得点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，又，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设，因为，所以，即，所以点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，因为，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，所以，所以，即的最大值为，故选：A.6D【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】
16、设，因为点，所以即，所以，可得圆心，半径，由圆可得圆心，半径，因为在圆上存在点满足，所以圆与圆有公共点，所以，整理可得：，解得：，所以实数的取值范围是，故选：D.7.【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b的不等式即可求得实数的取值范围.【详解】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则PB=2PA，(x4)2+y2=4(x2+y2)，x2+y2+=0，圆心坐标为,半径为，动点P在直线x+yb=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，直线与圆x2+y2+=0相交，圆心到直线的距离，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思
17、想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8【分析】建立坐标系，得点的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则 ，设 故动点的轨迹为圆，由恒成立，则 故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题94【解析】设点,根据列出关于的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点,因为点是直线上的动点,故.由得,化简得.依题意可知,直线与圆至多有一个公共点,所以,解得或.所以最小正整数.故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线
18、的距离列式求解.属于中档题.10.【分析】根据圆的切线的性质和三角形全等，得到，求得点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解【详解】由题意得：，设，如下图所示PA、PB分别是圆O，O1的切线，PBO1=PAO=90，又PB=2PA，BO1=2AO，PBO1PAO，整理得，点P（x，y）的轨迹是以为圆心、半径等于的圆，动点P在直线：上（），满足PB=2PA的点P有且只有一个，该直线l与圆相切，圆心到直线l的距离d满足，即，解得或，又因为，所以【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点的轨迹方程
19、，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题11【分析】不妨就假设在轴上，设，由可得，然后和方程对比，就可以求出【详解】由于是两定点，不妨就假设在轴上如图所示：设，即，与表示同一个圆.或.故答案为：.【点睛】本题考查的是圆的方程和点的轨迹方程的求法，较简单.12(1)(2)【分析】（1）设，然后根据列方程化简计算即可得曲线的方程，（2）先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得或，从而可求出的取值范围（1）设，因为，动点满足，所以，化简得，即，所以曲线的方程为，（2）曲线的圆心为，半径为4，的圆心为，半径为，因为曲线和无公共点，所以两圆外离或内含，所以或，所以或，所以或，所以的取值范围为答案第19页，共8页