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1、第十章第十章组合变形组合变形本章内容本章内容v 组合变形的概念组合变形的概念v 斜弯曲斜弯曲v拉伸与弯曲的组合拉伸与弯曲的组合v 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合10-1 10-1 组合变形的概念组合变形的概念在外力的作用下，构件若同时产生两种或在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就是两种以上基本变形的情况，就是组合变形组合变形在小变形和线弹性的前提下，可以采用在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠形等于各个力单独作用下
2、变形的总和（叠加）加）RAHATCABP24kN_NB2m1m1.5mPACTxTy12kNm_M举例举例叠加原理应用的基本步骤：叠加原理应用的基本步骤：v将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形只产生一种基本变形v分析每种载荷的内力，确定危险截面分析每种载荷的内力，确定危险截面v分别计算构件在每种基本变形情况下的危分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力险截面内的应力v将各基本变形情况下的应力叠加，确定最将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点危险点v选择强度
3、理论，对危险点进行强度校核选择强度理论，对危险点进行强度校核10-2 10-2 弯曲与拉伸的组合弯曲与拉伸的组合杆件在外力作用下同杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯（压缩）变形称为弯曲与拉伸的组合曲与拉伸的组合偏心拉伸也形成了弯曲与拉伸的组合变形偏心拉伸也形成了弯曲与拉伸的组合变形链环受力链环受力链环受力链环受力立柱受力立柱受力立柱受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析拉伸与弯曲组合的应力分析在在Px作用下：作用下：在在Py作用下：作用下：危险截面处的弯矩危险截面处的弯矩危险截面处的弯矩危险截面处的弯矩抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量根据叠加原理
4、，可得根据叠加原理，可得根据叠加原理，可得根据叠加原理，可得 x x 横截面上的总应力为横截面上的总应力为横截面上的总应力为横截面上的总应力为强度条件为强度条件为例例例例1 1 1 1 悬臂吊车悬臂吊车悬臂吊车悬臂吊车,横梁由横梁由横梁由横梁由 25 25 a a 号号号号工字钢制成，工字钢制成，工字钢制成，工字钢制成，l l=4=4mm，电葫芦重电葫芦重电葫芦重电葫芦重Q Q1 1=4=4kNkN，起重量起重量起重量起重量Q Q2 2=20=20kNkN,=30,=30,=100=100MPaMPa，试校核强度。试校核强度。试校核强度。试校核强度。取横梁取横梁取横梁取横梁ABAB为研究对象，
5、受力如为研究对象，受力如为研究对象，受力如为研究对象，受力如图图图图b b所示。所示。所示。所示。梁梁梁梁 上载荷为上载荷为上载荷为上载荷为 P P=Q Q1 1+Q Q2 2=24=24kNkN，斜杆的拉力斜杆的拉力斜杆的拉力斜杆的拉力S S 可分解为可分解为可分解为可分解为X XB B和和和和Y YB B（1 1）外力计算）外力计算）外力计算）外力计算横梁在横向力横梁在横向力横梁在横向力横梁在横向力P P和和和和Y YA A、Y YB B作用下作用下作用下作用下产生弯曲；同时在产生弯曲；同时在产生弯曲；同时在产生弯曲；同时在X XA A和和和和X XB B作用下作用下作用下作用下产生轴向压
6、缩。这是一个弯曲与产生轴向压缩。这是一个弯曲与产生轴向压缩。这是一个弯曲与产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。压缩组合的构件。压缩组合的构件。压缩组合的构件。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。（2 2）内力和应力计算）内力和应力计算）内力和应力计算）内力和应力计算由横梁的弯矩图可知在梁中点截面由横梁的弯矩图可知在梁中点截面由横梁的弯矩图可知在梁中点截面由横梁的弯矩图可知在梁中点截面上的弯矩最大上的弯矩最大上的弯矩最
7、大上的弯矩最大从型钢表上查从型钢表上查从型钢表上查从型钢表上查 2525a a 号工字钢号工字钢号工字钢号工字钢则危险截面上的压应力为则危险截面上的压应力为则危险截面上的压应力为则危险截面上的压应力为 横梁所受的轴向压力为横梁所受的轴向压力为横梁所受的轴向压力为横梁所受的轴向压力为梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为（3 3）强度校核）强度校核）强度校核）强度校核此悬臂吊车的横梁是安全的此悬臂吊车的横梁是安全的此悬臂吊车的横梁是安全的此悬臂吊车的横梁是安全的例例例例2 2 2 2
8、 钻床钻床钻床钻床 P P =15=15kNkN，e e =4040cmcm，T T=35=35MPaMPa,C C=120=120MPaMPa.试试试试计算铸铁立柱所需的直径。计算铸铁立柱所需的直径。计算铸铁立柱所需的直径。计算铸铁立柱所需的直径。（1 1）计算内力）计算内力）计算内力）计算内力将立柱假想地截开，取上段为将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，求出研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为立柱的轴力和弯矩分别为（2 2）选择立柱直径）选择立柱直径）选择立柱直径）选择立柱直径 求解求解d的三次方程的三次方程满足强度条件，最后选用立柱直满足强度条件，最后选用立柱直
9、d=12.5cm解得立柱的近似直径解得立柱的近似直径解得立柱的近似直径解得立柱的近似直径取取取取d d=12.5cm=12.5cm,再代再代再代再代入偏心拉伸的强入偏心拉伸的强入偏心拉伸的强入偏心拉伸的强度条件校核度条件校核度条件校核度条件校核设计中常采用的简便方法：设计中常采用的简便方法：设计中常采用的简便方法：设计中常采用的简便方法：因为偏心距较大，弯曲应力因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强是主要的，故先考虑按弯曲强度条件度条件 设计截面尺寸设计截面尺寸 由于钢板在截面由于钢板在截面由于钢板在截面由于钢板在截面1-11-1处处处处有一半圆槽有一半圆槽有一半圆槽有一半圆槽 ，
10、因而外，因而外，因而外，因而外力力力力P P对此截面为偏心拉对此截面为偏心拉对此截面为偏心拉对此截面为偏心拉伸，其偏心矩之值为伸，其偏心矩之值为伸，其偏心矩之值为伸，其偏心矩之值为截面截面截面截面1-11-1的轴力和弯矩的轴力和弯矩的轴力和弯矩的轴力和弯矩分别为分别为分别为分别为例例例例3 3 一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度 b=8cm,厚度厚度=1cm,槽槽半径半径 r=1cm,P=80kN,钢板许用应力钢板许用应力=140MPa。试对此钢板进行试对此钢板进行强度校核。强度校核。轴力轴力轴力轴力N N 和弯矩在半圆槽底部和弯矩在半圆槽底部和弯矩在半圆槽底部和
11、弯矩在半圆槽底部的的的的 a a 点处都引起拉应力（图点处都引起拉应力（图点处都引起拉应力（图点处都引起拉应力（图b b)，a a点点点点即为危险点。最大即为危险点。最大即为危险点。最大即为危险点。最大应力为应力为应力为应力为计算结果表明，钢板在截面计算结果表明，钢板在截面计算结果表明，钢板在截面计算结果表明，钢板在截面1-11-1处的强度不够。处的强度不够。处的强度不够。处的强度不够。由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩伸而引起的弯
12、矩伸而引起的弯矩伸而引起的弯矩PePe，使截面，使截面，使截面，使截面1-11-1的应力显著增加的应力显著增加的应力显著增加的应力显著增加 。为。为。为。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽如图槽的对称位置再开一槽如图槽的对称位置再开一槽如图槽的对称位置再开一槽如图c c。这样就避免了偏心拉。这样就避免了偏心拉。这样就避免了偏心拉。这样就避免了偏心拉伸伸伸伸。此时钢板在截面此时钢板在截面此时钢板在截面此时钢板在截面1-11-1
13、处处处处满足强度条件。满足强度条件。满足强度条件。满足强度条件。此此此此时时时时截截截截面面面面1-11-1上上上上的的的的应应应应力力力力(如图如图如图如图d d)为为为为10-3 10-3 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合1.弯扭组合是工程中常见的变形组合形式弯扭组合是工程中常见的变形组合形式2.弯扭组合常用计算公式的建立弯扭组合常用计算公式的建立 将力将力将力将力P P向向向向A A端面形心平移，得到端面形心平移，得到端面形心平移，得到端面形心平移，得到一横向力一横向力一横向力一横向力P P和矩为和矩为和矩为和矩为T TA A=PRPR的力偶，的力偶，的力偶，的力偶，杆杆杆杆ABAB受力
14、情况如图受力情况如图受力情况如图受力情况如图b b。圆杆的弯矩图和扭矩图如图圆杆的弯矩图和扭矩图如图圆杆的弯矩图和扭矩图如图圆杆的弯矩图和扭矩图如图c c、d d危险截面在杆的根部（固定端）危险截面在杆的根部（固定端）危险截面在杆的根部（固定端）危险截面在杆的根部（固定端）在杆的根部取一单元体分析在杆的根部取一单元体分析在杆的根部取一单元体分析在杆的根部取一单元体分析计算主应力计算主应力计算主应力计算主应力第三、第四强度理论第三、第四强度理论第三、第四强度理论第三、第四强度理论 例例例例4 4 手摇绞车手摇绞车手摇绞车手摇绞车 d d=3=3cmcm,D D=36=36cmcm，l l=808
15、0cmcm，=80=80MPaMPa.按第三强度理按第三强度理按第三强度理按第三强度理论计算最大起重量论计算最大起重量论计算最大起重量论计算最大起重量Q.Q.将将载载荷荷Q向向轮轮心心平平移移，得得到到作作用用于于轮轮心心的的横横向向力力Q和和一一个个附附加加的的力力偶偶，其其矩矩为为TC=QD/2。轴轴的的计计算算简简图图如如图图b所示。所示。（1 1）外力分析）外力分析）外力分析）外力分析绞车轴的弯矩图和扭矩图如图绞车轴的弯矩图和扭矩图如图c、d所示。所示。（2 2）作内力图）作内力图）作内力图）作内力图 由由图图可可见见危危险险截截面面在在轴轴的的中中点点C处处，此此截截面面的的弯弯矩矩
16、和和扭扭矩分别为：矩分别为：（3 3）求最大安全载荷）求最大安全载荷）求最大安全载荷）求最大安全载荷 即最大安全载荷为即最大安全载荷为即最大安全载荷为即最大安全载荷为790N790N。圆轴双向弯曲的弯矩问题圆轴双向弯曲的弯矩问题 1 公式仅对圆轴复合弯公式仅对圆轴复合弯曲适用曲适用 2 公式可用于任何受力公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分形式的圆轴的复合弯曲部分 3 平面弯曲可看成它的平面弯曲可看成它的特例特例M=PLxyzPxPyPzPMzMyLPyPzzy例例例例5 5 某齿轮轴，某齿轮轴，某齿轮轴，某齿轮轴，n n=265r/=265r/minmin、N NK K=10=10kW
17、kW、D D1 1=396=396mmmm，D D2 2=168=168mmmm，=20=20o o ，d d=50=50mmmm，=50 50MPaMPa。校核轴的强度。校核轴的强度。校核轴的强度。校核轴的强度。取取一一空空间间坐坐标标系系Oxyz,将将啮啮合合力力P1、P2分分解解为为切切向向力力P1z、P2y和和径径向向力力 P1y、P2z，它它们们分分别别平平行行于于y轴轴和和z轴轴。再再将将两两个个切切向向力力分分别别向向齿齿轮轮中中心心平平移移，亦亦即即将将P1z、P2y平平行行移移至至轴轴上上，同同时加一附加力偶时加一附加力偶。先将结构受力图进行简化先将结构受力图进行简化TC和和
18、TD使轴产生扭转，使轴产生扭转，P1y、P2y和和P1z、P2z则分别使轴在平则分别使轴在平面面Oxy和和Oxz内发生弯曲内发生弯曲（1 1）计算外力）计算外力）计算外力）计算外力（2 2）作内力图、）作内力图、）作内力图、）作内力图、并确定危险截面并确定危险截面并确定危险截面并确定危险截面平面在平面在平面在平面在OxzOxz内，由平内，由平内，由平内，由平衡条件可求得轴承衡条件可求得轴承衡条件可求得轴承衡条件可求得轴承A A、B B处的支座反力为：处的支座反力为：处的支座反力为：处的支座反力为：画出平面画出平面Oxz内的内的弯矩弯矩 My 图，如图图，如图 d 中中的水平图形。的水平图形。同
19、样，可求得在平同样，可求得在平同样，可求得在平同样，可求得在平面面面面OxyOxy内轴承内轴承内轴承内轴承A A、B B处的处的处的处的支座反力为：支座反力为：支座反力为：支座反力为：在平面在平面在平面在平面OxyOxy内的弯内的弯内的弯内的弯矩矩矩矩MMz z图，如图图，如图图，如图图，如图d d中的铅中的铅中的铅中的铅垂图形。画出轴的扭矩垂图形。画出轴的扭矩垂图形。画出轴的扭矩垂图形。画出轴的扭矩图如图图如图图如图图如图c c所示。所示。所示。所示。这是双向弯曲，求出合弯矩这是双向弯曲，求出合弯矩这是双向弯曲，求出合弯矩这是双向弯曲，求出合弯矩 M M 为为为为由比较知，在截面由比较知，在截面D上的合成上的合成弯矩最大。又从扭矩图知，弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为：此处同时存在的扭矩为：（3 3）强度校核）强度校核）强度校核）强度校核故轴满足强度条件故轴满足强度条件