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1、第 1页建安区三高建安区三高 2022-2023 学年上期诊断性测试（二）高三文科数学学年上期诊断性测试（二）高三文科数学考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合3 24,log1xMxNxx，则MN（）A 23xxB0 x x C 02xx或2x DR2已知复数 z 满足2ii4zz，则下列说法中正确的是（）A复数 z 的模为10B复数 z 在复平面内所对应的点在第四象限C复数 z 的共轭复数
2、为13i D20231i3z 3已知非零向量,a b 的夹角正切值为2 6，且32abab，则ab（）A2B23C32D14已知cos21sincos3，则3sin4（）A26B13C26D135在如图所示的程序框图中，输入4N，则输出的数等（）A34B45C1315D566“m=0 是“直线12110mxmly：与直线22110lmxmy：之间的距离为 2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件72020年支付宝推出的“集福卡，发红包”活动中，用户只要集齐5张福卡，就可拼手气分支付宝5亿元超级大红包，若活动的开始阶段，支付宝决定先从富强福、和谐福、友善福、爱国
3、福、敬业福5个福中随机选出3个福，投放到支付宝用户中，则富强福和友善福至少有1个被选中的概率为（）A25B23C35D910第 2页8若 x，y 满足不等式组，0330101yxyxyx，则下列目标函数中在点(3,2)处取得最小值为（）A4zxyB4zxyC4zxyD4zxy9函数 lncossinxxf xxx在,00,的图像大致为（）ABCD10已知ABC中，26BAC，则6A的充要条件是（）AABC是等腰三角形B2 3AB C4BC D3,ABCSBCBA11 如图，点P在以12,F F为焦点的双曲线222210,0 xyabab上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形12FF PQ为菱
4、形，则该双曲线的离心率为A3B2C312D2 3112若函数 2ln2f xxaxx在0,1上存在极大值点，则a的取值范围为（）A10,2B1,2C0,D1,2二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13曲线 1lnxfxxex在1,a处的切线与直线20bxy平行，则ba_.14把函数 22coscos 23fxxx的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数 g x为偶函数，则的最小正值为_15 设数列na首项132a，前n项和为nS，且满足*123(N)nnaSn，则满足234163315nnSS的所有 n 的和为_.16 三棱锥PABC的所有
5、顶点都在半径为 2 的球O的球面上.若PAC是等边三角形，平面第 3页PAC 平面ABC，ABBC，则三棱锥PABC体积的最大值为_.三、解答题三、解答题：（共共 7070 分分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知36ab，3C.(1)若3a，求tan B的值；(2)求AB ACBA BC 的最小值.18随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜爱某新能源汽车销售企业在 2017 年至 2021 年的销售量y（单位：万辆）数据如
6、下表：年份2017 年2018 年2019 年2020 年2021 年年份代号x12345销售量y（万辆）75849398100(1)请用相关系数判断y关于x的线性相关程度（参考：若0.30.75r，则线性相关程度一般，若0.75r，则线性相关程度较高，计算r时精确到小数点后两位）；(2)求出y关于x的线性回归方程，并预计 2022 年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？参考数据：521434iiyy，5164iiixxyy，434065.879附：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，回归直线方程的斜率121niiiniixxyybxx，截距aybx$19如图，ABC是边
7、长为3的等边三角形，,E F分别在边,AB AC上，且2AEAF，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将AEF折到DEF的位置，使152DM.第 4页(1)证明：DO 平面EFCB；(2)若平面EFCB内的直线/EN平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥RFNC的体积.20已知函数()lnf xxmx，其中mR.(1)讨论()f x的单调性；(2)若12elnxaxaxx 对任意的,()0 x恒成立，求实数a的取值范围.21已知双曲线：2222=1(0,0)axyabb的焦距为 4，且过点32,3P(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点F分别作斜率为12,k
8、k的两直线1l与2l，直线1l交双曲线于,A B两点，直线2l交双曲线于,C D两点，设,M N分别为AB与CD的中点，若121k k，试求OMN与FMN的面积之比.选做题选做题：请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所选第一题计分则按所选第一题计分。并将答并将答题卡上相应的方框涂黑。题卡上相应的方框涂黑。22在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数，0），2C的参数方程为212252xtyt（t 为参数）.(1)求1C的普通方程并指出它的轨迹；(2)以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM
9、：4与曲线1C的交点为O，P，与2C的交点为 Q，求线段PQ的长.23已知关于x的不等式123xxt 有解(1)求实数t的最大值M；(2)在（1）的条件下，已知,a b c为正数，且2 3abcM，求22abc的最小值答案第 1页，共 15页参考答案：参考答案：1B【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合,M N，根据集合的并集运算即可得答案.【详解】解24x得2x，解3log1x 得03x，故得2,03Mx xNxx，故0MNx x，故选：B2D【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为2ii4zz，所以(1 i)42iz，2 1 i2i42i1 3i1 i1 i 1
10、 iz，有121310z，故 A 不正确；复数z在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故 B 错误；复数z的共轭复数为1 3iz ，故 C 错误；因为202320231ii3z ，故 D 正确，故选:D.3D【分析】先求出非零向量,a b 的夹角余弦值，再利用向量数量积的运算律和定义处理32abab，即可得到答案.【详解】解析 设a，b的夹角为，由tan2 6得1cos5.因为32abab，所以 222232253230ababaa bbaa bb ，得22230aabb，解得1ab或32ab（舍去）.故选：D.答案第 2页，共 15页4C【分析】结合题干条件以及余弦的二倍角公式得到
11、1cossin3，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】因为22cossincossincos2cossin1cossinsincossincossincos3，所以3332212sinsincoscossincossin4442236，故选：C.5B【分析】根据流程图模拟计算后可求输出的值.【详解】第一次判断后，1,1,42Skk，第二次判断后，112,2,4263Skk，第三次判断后，213,3,43124Skk，第四次判断后，314,4,44205Skk不成立，故终止循环，故选：B.6A【分析】根据平行线间的距离公式可得0m 或45m，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.【详
12、解】两条平行线间的距离2212(21)1dmm，即2540mm，解得0m 或45m，即“0m”是“两直线间距离为 2”的充分不必要条件.故选：A.7D【解析】先求出富强福和友善福两个都没有被选中的概率，然后再由1110P 可得答案.【详解】从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福5个福中随机选出3个福有3510C 选法，富强福和友善福两个都没有被选中有331C 种选法，答案第 3页，共 15页所以富强福和友善福两个都没有被选中的概率为110，则富强福和友善福至少有1个被选中的概率为1911010P ，故选：D8A【分析】根据不等式组画出可行域，再分析各选项即可.【详解】作出满足题设约束条件的可
13、行域，即如图ABC内部（含边界）易得(3,2)B作直线1:40lxy，把直线1l向上平移，z 减小，当1l过点(3,2)B时，4zxy取得最小值，故 A 正确；作直线2:40lxy，把直线2l向上平移，z 减小，当2l过点(3,2)B时，4zxy取得最大值，故 B 错误；作直线3:40lxy，把直线3l向上平移，z 增加，当3l过点(3,2)B时，4zxy取得最大值，故 C 错误；作直线4:40lxy，把直线4l向上平移，z 增加，当4l过点(3,2)B时，4zxy取得最大值，故 D 错误故选：A9D【分析】判断函数的奇偶性，可判断 A；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断B,C,D,可得答案.
14、【详解】由题意函数 lncossinxxf xxx，,00,x，答案第 4页，共 15页则lncos()()sin()xxfxf xxx ，故 lncossinxxf xxx为奇函数，其图像关于原点对称，故 A 错误；又因为(1)(1)0ff，()()022ff,可判断 B 错误，1lnln233()0,()=0323ff，故C错误，只有 D 中图像符合题意，故 D 正确，故选：D10D【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.【详解】由于6B，故当ABC是等腰三角形时，6A或512A或23A；当6A时，ABC是等腰三角形，所以ABC是等腰三角形是6A的必要不充分条件，所以选项 A 不正确；
15、当2 3AB 时，sinsinABACCB，即2 323,sinsin2sin6CC，所以3C或23C，则2A或6A；当6A时，23C，根据正弦定理可得2 3AB，所以2 3AB 是6A的必要不充分条件，所以选项 B 不正确；当4BC 时，sinsinBCACAB，即42sinsin6A，解得sin1,2AA，所以4BC 不是6A的充分条件，所以选项 C 不正确；当6A时，3ABCS；当3ABCS时，即1sin3,4 32BC BABBC BA，根据余弦定理222cos4BCBABC BAB，解得2216,2,2 3BCBABCBABCBA，则6A，所以3,ABCSBCBA是6A的充要条件，故
16、选：D11C【分析】连接2QF,可得三角形2QPF为等边三角形，过点 P 作 PHx 轴于点 H,则2PF H=60o，可得2PF|=2c,|PH|=3c,|2HF|=c，连接1PF,利用双曲线的性质,答案第 5页，共 15页2a=|1PF|-|2PF|=2 3c-2c=2(3 1)c-,可得离心率 e.【详解】解：由题意得：四边形12FF PQ的边长为 2c,连接2QF,由对称性可知,|2QF|=|1QF|=2c,则三角形2QPF为等边三角形.过点 P 作 PHx 轴于点 H,则2PF H=60o，|2PF|=2c,在直角三角形2PF H中,|PH|=3c,|2HF|=c,则 P(2c,3c
17、),连接1PF,则|1PF|=2 3c.由双曲线的定义知,2a=|1PF|-|2PF|=2 3c-2c=2(3 1)c-,所以双曲线的离心率为 e=ca=131=132，故选 C.【点睛】本题主要考查双曲线的相关性质及菱形的性质，灵活运用双曲线的性质是解题的关键.12D【分析】求出函数的导数 2221axxfxx，令2()221g xaxx，讨论 a 的取值范围，结合 2ln2f xxaxx在0,1上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意 2ln2,0f xxaxx x可得 2122122axxfxaxxx，令2()221g xaxx，则(0)1g，当0a
18、时，1()210,2g xxx ，当102x时，()0fx，fx递增，当12x 时，0fx，fx递减，函数 fx在12x 时取极大值，符合题意；答案第 6页，共 15页当0a 时，()g x图象对称轴为102xa，此时要使函数 2ln2f xxaxx在0,1上存在极大值点，需满足(1)0g，即1210,2aa，则102a，此时112xa，()g x在0,1上递减，存在0 x，使得0()0g x，则当00 xx时，()0fx，fx递增，当01xx时，0fx，fx递减，函数 fx在0 xx时取极大值，符合题意；当a0时，()g x图象开口向下，对称轴为102xa，此时要使函数 2ln2f xxax
19、x在0,1上存在极大值点，需满足(1)0g，即1210,2aa，则a m，令()0fx，解得0 xm，所以该函数的单调增区间为(,)m，单调减区间为(0,)m.综上，当0m，()f x的单调递增区间为(0,)；当0m，()f x的单调增区间为(,)m，单调减区间为(0,)m.(2)解：若要12elnxaxaxx，只需1e(ln)xa xxx，即需要ln1e(ln)xxa xx恒成立.设l(n)t xxx，0 x，由（1）知()t x在0,1上单调递减，在(1,)上单调递增，所以()(1)1t xt，于是需要1etat，1t 恒成立，即eetat，1t 恒成立.设e()eth tt，1t，则e(
20、1)()0etth tt恒成立，所以min()(1)1 h th，则1a，即(,1a.21(1)2213xy(2)3【分析】（1）由题意得24c，再将32,3P代入双曲线方程，结合222cab可求出22,ab，从而可求出双曲线方程，（2）设直线1l方程为1(2)yk x，1122(,),(,)A x yB xy，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用121k k表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点(3,0)E，从而可求得答案.【详解】（1）由题意得24c，得=2c，所以224ab，因为点32,3P在双曲线上，答案第 13
21、页，共 15页所以22413=1ab，解得223,1ab，所以双曲线方程为2213xy，（2）(2,0)F，设直线1l方程为1(2)yk x，1122(,),(,)A x yB xy，由122=(+2)=13y k xxy，得2222111(1 3)121230kxk xk则22111212221112123,1 31 3kkxxx xkk，所以212121621 3xxkk，所以AB的中点211221162,1 31 3kkMkk，因为121k k，所以用11k代换1k，得1221126,33kNkk，当212211661 31 3kkk，即11k 时，直线MN的方程为3x ，过点(3,0)
22、E，当11k 时，112211122112211221 332663(1)1 33MNkkkkkkkkkk，直线MN的方程为21112221112261 33(1)1 3kkkyxkkk，令=0y，得221122113(1)631 31 3kkxkk，所以直线MN也过定点(3,0)E，所以12312NMOMNFMNMNyyOEOESSFEyyFE22(1)答案见详解；答案第 14页，共 15页(2)2.【分析】（1）消去，即可求得1C的普通方程为2224xy，轨迹为圆，又0，方程为2224xy()02y，可知轨迹为上半圆及其与x轴的两个交点；（2）根据（1）可求得1C的极坐标方程为14cos，
23、0,2，代入4，可求得2 2OP.将2C的参数方程化为普通方程后，可求得极坐标方程22cossin6，代入4，可求得3 2OQ，进而求出线段PQ的长.【详解】（1）由已知22cos2sinxy可得，22cos2sinxy，则222222cos2sin4xy，又0，所以0sin1，则02y.所以1C的普通方程为2224xy()02y，轨迹为以2,0为圆心，2 为半径的圆的上半圆以及其与x轴的两个交点0,0，4,0.（2）由曲线221:24Cxy()02y化为极坐标方程：14cos，0,2.把4代入可得14cos2 24，所以2 2OP.2C的参数方程为212252xtyt（t 为参数），消去参数
24、t可得6xy，可得极坐标方程为22cossin6，把4代入方程可得222cossin2644，所以23 2，所以3 2OQ.又,O P Q三点共线，且有3 22 22PQOQOP.23(1)6M(2)36【分析】（1）利用绝对值不等式得 12123xxxx，所以123xxt答案第 15页，共 15页有解只需33t 即可；（2）利用均值不等式求解即可.【详解】（1）因为 12123xxxx，当且仅当2x 等号成立所以12xx的最大值为 3因为不等式 3f xt有解，所以33t，解得06t，所以实数t的最大值6M（2）由（1）知，12 3abc，因为2224abcabc（当且仅当ab时，等号成立），222223334223223 43 412 336abcababcababcabc，当且仅当22abc，即6ab，2 3c 时，等号成立，所以22abc的最小值为 36