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1、第 1页建安区三高建安区三高 2022-2023 学年上期诊断性测试（二）高三理科数学学年上期诊断性测试（二）高三理科数学考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合3 24,log1xMxNxx，则MN（）A 23xxB0 x x C 02xx或2x DR2已知复数 z 满足2ii4zz，则下列说法中正确的是（）A复数 z 的模为 10B复数 z 在复平面内所对应的点在第四象限C复数 z 的共轭复
2、数为13i D20231i3z 3已知非零向量,a b 的夹角正切值为2 6，且32abab，则ab（）A2B23C32D14已知cos21sincos3，则3sin4（）A26B13C26D135在如图所示的程序框图中，输入4N，则输出的数等（）A34B45C1315D566若 x，y 满足不等式组，0330101yxyxyx，则下列目标函数中在点(3,2)处取得最小值为（）A4zxyB4zxyC4zxyD4zxy7中国空间站(China Space Station)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年 10 月 31 日 15：37 分，我国将“梦天实验舱”成功送
3、上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023 年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安第 2页排甲、乙等 5 名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排 2 人，“问天实验舱”安排 2 人，“梦天实验舱”安排 1 人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A9 种B24 种C26 种D30 种8已知双曲线 C1：2221(0)4xytt与双曲线 C2：2221yxt的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的最小值为（）A154B94C52D329近日，各地
4、有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁 4 名医务工作者参加登记、接种、留观 3 项工作，每项工作至少 1人参加，若A表示事件：“甲参加登记这项工作”；B事件表示“乙参加登记这项工作”；C事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（）A事件A与B相互独立B事件A与C相互独立C16P B A D712P CA 10已知ABC中，26BAC，则6A的充要条件是（）AABC是等腰三角形B2 3AB C4BC D3,ABCSBCBA11若函数 2ln2f xxaxx在0,1上存在极大值点，则a的取值范围为（）A10,2B1,2C0,D1,21
5、2已知点 P 为双曲线22221(0,0)xyabab上任意一点，1F2F为其左右焦点，O 为坐标原点.过点 P 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为 MN，则下列所述错误的是（）A|PMPN为定值BOPMN 四点一定共圆C1PF2PF 的最小值为2bD存在点 P 满足 PM1F三点共线时，PN2F三点也共线二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.136112xxx的展开式中的常数项是_14把函数 22coscos 23fxxx的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数 g x为偶函数，则的最小正值为_第 3页15 设数列na首项132a，前n项
6、和为nS，且满足*123(N)nnaSn，则满足234163315nnSS的所有 n 的和为_.16如图，在正三棱柱111ABCABC-中，124AAAB，E 是1BB的中点，F 是11AC的中点，若过 A，E，F 三点的平面与11BC交于点 G，则1AG _三、解答题三、解答题：（共共 7070 分分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知36ab，3C.(1)若3a，求tan B的值；(2)求AB ACBA BC 的最小值.182021 年 5 月 12 日，2022 北京冬奥会和冬残
7、奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动为了提高活动的参与度，计划有13的人只能赢取冰墩墩挂件，另外23的人计划既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客只能赢取冰墩墩挂件，则记 1 分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记 2 分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率(1)从顾客中随机抽取 3 人，记这 3 人的合计得分为 X，求 X 的分布列和数学期望；(2)从顾客中随机抽取 n 人（*Nn），记这 n 人的合计得分恰为1n分的概率为nP，求12nPPP；19已知三
8、棱柱111ABCABC-，侧面11AACC是边长为 2 的菱形，13CAA，侧面四边形11ABB A是矩形，且平面11AAC C 平面11ABB A点 D 是棱11AB的中点(1)在棱 AC 上是否存在一点 E，使得AD平面11BC E，并说明理由；(2)当三棱锥11BADC的体积为3时，求平面11AC D与平面1CC D夹角的余弦值第 4页20已知双曲线：2222=1(0,0)axyabb的焦距为 4，且过点32,3P(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点F分别作斜率为12,k k的两直线1l与2l，直线1l交双曲线于,A B两点，直线2l交双曲线于,C D两点，设,M N分别为AB与
9、CD的中点，若121k k，试求OMN与FMN的面积之比.21已知函数()e(1)xf xaa x(1)讨论 fx的单调性；(2)当 a1 时，若函数()e(ln)tyf xxt有两个零点，求实数 t 的取值范围选做题选做题：请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所选第一题计分则按所选第一题计分。并将答并将答题卡上相应的方框涂黑。题卡上相应的方框涂黑。22在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数，0），2C的参数方程为212252xtyt（t 为参数）.(1)求1C的普通方程并指出它的轨迹；(2)以 O 为极点
10、，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM：4与曲线1C的交点为O，P，与2C的交点为 Q，求线段PQ的长.23已知关于x的不等式123xxt 有解(1)求实数t的最大值M；(2)在（1）的条件下，已知,a b c为正数，且2 3abcM，求22abc的最小值参考答案：参考答案：1B【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合,M N，根据集合的并集运算即可得答案.【详解】解24x得2x，解3log1x 得03x，故得2,03Mx xNxx，故0MNx x，故选：B2D【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为2ii4zz，所以(1 i)42iz，2 1 i2i42i1
11、 3i1 i1 i 1 iz，有121310z，故 A 不正确；复数z在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故 B 错误；复数z的共轭复数为1 3iz ，故 C 错误；因为202320231ii3z ，故 D 正确，故选:D.3D【分析】先求出非零向量,a b 的夹角余弦值，再利用向量数量积的运算律和定义处理32abab，即可得到答案.【详解】解析 设a，b的夹角为，由tan2 6得1cos5.因为32abab，所以 222232253230ababaa bbaa bb ，得22230aabb，解得1ab或32ab（舍去）.故选：D.4C【分析】结合题干条件以及余弦的二倍角公式得到1
12、cossin3，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】因为22cossincossincos2cossin1cossinsincossincossincos3，所以3332212sinsincoscossincossin4442236，故选：C.5B【分析】根据流程图模拟计算后可求输出的值.【详解】第一次判断后，1,1,42Skk，第二次判断后，112,2,4263Skk，第三次判断后，213,3,43124Skk，第四次判断后，314,4,44205Skk不成立，故终止循环，故选：B.6A【分析】根据不等式组画出可行域，再分析各选项即可.【详解】作出满足题设约束条件的可行域，即如图A
13、BC内部（含边界）易得(3,2)B作直线1:40lxy，把直线1l向上平移，z 减小，当1l过点(3,2)B时，4zxy取得最小值，故 A 正确；作直线2:40lxy，把直线2l向上平移，z 减小，当2l过点(3,2)B时，4zxy取得最大值，故 B 错误；作直线3:40lxy，把直线3l向上平移，z 增加，当3l过点(3,2)B时，4zxy取得最大值，故 C 错误；作直线4:40lxy，把直线4l向上平移，z 增加，当4l过点(3,2)B时，4zxy取得最大值，故 D 错误故选：A7B【分析】先利用分组与分配的求法求得 5 名航天员共有30种不同的安排方案，再利用分类加法计数原理求得甲、乙两
14、人在同一个舱内有6种不同的安排方案，从而利用间接法即可得解.【详解】依题意，先从 5 名航天员中安排 1 人到“梦天实验舱”，则有15C5种安排方案，再将剩下的 4 人分成两组，每组 2 人，则有224222C C6 13A2种安排方案，接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有22A2种安排方案，所以这 5 名航天员的安排方案共有5 3 230 种，其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有2131C C3种，同在“问天实验舱”内的安排方案有2131C C3种，即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有336种，所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有30624种.故选：
15、B.8D【分析】由双曲线方程，把离心率表示出来，再利用基本不等式求最小.，【详解】易知22144te，22221tet，则22221 2224115444ttteett，由基本不等式，221 2215159244444te et，当且仅当2214tt，即2t 时等号成立，故1 2e e的最小值为32.故选：D.9C【分析】计算出 13P AP BP C，213618P AB，验证得到 P A P BP AB，P A P CP AC，故 AB 错误；利用条件概率公式求出,P C AP B A，得到 D 错误，C 正确.【详解】先将甲、乙、丙、丁 4 名医务工作者分为 3 组，1 组 2 人，2
16、组 1 人，则有24C种选择，再将分好的 3 组人员与参加登记、接种、留观 3 项工作全排列，故共有2343C A36种基本事件，若甲与另外一人，共同参加登记这项工作，则只需将乙、丙、丁与登记、接种、留观 3 项工作全排列即可，此时由33A种选择，若甲单独参加登记这项工作，则先将剩余的乙、丙、丁分为两组，再和接种、留观 2 项工作全排列，有2232C A种选择，故事件A包含的基本事件数为：322332AC A12，则 121363P A，同理 13P BP C，事件AB包含的基本事件数为：22A2，则213618P AB，事件AC包含两种情况，一是甲单独参加登记这项工作，乙单独参加接种这项工作
17、，则剩余的两人参加留观工作，此时由22C种选择，二是甲乙两人，有 1 人不是单独参加工作，此时有1122C C种选择，故事件AC包含的基本事件数为：211222CC C5，则536PAC 19PA PBPAB，故 A 错误；19PA P CPAC，故 B 错误；512P CAP C AP A，故 D 错误；16P ABP B AP A，故 C 正确故选：C.10D【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.【详解】由于6B，故当ABC是等腰三角形时，6A或512A或23A；当6A时，ABC是等腰三角形，所以ABC是等腰三角形是6A的必要不充分条件，所以选项 A 不正确；当2 3AB 时，sin
18、sinABACCB，即2 323,sinsin2sin6CC，所以3C或23C，则2A或6A；当6A时，23C，根据正弦定理可得2 3AB，所以2 3AB 是6A的必要不充分条件，所以选项 B 不正确；当4BC 时，sinsinBCACAB，即42sinsin6A，解得sin1,2AA，所以4BC 不是6A的充分条件，所以选项 C 不正确；当6A时，3ABCS；当3ABCS时，即1sin3,4 32BC BABBC BA，根据余弦定理222cos4BCBABC BAB，解得2216,2,2 3BCBABCBABCBA，则6A，所以3,ABCSBCBA是6A的充要条件，故选：D11B【分析】求出
19、函数的导数 2221axxfxx，令2()221g xaxx，讨论 a 的取值范围，结合 2ln2f xxaxx在0,1上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意 2ln2,0f xxaxx x可得 2122122axxfxaxxx，令2()221g xaxx，则(0)1g，当0a 时，1()210,2g xxx ，当102x时，()0fx，fx递增，当12x 时，0fx，fx递减，函数 fx在12x 时取极大值，符合题意；当0a 时，()g x图象对称轴为102xa，此时要使函数 2ln2f xxaxx在0,1上存在极大值点，需满足(1)0g，即1210,2
20、aa，则102a，此时112xa，()g x在0,1上递减，存在0 x，使得0()0g x，则当00 xx时，()0fx，fx递增，当01xx时，0fx，fx递减，函数 fx在0 xx时取极大值，符合题意；当a0时，()g x图象开口向下，对称轴为102xa，此时要使函数 2ln2f xxaxx在0,1上存在极大值点，需满足(1)0g，即1210,2aa，则a恒成立，所以 fx在R上单调递增；当01a时，令 0fx，得1lnaxa，由()0fx解得1lnaxa，由 0fx解得1lnaxa，所以 fx在1,lnaa上单调递减，在1ln,aa上单调递增；当0a时，0fx恒成立，所以 fx在R上单调
21、递减综上可知：当1a 时，fx在R上单调递增；当01a时，fx在1,lnaa上单调递减，在1ln,aa上单调递增；当0a时，fx在R上单调递减（2）当1a 时，exf x，则 e lnee lntxtyf xxtxt，所以关于 x 的方程ee ln0 xtxt有两个不同的实根，即关于 x 的方程ee lnxtxt有两个不同的实根因为 x0，所以lneelnxtxxxt令 e0 xg xxx，则 1 e0 xgxx，所以 g x在0,上单调递增要使 lng xgxt有两个不同的实根，则需lnxxt有两个不同的实根令 lnh xxxt，则11()1xh xxx 当0,1x时，0h x，h x单调递
22、减，当1,x时，0h x，h x单调递增，所以 min11h xht 当 t1 时，0h x，h x没有零点；当 t1 时，0h x，当且仅当 x1 时，等号成立，h x只有一个零点；当 t1 时，110ht ，ee0tth，ee2ttht令()e2(1)ttt t，则()e2e20tt，即 t在1,上单调递增，所以()(1)e20t，即 e0th所以 h x在0,1上有一个零点，在1,上有一个零点，符合条件综上，实数 t 的取值范围是1,【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参
23、数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解22(1)答案见详解；(2)2.【分析】（1）消去，即可求得1C的普通方程为2224xy，轨迹为圆，又0，方程为2224xy()02y，可知轨迹为上半圆及其与x轴的两个交点；（2）根据（1）可求得1C的极坐标方程为14cos，0,2，代入4，可求得2 2OP.将2C的参数方程化为普通方程后，可求得极坐标方程22cossin6，代入4，可求得3 2OQ，进而求出线段PQ的长.【详解】（1）由已知22cos2sinxy可得，22co
24、s2sinxy，则222222cos2sin4xy，又0，所以0sin1，则02y.所以1C的普通方程为2224xy()02y，轨迹为以2,0为圆心，2 为半径的圆的上半圆以及其与x轴的两个交点0,0，4,0.（2）由曲线221:24Cxy()02y化为极坐标方程：14cos，0,2.把4代入可得14cos2 24，所以2 2OP.2C的参数方程为212252xtyt（t 为参数），消去参数t可得6xy，可得极坐标方程为22cossin6，把4代入方程可得222cossin2644，所以23 2，所以3 2OQ.又,O P Q三点共线，且有3 22 22PQOQOP.23(1)6M(2)36【分析】（1）利用绝对值不等式得 12123xxxx，所以123xxt有解只需33t 即可；（2）利用均值不等式求解即可.【详解】（1）因为 12123xxxx，当且仅当2x 等号成立所以12xx的最大值为 3因为不等式 3f xt有解，所以33t，解得06t，所以实数t的最大值6M（2）由（1）知，12 3abc，因为2224abcabc（当且仅当ab时，等号成立），222223334223223 43 412 336abcababcababcabc，当且仅当22abc，即6ab，2 3c 时，等号成立，所以22abc的最小值为 36