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1、1616章内容章内容 各章约占比例：第一章各章约占比例：第一章15%,15%,第二章第二章15%,15%,第三章第三章25%,25%,第四章第四章15%,15%,第五章第五章15%,15%,第六章第六章15%,15%,易易15%,15%,中等中等75%,75%,难难10%10%。填空题填空题20%,20%,计算题计算题70%,70%,证明题证明题10%10%。课后作业题课后作业题(重点重点),),上课所讲部分习题和例题。上课所讲部分习题和例题。一、绝对误差一、绝对误差(限限)和相对误差和相对误差(限限)、有效数字位数、有效数字位数例1.解:绝对误差限:相对误差限:因此,可根据上述分析对有效数字
2、有如下结果:定义：定义：设设x*是是x的一个近似数，可表示为的一个近似数，可表示为k为整数为整数,如果如果则称则称x*为为x的具有的具有n位有效数字的近似值位有效数字的近似值.有效数字例4*.k0.510k-n (n为有效数字个数)例2.求下列四舍五入近似值的有效数字个数.3个3个4个4个3个5个 注：注：四舍五入的近似值其有效数字位数等于左起第一位四舍五入的近似值其有效数字位数等于左起第一位非零数字到末位数字的位数。非零数字到末位数字的位数。叙述误差的种类与来源P2，避免误差危害的原则P10。其它其它：例例 3.3解解:则由定理则由定理3.3,相对误差满足相对误差满足即应取即应取4位位有效数
3、字有效数字,近似值的近似值的相对相对误差不超过误差不超过0.1%.相关习题相关习题 P21:4-(1)-(2)-(3)-(4)例例例例 求下列向量的各种常用范数求下列向量的各种常用范数解解解解:常用的矩阵范数常用的矩阵范数-(5)-(6)-(7)1，2掌握；3，4了解例例例例求矩阵求矩阵A A的各种常用范数的各种常用范数解解解解:由于由于特征方程为特征方程为参考参考P18例例1.4.1Ca,b上的三种常用范数：1范数2范数范数 例：例：设函数，权函数试计算和解解 此外：课本p21：12(1)(2),13,15(1)(3),18定理定理定理定理（压缩映像定理，不动点定理压缩映像定理，不动点定理压
4、缩映像定理，不动点定理压缩映像定理，不动点定理 ）二二 、非线性方程求根、非线性方程求根方程方程 f(x)=0 化为迭代公式化为迭代公式 x=(x).由于在实际应用中根 x*事先不知道，故条件|(x*)|1无法验证。但已知根的初值x0在根 x*邻域，又根据(x)的连续性，则可采用|(x0)|1 来代替|(x*)|1，判断迭代的收敛性。定理指出，只要构造的迭代函数满足注：注：注：注：，比不动点定理易用。定理.例例：迭代过程，当至少平方收敛到时，确定的值。解：迭代函数于是牛顿牛顿(Newton)迭代法：迭代法：说明：说明：若若 x*是是 f(x)=0的一个单根，即的一个单根，即 f(x*)=0,f
5、(x*)0,则则牛顿法在牛顿法在 x*的邻近是平方收敛的的邻近是平方收敛的。证明:令则所以该迭代法恰是平方收敛的.进一步计算，必有否则，得 这与x*是单根矛盾.其它其它：熟悉：熟悉斯特芬森斯特芬森迭代法加速公式迭代法加速公式P32(2-3-2),割线法割线法公式公式P40.注：此题中x*并不是单根。例 对方程xex-1=0，说明方程在0,1上有唯一根,并构造一 种收敛的求根迭代格式，说明收敛理由。取x0=0.5，求 这个根的近似值。解：解：令f(x)=xex-1,由于f(0)=-10,f(0)f(1)0，于是f(x)在(0,1)内至少有一根，又由于 ,f(x)在0,1上是单调函数，于是原方程在
6、0,1上有唯一根,构造牛顿迭代法 因为在根x*处,必有 ，x*为单根时,它具有二阶收敛性.取x0=0.5,经计算可得这是迭代18次得到的计算结果。.另：习题二作业另：习题二作业 2,7(1)(3),该迭代法一定收敛，紧凑格式分解A=LU：（掌握）1.先确定U中第一行元素（即等于A中第一行元素）.2.再确定L中第一列元素：3.确定U中第r行元素:4.再确定L中第r列元素:三、解线性方程组的数值解法三、解线性方程组的数值解法 定理定理定理定理用紧凑格式分解A=LU：例：判断下矩阵A能否分解为LU形式（其中L为单 位下三角阵，U为上三角阵）？若能，将其分解.(P88:4(3)提示：验证A的所有顺序主
7、子式都不等于零.用紧凑格式分解.解：例：用多利特尔分解求解方程组（掌握）解 设 A=LU，即 解下三角方程组 Ly=b，即解上三角方程组 Ux=y，即掌握高斯消去法解方程组：掌握高斯消去法解方程组：P49例例3.1.1，P87:1计算A条件数(P67)p 常用的条件数有：常用的条件数有：p 条件数的性质（了解）：条件数的性质（了解）：(1)Cond(A)1(2)Cond(cA)=Cond(A)，其中，其中 c 为非零常数为非零常数(3)当当 A 是正交矩阵时，是正交矩阵时，Cond2(A)=1(4)Cond2(PA)=Cond2(AP)=Cond2(A)，其中其中 P 为正交矩阵为正交矩阵重点
8、重点 例例:已知A=,则条件数=16 .解线性方程组的迭代法重点掌握重点掌握雅可比迭代，高斯雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代。赛德尔迭代。对线性方程组 作分解 P72k=0,1,2,雅可比(Jacobi)迭代格式迭代格式:称为称为雅可比雅可比(Jacobi)迭代矩阵迭代矩阵Jacobi 迭代的分量形式：迭代的分量形式：初始向量：q G-S 迭代格式迭代格式其中 为迭代矩阵。q SOR 算法算法（了解）设解线性方程组Ax=b的迭代格式定理2.迭代格式 收敛的充要条件为定理3因（1）（注：判断简单，但仅是充分而不必要）定理.因为故雅可比迭代收敛。,故高斯-塞德尔迭代收敛。又，G-S迭代 将1式代入2式
9、，1、2式代入3式，有(1)(2)(3)方法2：雅可比迭代矩阵因为故雅可比迭代收敛。高斯-塞德尔迭代矩阵：故高斯-塞德尔迭代收敛。即方法3：系数矩阵A的元素满足A为严格对角占优矩阵,故雅可比迭代和塞德尔迭代都收敛.其它：掌握作业P89：16,17(1)注：若A的特征值为，则A-1的特征值为1/，Am的特征 值为m，I kA的特征值为1 k.相关题：掌握相关题：掌握P90:20题的第题的第1问问.四、插值法四、插值法1、Lagrange插值(1)过两个节点x0,x1的线性（一次）插值：L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1余项：(2)过3个互异插值点(xi,f(xi),i=0,1,2，二次插
10、值：二次Lagrange插值多项式为：余项：(3)过n个互异插值点n 次Lagrange插值多项式：插值余项：插值余项：注：注：3点插值和点插值和4点插值为重点。点插值为重点。例例1：已知插值点 (-2.00,17.00),(0.00,1.00),(1.00,2.00),(2.00,17.00),求三次插值，并计算 f(0.6)。并写出截断误差表示式.解解 先计算4个节点上的基函数：三次Lagrange插值多项式为：f(0.6)L3(0.6)=-0.472.误差：误差：练习：已知函数y=f(x)的数值如右x0 1 2 5 y-1 1 7 17求y=f(x)的三次Lagrange插值多项式并写出
11、截断误差表示式。此题显然可以用上述例题此题显然可以用上述例题1方法求解方法求解2、Newton插值插值函数f的一阶差商：二阶差商：例如 设则 函数f的k阶差商：例如（2）差商具有差商具有对称性对称性：任意改变节点的次序差商值不：任意改变节点的次序差商值不变。例如变。例如 f0,2,4=f2,0,4=f4,2,0等等。(3)差商和导数差商和导数 若若 f(x)在在a,b 上存在上存在n 阶导数，且节点阶导数，且节点xi a,b,由由余项表达式可得，余项表达式可得，n 阶差商与导数有如下关系阶差商与导数有如下关系差商的性质 性质(1)k 阶差商 f x0,x1,xk可表成节点上函数值 f(x0),
12、f(x1),f(xk)的线性组合，即 差商的计算方法(表格法):差商表经计算得(xi,f(xi):(0,-1),(1,1),(2,7),(3,17)。差商表如下 3 17x3 2 7 2 10 x2 1 1 2 6 0 x1 0 -1 2x0 xi f(xi)f xi 1,xi f xi 2,xi 1,xi f xi 3,xi 2,xi 1,xii解解 由表易知，f x0,x1=f 0,1=2 f x0,x1,x2=f 0,1,2=6 2)/2-0=2 f x0,x1,x2,x3=f 0,1,2,3=(2 2)/3 0)=0例例5 设f(x)=2x2-1,求差商 f 0,1,2,3=0 .可用
13、性质可用性质3 3 由差商与导数的关系（由差商与导数的关系（性质性质3）例例6 对 f(x)=x7x4+3x+1，求 f 20,21，f x,20,21,26 和 f x,20,21,27。解解 显然，f(7)(x)=7!,f(8)(x)=0,由性质3得n次次Newton插值公式：插值公式：插值余项为：解解解解：先造差商表：先造差商表 由由Newton公式得四次插值多项式为：公式得四次插值多项式为：练习练习：函数值表如下，求不超过三次的Newton插值多项式.x0 1 2 3f(x)-1 1 7 17差商表见例5.误差：P123作业：1，7，8举例：验证多项式：在 上带权(x)=1两两正交。解
14、：容易验证 而由定义知结论成立。明确函数内积 概念，正交多项式概念.P126五、函数逼近与曲线拟合函数逼近与曲线拟合先求法方程 即如下形式：具体解法（重点）记为 解出a0,a1,an,则f(x)的最佳平方逼近多项式为：作业P153：5(1)，6,21*（掌握）(见P68例6)1.代数精度代数精度六、数值微分和数值积分六、数值微分和数值积分2.2.构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤定理定理 n+1个节点的求积公式至少具有 n次代数精度的充要条件是该公式是插值求积公式。用验证精度。二者不等,只有3次精度。用待定系数法构造插值求积公式（用待定系数法构造插值求积公式（重点重点）定义：若存在节
15、点 xi a,b(i=0,1,n)及求积系数 Ai，使得下面的求积公式具有 2n+1 次代数精度，则称节点 xi 为高斯点，Ai 为高斯系数，求积公式为高斯(Gauss)求积公式。如前例：如前例：n=2，代数精度为代数精度为3，没有达到没有达到2n+1=5次，故次，故 不是不是高斯高斯(Gauss)求积公式。求积公式。通常情况下取(x)=1掌握：P189 第1题(1)作业（并指明是否是高斯求积公式），第2题（记住梯形公式，辛普森公式P161）如如:用辛普森公式求积分近似值：记住掌握复合梯形公式记住掌握复合梯形公式P164（6-3-1）记住掌握复合辛普森公式记住掌握复合辛普森公式P165（6-3-3）例:分别用复化梯形法和复化辛普森法计算下列积分.P189:6(1)解解 复化梯形法，用9个点上的函数值计算时，n=8，所以。S4=这里n取4而不是8，是为了能使用原来的9个函数值便于计算，便于两种结果比较。注意：这里