《山西省部分学校2023届高三上学期期末数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山西省部分学校2023届高三上学期期末数学试题含答案.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、山西省部分学校山西省部分学校 2023 届高三上学期期末数学试题届高三上学期期末数学试题考生注意：考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5
2、分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.设全集U R，集合39xAx，24Bxx ，则UABA.1,0B.0,5C.0,5D.2,22.在复平面内，3i1 i对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术，新结构的汽车.新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV，包括太阳能汽车）燃料电池电动汽车（FCEV）、其
3、他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等.非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是 2022年我国某地区新能源汽车的前 5 个月销售量与月份的统计表：月份代码x12345销售量y（万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为0.16ybx，则b的值是A.0.28B.0.32C.0.56D.0.644.已知2sin44，则sin1 tan的值为A.34B.34C.32D.325.252yxxyx的展开式中，33x y的系数是A.5B.15C.20D.256.已知函数 22cos3sin12xf xx（0，xR），若 fx在区间,2内没有零点，则的最大值是A.16B.
4、34C.1112D.537.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PA平面ABCD，3PAAB，则直线PB与直线AC所成角的余弦值是A.110B.55C.15D.5108.设sin13a，32b，2396c，则A.abcB.cabC.acbD.cba二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知0ab，0cd，则下列不等式成立的是A.acbaB.ab
5、dcC.cdababD.a ba bcd10.已知点1,0A，1,0B均在圆222:330Cxyrr外，则下列表述正确的有A.实数r的取值范围是0,13B.2AB C.直线AB与圆C不可能相切D.若圆C上存在唯一点P满足APBP，则r的值是3 2111.已知函数1yfx是R上的偶函数，对任意12,1,x x，且12xx都有12120f xf xxx成立，2log 8af，2e1log4bf，ln2ecf，则下列说法正确的是A.函数 yfx在区间1,上单调递减B.函数 yfx的图象关于直线1x 对称C.cbaD.函数 fx在1x 处取到最大值12.已知过抛物线2:4C yx的焦点F的直线l交C于
6、A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为 4，则下列说法正确的是A.弦AB的中点坐标为13,4 3B.直线l的倾斜角为 30或 150C.16AB D.1AFBFAB三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知函数 2e8xfxaxx的图象在点 0,0f处的切线斜率为5，则a _.14.已知向量a，b满足33ab，abb，则sin,a b _.15.在三棱锥PABC中，2 5PABC，13PBAC，5ABPC，则三棱锥PABC的外接球的表面积是_.16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F，2F，它们的离心率分别为1e，2e，点P为
7、它们的一个交点，且1223FPF，则2212ee的取值范围是_.四、解答题：共四、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知数列 na的前n项和为nS，且13a，*123nnaSnN.（1）求 na的通项公式；（2）若数列 nb满足3lognnnaba，记数列 nb的前n项和为nT，求证：34nT.18.（本小题满分 12 分）某大型工厂有 6 台大型机器，在 1 个月中，1 台机器至多出现 1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1 名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为12
8、.已知 1 名工人每月只有维修 2 台机器的能力（若有 2 台机器同时出现故障，工厂只有 1 名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂每月获得10 万元的利润，否则将亏损 2 万元.该工厂每月需支付给每名维修工人 1 万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修（例如：3 台大型机器出现故障，则至少需要 2 名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有 1 名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有 2 名维修工人.（）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（）
9、以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘 1 名维修工人？19.（本小题满分 12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知点D在边AC上（不含端点），ABBDCD.（1）证明：22bcac；（2）若9cos16ABC，1c，求ABC的面积.20.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，D，E分别为1AA，1BC的中点.（1）求证：DE平面ABC；（2）若DEBC，二面角ABDC的大小为3，求直线1BC与平面BCD所成角的大小.21.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右顶点分别为1A，2A，124
10、A A，且过点62,2.（1）求C的方程；（2）若直线:40l yk xk与C交于M，N两点，直线1AM与2A N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程.22.（本小题满分 12 分）已知函数 1lnf xaxaxR.（1）若函数 fx的最小值为2a，求a的值；（2）若存在120 xx，且122xx，使得12fxfx，求a的取值范围.高三数学参考答案、提示及评分细则高三数学参考答案、提示及评分细则1.D392xAxx x，故U2Ax x，所以U222,2ABxx .故选D.2.C23i 1 i3i3i3i33i1 i1 i 1 i222，故3i1 i对应的点为33,22，位于第
11、三象限.故选 C.3.A由表中数据可得1 234535x，0.50.6 1 1.4 1.515y，将3,1代入0.16ybx，即130.16b ，解得0.28b.故选 A.4.A由2sin44，得22sincos24，所以1sincos2，所以11 2sincos4，所以3sincos8，所以3sinsincos3811tancossin42.故选 A.5.B因 为2255522yyxxyx xyxyxx，52x xy的 展 开 式 通 项 为561552 C2CkkkkkkkTxxyxy，25yxyx的展开式通项为2542155CCrrrrrrrySxyxyx，由6343kr可得31kr因此
12、252yxxyx的展开式中，33x y的系数为31552CC15.故选 B.6.C 22cos3sin13sincos2sin26xf xxxxx，令 0fx，6xkkZ，6kxkZ.又 函 数 fx在 区 间,2内 没 有 零 点，所 以6126kk，解得1116212kkkZ，0，所以0k，5012，1k，511612，所以的最大值是1112.故选 C.7.D连接BD交AC于点O，取PD的中点E，连接EO，EA.不妨设1AB.因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点，又E是FD的中点，所以OEPB.所以直线PB与直线AC所成角即为EOA（或其补角）.因为PA平面ABCD，又AB，AD
13、平面ABCD，所以PAAB，PAAD.在PAD中，PAAD，3PA，1AD，所以102AE；在PAB中，PAAB，3PA，1AB，所以10PB，所以102EO；在AOE中，102AE，22AO，102EO，所以2225cos210AOOEAEAOEAO OE，即直线PB与直线AC所成角的余弦值是510.故选 D.8.B令 sinxf xx，0,2x，则 2cossinxxxfxx，令 cossinu xxxx，则 cossincossin0uxxxxxxx 在0,2上恒成立，所以 u x在0,2上单调递减，所以 00u xu，所以 0fx在0,2上恒成立，所以 fx在0,2上单调递减，所以 1
14、3ff，即sinsin1313，即sin1332.令 sing xxx，0,2x，易得 g x在0,2上单调递增，所以 13gg，即sin1 1sin33，即23sin132，所以sin123396，所以cab.故选 B.9.BD由不等式的基本性质，可得 A 错误，B 正确；取14a，12b，则30,14ab，从而3344cd，则 C 错误；因为0ab，所以幂函数a byx在0,上是增函数，则由0cd，即得a ba bcd，则 D 正确.故选 BD.10.ABD据题设分析知，013r，2AB，当3r 时，直线AB与圆C相切.APBP，点P在以 线 段AB为 直 径 的 圆 上.又1,0A，1,
15、0B，点P在 圆221xy上.又 点P在 圆222:330Cxyrr上，点1,0A，1,0B均在圆C外，圆221xy与圆C外切，且点P为切点，2213030r，3 21r.故选 ABD.11.BC根据题意，函数1yfx是R上的偶函数，则函数 fx的图象关于直线1x 对称；又由对任意12,1,x x，且12xx都有12120f xf xxx成立，所以函数 fx在1,上为增函数，函数 fx在,1上为减函数，所以 fx在1x 处取得最小值；2log 83，2e1logln24，ln2e2，又由函数 fx的图象关于直线1x 对称，2e1logln22ln24bfff，易知22ln23，所以cba.故选
16、 BC.12.BCD设直线l的方程为1xmy，联立214xmyyx，消去x并整理得2440ymy，则4AByym，4ABy y ，又1142AOBABSyy，所以22464ABABAByyyyy y，解得3m ，所以直线l的倾斜角为30或150，22224416ABABABxxm yym，弦AB的中点坐标为,22ABABxxyy，即7,2 3，2sin30sin301sin30ABABABAByyAFBFy yyyAByy.故选BCD.13.3由已知得 e28xfxax，因为 085fa，所以3a.14.2 23因 为abb，所 以0abb，所 以20a bb ，即2cos,a ba bb ，
17、则211cos,3 13ba bab，所以2212 2sin,1 cos,133a ba b .15.29如图，将三棱锥PABC放入长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则2222222222 5135bcabac，解得324abc，设三棱锥PABC的外接球的半径为R，则222232429R，所以292R.所以三棱锥PABC的外接球的表面积2294292S.16.2,设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，焦距2c，点P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则1212PFPFa，1222PFPFa，解得112PFaa，212PFaa，如图：在12FPF中，根据余弦定理可得2221
18、2121222cos3FFPFPFPFPF，整理得2221243caa，即2212314ee，设211te，222te，则有1201tt，12314tt，所以121143134tttt，即有121143ttt，所以1314t，所以2221111212111424343ttteettttt，设143ut，则134ut，且01u，所以222124313144uueeuuu，因为3yxx在0,1上单调递减，所以34uu，所以22122ee.17.（1）解：当1n 时，2123aS，即21239aa；当2n时，由*123nnaSnN，得123nnaS，两式相减得13nnaa.又213aa，所以*13n
19、naanN，所以 na是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.所以13 33nnna.（2）证明：由（1）知3log3nnnnanba，所以211112333nnTn ，2311111123333nnTn ，两式相减得2341111112111111233313333333322 313nnnnnnnnnT，所以32344 3nnnT.又2304 3nn，所以34nT.18.解：（1）因为该厂只有 1 名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现 2 台大型机器出现故障，故该工厂能正常运行的概率为6524126611111111C1C12222232.（2）（）X的可能取值为 34，46，5
20、8，61134264P X，55611346C12232P X，1357581643264P X ，则X的分布列为X344658P1643325764故13571133446586432642EX.（）若该厂有 3 名维修工人，则该厂获利的数学期望为6 10357万元.因为113572，所以该厂应再招聘 1 名维修工人.19.（1）证明：若bc时，则点D与A点重合，不满足题意，故bc，因为ABBDCD，所以2AC，所以sinsin22sincosACCC，由正弦定理及余弦定理得22222abcacab，即2223a ba cb cc，所以222abcc bcc bcbc，因为bc，所以0bc，
21、所以22ac bcbcc，所以22bcac.（2）解：由2222cosbacacABC及9cos16ABC，1c，得22918baa，由（1）知22bcac，所以21ba，所以2229118aaa，整理得382490aa，令2at得：31290tt，即23330ttt，解得13t，23212t，332102t（舍去），由210ba，得1a，而2321124ta 舍去，故32a 所以213915 7sin1241664ABCSacABC.20.（1）证明：取BC的中点M，连结AM，EM.则1DABB，且112DABB，1EMBB，且112EMBB.所以DAEM，且DAEM，所以四边形AMED为平
22、行四边形，所以DEAM.又AM 平面ABC，DE 平面ABC，所以DE平面ABC.（2）解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设1AB，0ACb b，120AAc c，则1,0,0B，0,0Cb，0,0,Dc，11,0,2Bc，1,2 2bEc，所以1,02 2bDE，1,0BCb .因为DEBC，所以0DE BC ，所以1b.又1,1,0BC ，1,0,BDc ，设平面BCD的一个法向量,nx y z，则00n BCn BD 所以00 xyxcz ，令1x，则1y，1zc，所以11,1,nc；又平面ABD的一个法向量0,1,0AC，所以cos3n ACn AC ，所以2112
23、11 1c，解得22c，所以1,1,2n.又11,1,2BC ，设直线1BC与平面BCD所成的角为，则1111 1 21sincos,21 1 21 1 2n BCn BCn BC ，所以直线1BC与平面BCD所成角为6.21.（1）解：因为124A A，所以24a，解得2a.因为C过点62,2，所以22262214b，解得3b.所以C的方程为22143xy.（2）证明：设11,M x y，22,N xy，所以111:22AMylyxx，222:22A Nylyxx.由224143yk xxy，整理得2222343264120kxk xk则2222324 3464120kkk ，解 得1122
24、k且0k，21223234kxxk，2122641234kx xk.由11222222yyxxyyxx得2121122112122121122121222422422226242423822yyk xxk xxxxx xxxxyyk xxk xxxxxx2212212121212112641232224224343413238438434kkxx xxxxkkkxxxxk ，所以点G在定直线1x 上.22.解：（1）由题意知函数 fx的定义域为0,，2211aaxfxxxx.当0a时，0fx在0,上恒成立，故 fx在0,上单调递减，无最小值.当0a 时，令 0fx，得10 xa；令 0fx，得
25、1xa，所以 fx在10,a上单调递减，在1,a上单调递增，所以 min11lnlnf xfaaaaaaa.所以2lnaaaa，即ln1aa.设 lng aaa，则 110g aa，所以 g a为0,上的增函数，又 11g，所以1a.（2）由12fxfx，得121211lnlnaxaxxx，即212111ln0 xaxxx，又122xx，所以21212121ln022xxxxxaxxx，得212121ln022xxxaxxx.令211xttx，则11ln022attt，令 1ln22th tatt，故问题可转化为函数 h t在区间1,上有零点.2221121222atath tttt，其中 1
26、1ha.因为函数221ytat 的对称轴的方程为ta，且当1t 时，21ya，故当1a，则0y 在1,上恒成立，所以 0h t在1,上恒成立，所以 h t在1,上单调递减，因为 10h，所以 0h t，故 h t在区间1,上无零点，不合题意.当1a，令 0h t，得2210tat，2440a，故 0h t有两不等实根1t和2t，设12tt，且1 21t t，1220tta.故1201tt.易知在21,t上，0h t，在2,t上，0h t，所以 h t在21,t上单调递增，在2,t上单调递减，又 10h，故在21,t上 10h th，故 h t在21,t上无零点；下面证明函数 h t在减区间2,t上存在零点.取2e1ata，则22222221e1eelne22e22e2aaaaaahaa，当1a 时，221112e2e2a，则2221ee222aaha.令 221e222am aa，则 24eam aa，令 24eaaa，当1a 时，2242e42e0aa，所以，函数 a在1,上单调递减，又 214e0，所以 0a，即 0m a在1,上恒成立.所以 221e222am aa在1,上单调递减，所以 225ee1022ahm am，即2e0ah，又 20h t，所以 22e0ah th，所以 h t在减区间2,t上存在零点.综上，实数a的取值范围是1,.