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1、1第二章第二章 误差的基本性质误差的基本性质 与处理与处理西安工业大学光电学院西安工业大学光电学院2目目 录录l随机误差l正态分布l随机误差的数字特征l概率积分与极限误差l不等精度测量的数据处理l系统误差l粗大误差l测量结果的数据处理实例31.阐述阐述随机误差随机误差、系统误差系统误差、粗大误差粗大误差三类误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。的措施。2.在随机误差的数据处理中，分别掌握在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测等精度测量量和和不等精度测量不等精度测量的不同数据处理方法。的不同数据处理方法。3.根据不同性质的误差选
2、取正确的数据处理方法根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。并进行合理的数据处理。教学目标教学目标4三大类误差的特征、性质以及减小各三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施类误差对测量精度影响的措施掌握等精度测量的数据处理方法掌握等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法重点与难点重点与难点5教学目的和要求：教学目的和要求：1.1.了解随机误差的产生原因、特点及处了解随机误差的产生原因、特点及处理方法；理方法；2.2.掌握掌握正态分布正态分布随机误差的特征；随机误差的特征；3.3.掌握随机误差掌握随机误差特征值特
3、征值的确定方法；的确定方法；4.4.正确求解正确求解极限误差极限误差。2-1 随机误差随机误差61 1、具有随机性：、具有随机性：测量过程中误差的大小和符测量过程中误差的大小和符号以不可预知的形式出现。号以不可预知的形式出现。2 2、产生在测量过程之中：、产生在测量过程之中：影响随机误差的因影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。素在测量开始之后体现出来。3 3、与测量次数有关系：、与测量次数有关系：增加测量次数可以减增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。小随机误差对测量结果的影响。随随机机误误差差是是由由人人们们不不能能控控制制，不不能能调调节节，更不能消除的微小因素造成。更不能消
4、除的微小因素造成。随机误差：随机误差：71 1正态分布正态分布概率密度函数概率密度函数对称性对称性单峰性单峰性 有界性有界性0 0抵偿性抵偿性 即即即即 特征：特征：分布函数分布函数数学期望数学期望 E E（）0 0方方 差差 D D（）2 282 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征算术平均值算术平均值标准差标准差1.1.算术平均值算术平均值多次测量求平均值可以减小随机误差多次测量求平均值可以减小随机误差算术平均值算术平均值是真值的最佳估计值是真值的最佳估计值9残差残差代数和为零代数和为零 简便法计算算术平均值简便法计算算术平均值任选接近所有测得值的数任选接近所有测得值的数求测得值与参考值
5、的差求测得值与参考值的差得得10例例：求求20.000520.0005，19.999619.9996，20.000320.0003，19.999419.9994，20.000220.0002五个测得值的算术平均值。五个测得值的算术平均值。解法一：解法一：解法二：解法二：11算术平均值的计算校核算术平均值的计算校核1.1.残差代数和残差代数和2.2.残差代数和的绝对值残差代数和的绝对值 n n为奇数，为奇数，n n为偶数，为偶数，为准确数时，为准确数时，为不准确数时，为不准确数时，为正，其等于余数为正，其等于余数 为负，其等于亏数为负，其等于亏数 末位的一个末位的一个单位单位122.2.标准差标
6、准差测量列单次测量标准差测量列单次测量标准差对比两组测得值：对比两组测得值：20.000520.0005，19.999619.9996，20.000320.0003，19.999419.9994，20.000220.0002：19.999019.9990，20.000620.0006，19.999519.9995，20.001520.0015，19.999419.9994标准差：标准差：13的物理意义的物理意义:大，数据分散，随机误差大，重复性差。大，数据分散，随机误差大，重复性差。小，小误差占优，数据集中，重复性好。小，小误差占优，数据集中，重复性好。0 014标准差的计算方法标准差的计算方
7、法A.A.贝塞尔公式（贝塞尔公式（besselbessel）方差：方差：标准差：标准差：15例例：用游标卡尺测量某一长度用游标卡尺测量某一长度L10L10次（次（mmmm），），22.6222.62，22.6622.66，22.6722.67，22.6222.62，22.6322.63，22.6922.69，22.6622.66，22.6122.61，22.6422.64，22.7022.70。若。若已排除了系统误差和粗大误差。试求其算术已排除了系统误差和粗大误差。试求其算术平均值及测量列的标准差。平均值及测量列的标准差。解解：算术平均值：算术平均值：计算残差：计算残差：16计算标准差：计算标
8、准差：B.B.极差法极差法若等精度多次测量值若等精度多次测量值 服从正态分服从正态分布，选出布，选出 和和 ，则：，则：由统计方法：由统计方法：与测量次数有关与测量次数有关适用范围：适用范围：17C.C.最大误差法最大误差法最大误差绝对值最大误差绝对值最大残差绝对值最大残差绝对值适用范围：适用范围：D.D.别捷尔斯法（别捷尔斯法（peterspeters）18 表征被测量各个算术平均值离散性的参表征被测量各个算术平均值离散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。2.2.算术平均值的标准差算术平均值的标准差可知：可知：算术平均值的标准差为单次测量标准
9、差的算术平均值的标准差为单次测量标准差的测量次数增加，提高测量精度，更接近真值；测量次数增加，提高测量精度，更接近真值；当当 时，时，减少得缓慢。减少得缓慢。190 0用残差表示：用残差表示：20例例：用温度计重复测量某个不变的温度，用温度计重复测量某个不变的温度，得得1111个测量值个测量值 （）：）：528528，531531，529529，527527，531531，533533，529529，530530，532532，530530，531531试求测得值的算术平均值及其标准差。试求测得值的算术平均值及其标准差。例例:已知测量的单次测量标准偏差已知测量的单次测量标准偏差（略略去去单单位
10、位）。问问在在不不改改变变测测量量条条件件的的情情况况下下，使使被被测测量量估估计计值值的的标标准准偏差达到偏差达到0.040.04，需测量多少次？，需测量多少次？213 3概率积分与极限误差概率积分与极限误差1.1.概率积分概率积分已知概率密度已知概率密度 求出概率求出概率0 0若误差区间为若误差区间为得区间得区间 内的概率内的概率置信概率置信概率置信系数置信系数显著度显著度22例例：求正态分布在求正态分布在 内的概率。内的概率。t t1 1，2 2，3 32.2.极限误差极限误差单次测量的极限误差单次测量的极限误差 即即极端误差极端误差。如果测量结果的误差。如果测量结果的误差不超过该误差的
11、概率为不超过该误差的概率为P P，那么超出该误，那么超出该误差的概率（差的概率（1-p1-p）很小，可以忽略。）很小，可以忽略。算术平均值的极限误差算术平均值的极限误差23例例1 1：已知某测量的标准差已知某测量的标准差 ，求，求极限误差为极限误差为 时所对应的置信概率与时所对应的置信概率与置信系数。置信系数。例例2 2：，求对应于置信概率，求对应于置信概率9999的置信系数及极限误差。的置信系数及极限误差。例例3 3：对某工件进行对某工件进行5 5次测量，测量的标准次测量，测量的标准差估算值为差估算值为 ，求置信概率，求置信概率 时时的极限误差。的极限误差。244 4不等精度测量的数据处理不
12、等精度测量的数据处理 为了得到更精确的测量结果或对比结果而为了得到更精确的测量结果或对比结果而变更测量条件变更测量条件 不等精度测量不等精度测量测量次数测量次数不同精度的仪器进行对比测量不同精度的仪器进行对比测量1.1.权及确定方法权及确定方法权权用数值表示的数据在处理过程中被重视用数值表示的数据在处理过程中被重视的程度。的程度。精度精度 ，数据权，数据权各数据的权同时扩大或缩小同一各数据的权同时扩大或缩小同一倍数不影响数据的处理结果。倍数不影响数据的处理结果。25确定方法：确定方法：由测量次数决定由测量次数决定由精度决定由精度决定每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比每组测量结果的权与其
13、相应的标准差平方成反比 权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数，允许各组的权数同时增大或减少一个无量纲的数，允许各组的权数同时增大或减少若干倍。若干倍。26例例1 1：有一个测量列：有一个测量列：，求权。，求权。解：解：例例2 2：对同一量进行等精度测量，分两组进行：对同一量进行等精度测量，分两组进行：第一组：第一组：第二组：第二组：27例例3 3：不同的方法进行两组测量不同的方法进行两组测量 第一组：第一组：第二组：第二组：2.2.加权算术平均值加权算术平均值简化的加权算术平均值简化的加权算术平均值283.3.单位权化单位权化非等精度非
14、等精度 等精度等精度 任何一个非等精度随机变量乘以自身权任何一个非等精度随机变量乘以自身权数的平方根，得到的新变量的权数为数的平方根，得到的新变量的权数为1 1。即：即：4.4.加权算术平均值的标准差加权算术平均值的标准差M M组不等精度测量组不等精度测量29由残差来计算由残差来计算则：则：30例例：1m1m的米尺经三种方法检定，其结果的米尺经三种方法检定，其结果如下：如下：求加权平均值求加权平均值 和加权平均值的标准差。和加权平均值的标准差。31研究的重要性研究的重要性 1.1.随随机机误误差差的的处处理理是是在在排排除除系系统统误误差差的的前前提提下下完完成成，因因此此必必须须最最大大限限
15、度度的的消消除除系系统误差的影响；统误差的影响；2.2.重重复复测测量量不不能能减减少少系系统统误误差差对对测测量量结结果果的影响；的影响；3.3.系统误差的特殊性；系统误差的特殊性；4.4.对系统误差的研究可以发现一些新事物。对系统误差的研究可以发现一些新事物。2-2 系统误差系统误差32一、系统误差产生的原因一、系统误差产生的原因测量装置的因素测量装置的因素测量方法的因素测量方法的因素测量环境的因素测量环境的因素测量人员的因素测量人员的因素 在同一测量条件下，多次测量同一量时，在同一测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定；或在条件改误差的绝对值和符号保持恒定；或在条件改变
16、时，按某一确定的规律变化的误差。变时，按某一确定的规律变化的误差。在重复性条件下，对同一被测量进行在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差的真值之差。定义：定义：特征：特征：产生原因：产生原因：33二、系统误差的类别二、系统误差的类别1.1.定值系统误差：定值系统误差：在同一测量条件下，多在同一测量条件下，多次测量同一量值时，误差大小和符号均固次测量同一量值时，误差大小和符号均固定不变的系统误差。定不变的系统误差。2.2.变值系统误差：变值系统误差：在同一测量条件下，多次在同一测量条件下，多次测量同一量值时，误差大小和符
17、号按一定规测量同一量值时，误差大小和符号按一定规律变化的系统误差。律变化的系统误差。累进（线性）变化系统误差累进（线性）变化系统误差 周期性变化系统误差周期性变化系统误差 复杂规律变化系统误差复杂规律变化系统误差 34各类特征系统误差图示各类特征系统误差图示曲线曲线a a是恒定系统是恒定系统误差误差曲线曲线b b是线性变化是线性变化系统误差系统误差曲线曲线c c是非线性变是非线性变化系统误差化系统误差曲线曲线d d是周期性变是周期性变化系统误差化系统误差曲线曲线e e是复杂规律是复杂规律变化系统误差变化系统误差35三、系统误差对测量结果的影响三、系统误差对测量结果的影响1.1.定值系统误差的影
18、响定值系统误差的影响a.a.对算术平均值的影响对算术平均值的影响b.b.对残差的影响对残差的影响 使算术平均值增加或减小，对残差没使算术平均值增加或减小，对残差没影响，只是引起误差分布曲线位置的平移，影响，只是引起误差分布曲线位置的平移，而不影响分布曲线的形状。而不影响分布曲线的形状。362.2.变值系统误差的影响变值系统误差的影响a.a.对算术平均值的影响对算术平均值的影响b.b.对残差的影响对残差的影响特点：特点：1 1、具有确定规律性：具有确定规律性：测量过程中误差的大测量过程中误差的大小和符号固定不变，或按照确定的规律变化。小和符号固定不变，或按照确定的规律变化。2 2、产生在测量开始
19、之前：产生在测量开始之前：影响系统误差的因素在影响系统误差的因素在测量开始之前就已经确定。测量开始之前就已经确定。3 3、与测量次数无关：与测量次数无关：增加测量次数不能减小系统增加测量次数不能减小系统误差对测量结果的影响。误差对测量结果的影响。37四、系统误差的发现四、系统误差的发现1.1.实验对比法实验对比法2.2.残余误差观察法残余误差观察法0 0a.a.b.b.0 0c.c.0 0d.d.0 0383.3.残余误差校核法残余误差校核法马列科夫准则马列科夫准则 用于发现线形系差用于发现线形系差偶数次：偶数次：奇数次：奇数次：按测量先后顺序排列分成两组按测量先后顺序排列分成两组若若 显著不
20、为零，则说明有线性系差存在。显著不为零，则说明有线性系差存在。阿卑阿卑 赫梅特准则赫梅特准则若若 ，则说明有周期性系差存在。，则说明有周期性系差存在。394.4.不同公式计算标准差比较法不同公式计算标准差比较法按按BesselBessel公式：公式：按按peterspeters公式：公式：若若 ，则说明有系统误差存在。，则说明有系统误差存在。令：令：405.5.计算数据比较法计算数据比较法 对同一量独立测得对同一量独立测得m m组，每组的算术平均组，每组的算术平均值和标准差为：值和标准差为：两两结果之差为：两两结果之差为：标准差为：标准差为：不存在系统误差的标志是：不存在系统误差的标志是：41
21、6.6.秩和检验法秩和检验法两组测量：两组测量：将它们混合，按大小顺序重排，取测量次将它们混合，按大小顺序重排，取测量次数较小的那一组，数出它混合后的秩，求得数较小的那一组，数出它混合后的秩，求得秩和秩和 。若若 ，则说明无系差存在。，则说明无系差存在。按两组的测量次数查表得按两组的测量次数查表得 、42 令变量令变量变量变量t t是服从自由度为是服从自由度为()()的的t t分布变量分布变量。7 7、t t 检验法检验法 当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大但样本数不是太少（最好不少于不大但样本数不是太少（最好不少于2020）时，）时，可用可用t
22、t检验法判断两组间是否存在系统误差。检验法判断两组间是否存在系统误差。设独立测得两组数据为：设独立测得两组数据为：43若若 ，则无根据怀疑两组间有系统误差，则无根据怀疑两组间有系统误差 其中其中例：例：对某量测得两组数据为：对某量测得两组数据为：x x：1.91.9，0.80.8，1.11.1，0.10.1，-0.1-0.1，4.44.4，5.55.5，1.61.6，4.64.6，3.4 3.4 y y：0.70.7，-1.6-1.6，-0.2-0.2，-1.2-1.2，-0.1-0.1，3.43.4，3.73.7，0.80.8，0.00.0，2.0 2.0 44五、系统误差的减少和消除五、系
23、统误差的减少和消除1.1.消除系统误差的一般原则消除系统误差的一般原则（1 1）从产生误差根源上消除系统误差）从产生误差根源上消除系统误差 最最理理想想的的方方法法。它它要要求求对对产产生生系系统统误误差差的的因因素素有有全全面面而而细细致致的的了了解解，并并在在测测试试前前就就将将它它们们消消除除或或减减弱弱到到可可忽忽略略的的程程度度。视具体条件不同，有：视具体条件不同，有：（1）所用基、标准件是否准确可靠。）所用基、标准件是否准确可靠。（2）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。（3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。）
24、仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。（4）所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。（5）测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等 （6）测量人员主观误差，如视差习惯等测量人员主观误差，如视差习惯等。45（2 2）利用加修正值的方法消除系统误差）利用加修正值的方法消除系统误差 取与误差数值大小相同而符号相反的值取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。即可得到不包含该系
25、统误差的测量结果。（3 3）选择适当的测量方法消除系统误差）选择适当的测量方法消除系统误差 替代法替代法 抵消法抵消法 交换法交换法 对称法对称法 半周期法半周期法462.2.常用消除，减小系统误差的方法常用消除，减小系统误差的方法（1 1）消除定值系统误差的方法）消除定值系统误差的方法a.a.替代法替代法 测量被测量后不改变测测量被测量后不改变测量条件，用相应的标准量代量条件，用相应的标准量代替被测量，放到测量装置上替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而得到该再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与已知标准标准量测量结果与已知标准量的差值，即系统误差，取量的差值，即系统误差，取其负值即可
26、作为被测量测量其负值即可作为被测量测量结果的修正量。结果的修正量。P47b.b.抵消法抵消法 进行两次反向测量，该两次测量读数时出进行两次反向测量，该两次测量读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，即现的系统误差大小相等，符号相反，即 取两次测值的平均，有取两次测值的平均，有 c.c.交换法交换法根据误差产生原因，将某些根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。条件交换，以消除系统误差。P48（2 2）消除变值系统误差的方法）消除变值系统误差的方法 在选取测量点时，取关于因素在选取测量点时，取关于因素t t的左右对称的左右对称处，两次读数平均，可消除线性系统误差。处，两次读数平均，可消
27、除线性系统误差。a.a.对称法对称法 消除线性系统误差消除线性系统误差49b.b.半周期法半周期法 消除周期性系统误差消除周期性系统误差 相隔半个周期进行两次测量，取两次相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。误差。50例例：对温度对对温度对1010次测量结果依次为（单次测量结果依次为（单位位）：）：20.05,20.08,20.06,20.09,20.10,20.05,20.08,20.06,20.09,20.10,20.12,20.14,20.18,20.16,20.20,20.12,20.14,20.18,20.16,
28、20.20,试判断测量中有无系统误差。试判断测量中有无系统误差。51客观外界条件的原因 测量人员的主观原因 2.2.客观原因：客观原因：机械冲击、外界震动、电网供电电压突机械冲击、外界震动、电网供电电压突变、电磁干扰等测量条件意外地改变变、电磁干扰等测量条件意外地改变 ，引起仪器示值，引起仪器示值或被测对象位置的改变而产生粗大误差。或被测对象位置的改变而产生粗大误差。1.1.主观原因：主观原因：测量者工作责任性不强，工作过于疲测量者工作责任性不强，工作过于疲劳，对仪器熟悉与掌握程度不够等原因，引起操作不劳，对仪器熟悉与掌握程度不够等原因，引起操作不当，或在测量过程中不小心、不耐心、不仔细等，从
29、当，或在测量过程中不小心、不耐心、不仔细等，从而造成错误的读数或错误的记录。而造成错误的读数或错误的记录。2-3 粗大误差粗大误差一、粗大误差产生的原因一、粗大误差产生的原因52处理过程：处理过程：粗大误差导致测量值对失真和测量结果粗大误差导致测量值对失真和测量结果的严重歪曲，从而失去可靠性和使用价的严重歪曲，从而失去可靠性和使用价值，应值，应设法剔除。设法剔除。测量数据含有随机误差和系统误差是正测量数据含有随机误差和系统误差是正常现象，通常测量值具有一定程度的分常现象，通常测量值具有一定程度的分散性，因此散性，因此不能随意地将少数看起来误不能随意地将少数看起来误差较大的测量值作为异常值剔除。
30、差较大的测量值作为异常值剔除。53二、判断粗大误差的准则二、判断粗大误差的准则1.1.莱以特（莱以特（）准则）准则 最常见也是最简单的判别粗大误差的准则。最常见也是最简单的判别粗大误差的准则。含有粗大误差含有粗大误差适用于大样本。适用于大样本。以随机误差的正态分布规律为依据，残以随机误差的正态分布规律为依据，残差落在差落在 以外的概率仅有以外的概率仅有0.27%0.27%。542.2.罗曼诺夫斯基准则（罗曼诺夫斯基准则（t t检验准则）检验准则）次数很小时次数很小时测量结果：测量结果：若若 为可疑数据，将其剔除后计算其平均为可疑数据，将其剔除后计算其平均值及标准差。值及标准差。若：若：则判别有
31、粗大误差则判别有粗大误差553.3.格罗布斯准则（格罗布斯准则（GrubbsGrubbs）可靠性最高可靠性最高排序：排序：得：得：查表查表则判别有粗大误差则判别有粗大误差若：若：564.4.狄克松准则（狄克松准则（DixonDixon）快速判定快速判定排序：排序：得得 统计量：统计量：57得得 统计量：统计量：当统计值大于临界值，则认为含有粗大误差。当统计值大于临界值，则认为含有粗大误差。58例例：对某一尺寸进行对某一尺寸进行1515次等精度重复测次等精度重复测量，得到数据如下（量，得到数据如下（mmmm）：）：判断有无粗大误差。判断有无粗大误差。次数次数1234567结果结果10.26210
32、.26810.26510.26310.27810.26710.2638910111213141510.26010.25810.26210.26410.26110.26410.26310.265解解：次数次数1234567残差残差()-241-1143-189101112131415-4-6-20-30-1159客观外界条件的原因 1.1.处理步骤：处理步骤：2-4 测量结果的数据处理实例测量结果的数据处理实例一、等精度直接测量结果的数据处理一、等精度直接测量结果的数据处理 判断有无系统误差，并尽量减少其影响；判断有无系统误差，并尽量减少其影响；判断粗大误差，检验数据的合理性；判断粗大误差，检验
33、数据的合理性；求算术平均值；求算术平均值；求残差；求残差；计算测量列单次测量的标准差；计算测量列单次测量的标准差；计算算术平均值的标准差；计算算术平均值的标准差；计算算术平均值的极限误差；计算算术平均值的极限误差；表示测量结果。表示测量结果。602.2.处理实例处理实例例例：对某一轴径进行对某一轴径进行9 9次等精度重复测次等精度重复测量，得到数据如下（量，得到数据如下（mmmm）：）：求测量结果。求测量结果。次数次数1234结果结果24.77424.77824.77124.7805678924.77224.77724.77324.77524.77461二、不等精度直接测量结果的数据处理二、不等精度直接测量结果的数据处理1.1.处理步骤：处理步骤：确定测量数据的权；确定测量数据的权；求加权算术平均值；求加权算术平均值；求残差；求残差；求加权算术平均值的标准差；求加权算术平均值的标准差；求加权算术平均值的极限误差；求加权算术平均值的极限误差；表示测量结果。表示测量结果。622.2.处理实例处理实例例例：对某一角度进行六组不等精度测量，对某一角度进行六组不等精度测量，各组测量结果如下：各组测量结果如下：测测6 6次得次得 ，测测3030次得次得 ，测测2424次得次得 ，测测1212次得次得 ，测测1212次得次得 ，测测3636次得次得 。求最后测量结果。求最后测量结果。